高中数学三角函数

高中教学----三角困教

一、三角函数学习要点

角的推广弧度制，定义图像和性质。和差倍半升降塞，同角诱导与合一。

正弦余弦有定理，角度对应函数值。三角重点在公式，化简证明和求值。

二、三角函数章节信息

1、角的概念推广2、弧度制和角度制3、单位圆和三角函数线

4、三角函数定义5、三角函数图像和性质6、同角关系

7、诱导公式8、给值求角9、三角恒等式：和差倍半升降塞

10、解三角形

三、本册材料内容

1、三角函数公式记忆

2、解三角形公式记忆

3、三角函数定义、图像和性质复习题

4、三角函数恒等式练习题

5、三角函数高考题分类归纳

6、三角函数典型考题归类解析

7、三角函数易错题解析

8、三角函数部分历年高考题

三角函数公式记忆

角的概念推广：

正角：逆时针旋转所成的角

转角负角：顺时针旋转所成的角

零角：没有旋转的角

明确终边相同的角、象限角、轴线角、

对称角、区域角的表示

三角函数定义：同角关系：

正弦：sina=y〃余弦：cosa=x/r倒数关系：tana-cota=l

sinacsca=lcosascca=l

正切：tana=y/x余切：cota=6

商数关系：sina/cosa=tana

正割：seca=r/x余割：csca=r^cosa/sina=cota

各象限的符号：平方关系：sin2a+cos2a=1

2222

一全二正弦，三切四余弦H-tana=sccal+cota=csca

三角函数图像变换：y=Asin(fiw+°)正弦型函数

平移：f(x)+b^f(x)->f(x+a)对称：/(-x)<-/(x)-/(x)振幅、初相、相位、最值点、单调性、奇偶性、对称

翻折：/(|x|)<-/(x)/(x)|伸缩：af(x)<-/(x)f(bx)性、周期性、图像变换

和角公式:差角公式：倍角公式:

cos(a+p)=cosacos夕一sinasinpcos(a-P)=cosacos尸+sinasinPcos2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a

sin(a+0)=sinacos0+cosasinBsin(a-。)=sinacos£-cosasinB=2cos2a-\

tana+tantan(a-0」an”taM

tan(a+B)=sin2a=2sinacosa

1-tanatan^1+tanatan/2tana

tan2a=

tana+tan夕=tan(a+⑶(1-tanatanfl)tana-tany9=tan(a-^)(l+tanatan/7)1-tan2a

合一(辅角)公式：常见辅角公式：半角公式：

22

Qsina+。cosa=V«+bsin(a+0)sinx±cosx=sin(%土?).a,11-cosa

-7=^^—

其中：

sinx±V3cosx=2sin(x±y)a./1+cosa

sin0=/b,cos0=-,tan0=—cos_=±^——

y/a2+b24a2+b2a

a.11-cosa1+sinacosa

VJsinx±cosx=2sin(x±—)tan——=±J----------=----------=----------

。的象限有点(4,b)的象限•致2v1+cosacosa1-sina

升基公式：降暴公式：说明：

1+sin2a=(sina+cosa)2其他的公式，诸如积化和差、

(sina±cosa)2=1±sin2a

l-sin2a=(sina-cosa)2

sin2a和差化积、万能公式、三倍角公式

sinacosa=-------

l+cos2a=2cos2a2不需掌握，如果有能力的同学可以

2.2l-cos2a,1+cosier

l-cos2a=2sinasina=-----------,cosa=-----------试着研究掌握.

22

边边关系边角关系角角关系

直角三角函数：A+B=90"sinA=cosB=ale;cosA=sinB=b/c;

勾股定理：=a2+b2

三角形tanA=cot^-albsinC=1:COSC=0;tanC不存在

任两边之和大于第三边A>B=a>b,A<B<=>a<bA+B+C=180°

任两边之差小于第三边A=B<=>a=b外角等于不相邻内角之和

余弦定理：正弦定理：a.bc一[Rsin(J+8)=sinC

a1-h2+c2-2bccosAsinAsinBsinCcos(A+B)=-cosC

变形公式：tan(/+B)=-tanC

b2=a2+c2-2accosB

1、〃=2/?siM;b=2RsinB;C=27?sinCsin(2J+2B)=-sin2C

一般c2=a2+b2-labcosC

;;cos(24+28)=cos2C

三角2、sinJ=—sinB=—sinC=—

变形公式：2R2R2Rtan(2J+25)=-tan2C

形222

彳b+c-a3、(7::c=sinJ:sin5:sinC./+8、C.A+B.c

cosA=----------sin()=cos—，cosf--)x=sin—

2bc2222

4、a>b<^>A>B<»sirL4>sin5

a2+c2-b2

cosBD=----------tan(,-4-+-8)、=cotC—

lac22

5、asin5=bsiri4,asirC=csin4

「a2+b2-c2

cosC=----------bsinC=csinB

2ab

①已知两角和任一边①已知两个角的函数值，求第三角

解决①已知两边和夹角

②已知两边和其中一边的对角②化简关系式

要点②已知三边

角平分线定理：

中线长定理：射影定理：

（内角平分线定理）

在A48c中，AD为BC边上的在。中，AD为BC边上的高，则

中线，则有在A/8C中，//的平分线AD与边有

AB2+AC2=2（AD2+BD2）

补充BC相交于点D,求证：殷=空a=bcosC+ccosB

定理DC-AC

b=acosC+ccosA

练习：（外角平分线定理）

c=acosg+bcos/

在A/8C中，//的外角平分线AD与

边BC相交于点D,求证：BD=AB^

DCAC

和角差角公式：二倍角公式：面积关系：

sin(a±/?)=sinacosp±cosasinpsin(2a)=2sinacosas*48c=—besinA——acsinB

常用

cos(a±P)=cosacosTsinasinpcos(2a)=1-2sin2a=2cos2a-11__________________

公式,0、tana±tan、2tana=-absinC=pip-a^p-a'Kp-c)

tan(a=---------------tan(2a)=--------------------------2

1+tanatanp1-tan-a

在A48c中，已知。,6和Z,确定解的个数：

/为钝角Z为直角/为锐角一解一解

三角a>b一解一解一解

形解a=h无解无解一解尢解两解f

得情工Am九加.4b

a<b无解无解a>bsinA两解无解一解

况a=hsinA.解

a<bsinA无解

三角函数定义、图像和性质复习题

•、选择题

1.已知tan9=2,贝ijsidO+sinOcosJ—2cos等于()A.一gC.一(D.^

2.若cos(a一份cosa+sin(a—/?)sina=—又££(兀，当)贝Uco或的值为B.今俱C.—jVTo

io

TT

3.先将函数y=sin2x的图像向右平移g个单位长度，再将所得图像作关于歹轴的对称变换，那么与最后

所得图像对应函数的解析式是()

A.y=sin(-2x+y)B.y=sin(-2x-y)C.y=sin(-2x+D.y=sin(-2x-言)

4.函数y=Asin(他:+0)(4>0,co>0,悯<自的最小值是—2,其图像相邻的两个最高点和最低点的横

坐标的差是3万，又图像经过点(0,1),则这个函数的解析式是()

27t171271171

A7=2sin(-x+—)B.y=2sin(-x+-)C.y=2sin(-x——)D.y=2sin(-x一一)

36363636

5.已知函数yjx)=45sincux+cosGX(①>0),y=/(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于兀，则於)

的单调递增区间是()

兀5兀57r1litTi71兀2兀

A.kn一五,E+调，kWZB.ht+万，,k®ZC.%兀一手阮+不，左6ZD.%兀+石，H+y,k三Z

6.点P是函数y(x)=COS3X(其中3翔)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值

是兀，则函数/(x)的最小正周期是()A.7TB.2兀C.3兀D.47t

7.为了得到函数产sin(2x一§的图象，只需把函数尸sin(2x+^的图象()

A.向左平移々个长度单位B.向右平移号个长度单位C.向左平移刍个长度单位D.向右平移W个长度单位

8.记cos(—80°)=%,那么tan100。=

)'kB.k。十二语D7］一必

9.设”>0,函数产sin(s+1)+2的图象右平移号个单位后与原图象重合则3的最小值A.|B.|C.|D.3

10.下列函数中，最小正周期为”的偶函数是()

2

x1-tanx

A.y=sm2xB.y=cos]C.y=sin2x+cos2x^^=T+tan\

11.设函数y=cos(sinx),则()A.它的定义域是[—1,1]B.它是偶函数

C.它的值域是[一cosl,cosl]D.它不是周期函数

12.把函数y=co&r的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图

象向左平移彳个单位.则所得图象表示的函数的解析式为()

7TX7C

A.y=2sin2xB.y=-2sin2xC.^=2cos(2x+^)D.y=2cos(^+4)

13.函数y=2sin(3x—£)图象的两条相邻对称轴之间的距离是()AJB.亨CmD.y

14.若sina+cosa=〃?，且一啦Sw<一1,则a角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

15.函数y=|cotxksinx（0<烂当且中兀）的图象是（）

16.设》=普二,则下列结论中正确的是（）

1十sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值

17.函数产“出（于一2x）的单调增区间是（）

7T7T

A.\_k7t—~37rr,而+［］（kGZ）B.［就+称，版+5乎7r］（攵£Z）

OOOO

C.［〃兀一］乃，反+学37r］（攵WZ）D.［左江+千37r，k7t+7~7^r］（左£Z）

18.已知0勺区乃，且一；VaVO,那么函数HxLcos2^—2asinx—1的最小值是（）

A.2a+1B.24—1C-2a-\D.2。

19.求使函数y=sin（2x+e）+小cos（2x+。）为奇函数，且在［0,£］上是增函数的0的一个值为

（）A.学B.竽C.空D.与丫

....................

20.已知函数y（x）=（sinx-cosx）sinx,x£R,则/x）的最小正周期是.F片\

21.y=sin（69x+9）（①>0,—n<（p<Ti）的图象如图，则勿=.

22

22.函数4x）=，5cos尹+sin尹的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.

23.函数/（x）=sinx+2kinx|,xW［0,2兀］的图象与直线夕=4有且仅有两个不同的交点，则左的取值范围是.

24.已知函数_/（x）=2sinx,g（x）=2sine一x）,直线x=机与g（x）的图象分别交A/、N两点，则的

最大值为.

25・函数尸的值域是----------12-函数二g腐2的定义域是----------

26.如果x,［0,兀］,月.满足binx|=2cosy—2,贝ijx=,y=.

27.已知函数y=2cosx,［0,2万］和y=2f则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是

15.函数y=sinx+cosx+sin2x的值域是.

28.关于函数加•）=4sin（2x+全）（x£R）有下列命题：①由/3）=/（必）=0可得修一M必是乃的整数倍；©y

=/（x）的表达式可改为V=4cos（2x一季）；③y=/（x）的图象关于点（一!，0）对称；④y=/（x）的图象关于直线

x=-l对称.其中正确的命题的序号是.

29.已知函数兀c）=；sin2xsin9+cos2xcos9一上泊e+，（0<9〈兀），其图象过点（亲，

⑴求9的值；（2）将函数尸｛x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，得到函数尸g（x）的图

象，求函数g（x）在0,I上的最大值和最小值.

1T

30.函数y=/sin（（yx+9）（4>0,（o>0,|夕|<5）的一段图象如图所示.（1）求函数y=7（x）的解析式；（2）将函数y

=Ax）的图象向右平移彳个单位，得到y=g（x）的图象，求直线y=,与函数y=/（x）+g（x）的图象在（0,兀）内

所有交点的坐标.

7T

31.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosfi,sin^),c=(—1,0).⑴求向量力+c的模的最大值；(2)设仪=7

且a_L(b+c),求cos(J的值.

32.如图为函数y=4sin（①x+p）（力>0,①>0）的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

33.已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(xGR)(l)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由)，=sinx(xGR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

34.已知函数寅x)=log】(sinx-cosx)(1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调减区间;

2

(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

35.某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图)，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.

若水渠横断面面积设计为定值m,渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角a应为多少时，方能使修建的成本

最低？

36.已知函数次x)=sin(cax+?)@>0,OW0WK)是R上的偶函数，其图象关于点M(彳，0)对称，且在区

间［0,f］上是单调函数，求9和。的值.

三角函数恒等变换练习题

1百人V2V3

1.计算sin43°cosl3°-sinl30cos43°的值等于()/I.-B.C.-----D.

2322

则工)的值()B.-

2.Jana=2,cot(a+422C.-D.—

1+tan。422

3.化简j2+cos2-sin?1的结果是()A.cosl5.sinlC.V3cos1£>.-VJcosl

57T777*ij

4.若aw—,——，则Jl+sina+Jl-sina的值为()

_22_

A.2cos—S.-2cos—C.-2sin—D.2sin—

2222

若—一旦则的值为()V711V7

5.c°s2a_=,cosa+sinaA.-------B.----------C.-D.---------

.(叫2222

sm[a-4)

/3-sin70°,、，1-J2…V3

6.()A.B.-C.2D.----

2-cos210°22I2

431JI

7已.知cosa=-—,aG—^-),tan°=一飞,/?eI],万),cos(a+£)=__________

八，八_.,7T八37r/八、12!3

8.(1)已知：—<J3<cc<.,cos(6)f-/3)——-,sin(a+〃)=一一，求sin2a的值.

>5

八4

9已.知二、尸为锐角，cosa=《,tan(a-〃)二=,求cos夕的值

10.已知：sina-sin/3=一；，cosa-cos/?=：1,求cos(a—£)的值.

TTTT

11.一知tana>tanJ3是方程x2+36v+4=二0的两根，且见£€(—1,1),求a+夕的值.

jr1cin7/y—COQ*-nt

12.已知tan(°+o)=上，(1)求tana的值；(2)求的值.

421+cos2a

13.已知sin(—+2a)-sin(--2a)--.aG(工，工)，求2sin2a+tana-cota-1的值.

44442

14.已知6sin2a+sinacos。一2cos2a-0,ae乃］，求sin(2a+三)的值.

15.求值:

Q)2cos10°-sin200(2)cos400(1+V3tan100)

cos200

...(7i、317乃7%sin2x+2sin-x_

16.若cos—+x=—,——<x<—，求-------------的值.

(4J51241-tanx

17.已知cosf^z+3~~，求cos(2o+?)的值•

43

18.已知cosa=w，cos(a+/?)=y,且°、/7均为锐角，求sin〃.

a冗八一1,、、4•，〜、-sin2x+2sin2x

19.已知-<x<O,sinx+cosx=—()求sinx-cosx(2)求---------------

251-tanx

20.已知/(x)=l+c°sx-sinx+l-cosx—sinx且+左eZ⑴化简/(x)(2)是否存在x,使

1-sinx-cosx1-sinx+cosx2

1+tan2—

得tan±-/(x)与--------相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。

2sinx

式

21.已知0<%<彳，化简：lg(cosx-tanx+1-2sin2^)+lg[V2cos(x-y)]-lg(l+sin2x)■

Tt1

22.已知函数/(x)=Zsin(x+e)(/〉0,0<°<7i),xeR的最大值是1,其图像经过点”.(1)

3(2

求小)的解析式；⑵已知公%,且“)4/(尸)=*求i-0的值.

23.已知向量)=(sin仇-2)与右二(l,cos。)互相垂直，其中。£(0,1)

(1)求sin。和cos。的值；(2)若sin(e—e)=-^,0<°<],求cos^的值.

三角函数高考题分类归纳

一.求值

1、sin330°=tan690°=sin585°=

12

2、(1)(07全国I)a是第四象限角，cosa=一,贝ijsina二

4八

(2)(09北万文)若sin。=——，tan6〉0,贝ijcos8=.

12

(3)(09全国卷II文)已知445。中，cotA=——,则COS4二

5

〜15万

(4)。是第三象限角，sin(a-))=5,贝ijcosa=cos(—+^)=

(5)(08浙江理)若cosa+2sina=-否则=.

tana

3(1)(07陕西)已知sina-当,则sin4a-cos4a=.

(2)(04全国文)设ow(0,'),若sina=1,则J^cos(o+?)=.

(3)(06福建)已知aG(、,;r),sina=1-,则tan(a+?)=

4(07重庆)下列各式中，值为当的是()

(A)2sin15°cos15°(B)cos2150-sin215°(C)2sin215°-1(D)sin215°+cos215°

5.(1)(07福建)sin15°cos75°+cos150sin105°=

(2)(06陕西)cos430cos770+sin430cos1670=

(3)sinl63°sin223°+sin253°sin313°=。

6.(1)若sin0+cos0=—,贝ijsin20=

(2)已知sin(2一x)=3,贝Ijsin2x的值为______________

45

crisina+cosa

6,若tana=2，则=----------=

sina-cosa

7.(08北京)若角a的终边经过点尸(1,一2),则cosa=tan2a=

8.(07浙江)已知cos(]+°)=等，且|如＜/,贝ijtan°=

cos2a加

9•若——,贝ijcos2+sina=

sin(a-：)2

10.（09重庆文）下列关系式中正确的是（）

A.sinl1°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°

C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin1680<cos10°<sin11°

（二）最值

1.（09福建理）函数/（x）=sinxcosx最小值是=。

2.①（08全国二）.函数/（x）=sin工一cosx的最大值为。

②（08上海）函数/（x）=/sinx+sing+x）的最大值是

③（09江西理）若函数/（x）=（l+JJtanx）cosx,0<x<-1-,则/（x）的最大值为

3.（08海南）函数/（x）=cos2x+2sinx的最小值为最大值为。

4.（08湖南）函数/（x）=sin2x+Jisinxcosx在区间上的最大值是

5.（09上海理）函数y=2cos?x+sin2x的最小值是.

6.（06年福建）已知函数/（x）=2sin/x3>0）在区间[-工工]上的最小值是一2,则3的最小值等于

_34_

7.（08辽宁）设则函数y=2sm-*+l的最小值为__________.

（2）sin2x

（三）单调性

1.（04天津）函数夕=2sin（工-2x）（xe[0,%]）为增函数的区间是（）

6

八•呜]B.或爷。・守尊D"*]

2.函数y=卜山乂的一个单调增区间是（）A.1-浦）B.停年）C.fn.yjD.（源兀]

3.函数/（x）=sinx-JJcosx（x£[-万,0]）的单调递增区间是（）

「一「5万71、-，兀2-I•乃八1

A.[一犯一--]B.[---]C.[--,0]D.[--,0]

0oo3o

4.（07天津卷）设函数/（x）="x+T（xeR），则/（X）在区间（）

7?57t

A.生，乂上是增函数B.-上是减函数C.上是增函数D.上是减函数

362」134_36

5.函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A.（—工，工）B.呜）c.q岑）D.令万）

44

（四）周期性

TT

1.（07江苏卷）下列函数中，周期为々的是（）

2

.xx

A.y=sin—B.y-sin2xC.y=cos—D.y-cos4x

24

2.(08江苏)/(x)=cos[3x-^J的最小正周期为其中①>0,贝1跟=

3.(04全国)函数歹二|s呜|的最小正周期是().

4.(1)(04北京)函数/(x)=sinxcosx的最小正周期是.

(2)(04江苏)函数歹=2COS2%+1(xeR)的最小正周期为

5.(1)函数/(x)=sin2x-cos2x的最小正周期是

(2)(09江西文)函数/(x)=(1+百tanx)cosx的最小正周期为

(3).(08广东)函数/(x)=(sinx-cosx)sinx的最小正周期是.

(4)(04年北京卷.理9)函数/(x)=cos2x-2百sinxcosx的最小正周期是.

■jr

6.(09年广东文)函数歹=2cos2(x--)-1是最小正周期为()

4

TT7T

A.4的奇函数B.乃的偶函数C.々的奇函数D.一的偶函数

22

7.(浙江卷2)函数y=(sinx+cosxy+l的最小正周期是.

(五)对称性

1.(08安徽)函数y=sin(2x+TgT)图像的对称轴方程可能是()

71cncnC式

A.x-......B.x=------C.x=—D.x=—

612612

2.下列函数中，图象关于直线x=7勺T对称的是()

3

Ay=sin(2x-—)By=sin(2x-—)Cy=sin(2x+—)Dy=sin(—+—)

36626

3.(07福建)函数y=sin(2x+m)的图象()

A.关于点(1,())对称B.关于直线x=；对称C.关于点对称D.关于直线》=三对称

/I刀》

4.(09全国)如果函数y=3cos(2x+。)的图像关于点(q-,0)中心对称，那么解的最小值为()

71___71小、冗…、冗

(A)—(B)—(C)—(D)—

6432

(六)图象平移与变换

JT

1.(08福建)函数尸cosx(xeR)的图象向左平移5个单位后，得到函数卜=80的图象，则g㈤的解析式为

7T

2.(08天津)把函数y=sinx(xwR)的图象上所有点向左平行移动一个单位长度，再把所得图象上所

有点的横坐标缩短到原来的L倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是

2

rr

3.(09山东)将函数y=sin2x的图象向左平移。个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是—

TT

4.（09湖南）将函数ksinx的图象向左平移0（040<2%）的单位后，得到函数丫=5出。——）的图象，则

6

夕等于___________

7T

5.要得到函数y=sin（2x—3）的图象，需将函数^=sin2x的图象向—平移一个单位

4

6（1）（07山东）要得到函数丁=sinx的图象，只需将函数y=cos［x—］］的图象向—平移—个单位

（2）（全国一）为得到函数y=cos（2x+g）的图像，只需将函数尸sin2x的图像向—平移个单位

（3）为了得到函数y=sin（2x—工）的图象，可以将函数y=cos2x的图象向—平移个单位长度

6

7.（2009天津卷文）已知函数_/'3）=$皿（松+£）（%€火,卬>0）的最小正周期为万，将夕=/（x）的图像

向左平移|*|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则夕的一个值是（）AyByC/

（七）图象

1.（07宁夏、海南卷）函数歹=sin12x—色）在区间7t的简图是（）

2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数歹=35（1+m）（》€［0,27］）的图象和直线丁=；的交点个

数是（）（A）0（B）1（C）2（D）4

3.（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）

（A）y=sin［（B）y=sin（2x-?）（C）y=cos（4x-。卜D）y=cos（2x-^）

4.（2009江苏卷）函数y=Zsin（Gx+e）（4口,9为常数，^4>0,69>0）在闭区间［-4,0］上的图象如

1.（2009年广东卷文）已知MBC中，Z.A,NB,ZC的对边分别为。,6,c若a=c=指+J5且NN=75°,

则6=

AT

2.(2009湖南卷文)在锐角A48C中，3。=1,8=24则----的值等于—，ZC的取值范围为

cosA------

3.(09福建)已知锐角A43c的面积为33，BC=4,CA=3,则角。的大小为

4、在AABC中，4=60°/=1,面积是内,则------+/?+-------等于___________。

sin/+sin8+sinC

5.已知AABC中，sin4:sin8:sinC=4:5:7,则cosC的值为

(九)综合

1.(04年天津)定义在R上的函数/(x)既是偶函数又是周期函数，若/(x)的最小正周期是乃，且当

xe［0,时，/(x)=sinx,则/(菖)的值为

2.(04年广东)函数f(x)f(x)=sin2(x+H)-Gn2(x/)是()

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A.周期为左的偶函数B.周期为左的奇函数C.周期为2%的偶函数D