高中数学题型全面归纳（学生版）：第二节 双曲线及其性质

第二节双曲线及其性质

考纲解读

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

命题趋势探究

1.从内容上看，新课标高考主要考查双曲线的定义、方程、离心率和渐近线等基础知识,

侧重考查基本量的计算.

2.从形式上看，以选做题和填空题为主，难度不大.

3.从能力上看，主要考查学生的运算和数形结合能力.

总体来看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，预测2019年高考出现解答题的可能

性不大，建议复习时把精力主要集中在选做题和填空题上即可.

知识点精讲

一、双曲线的定义

平面内与两个定点居的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于闺居|）的点

的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

MW耳I国=2a（0<2a<产阅）}

注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2。=山时，点的轨迹是以片和尸2为端点的两条射线；当2。=（）时，点的

轨迹是线段F,F2的垂直平分线.

（3）2a>忻用时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

u

①条件\F}F^>2a"是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定a2,

/的值），注意/+/=。2的应用.

二、双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.

表10-2

焦点坐标片（一。,0）,「（GO）

片(0,—c),F2(0,C)

对称性关于X,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4(一。,0),43，0)A}(0,a),A2(0,—a)

范围N2Q

实轴、

实轴长为2a,虚轴长为》

虚轴

'l+:(e>1)

离心率V飞

22

令二一鼻=0=y=±—x,.yxa

渐近线方令一—7r=0=y=±丁x，

a~b~aa'b-b

程

焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为人

〉1,点（看,九）在双曲线内

点和双曲>1,点（%,%）在双曲线内

/y2（含焦点部分）o2

线--------SK%（含焦点部分）

a2b1=1,点（尤0，%）在双曲线上--------s

的位置关a2b2=1,点（X。,打）在双曲线上

<1,点（%,九）在双曲线外

系<1,点（%,%）在双曲线外

共焦点的2222

双曲线方-------r—=l(-«2<k<b2)—r------r—=l(-«2<k<b2)

a2+kb2-ka2+kb2-k

程

共渐近线

4-^-=A(2*O)y2x2

的双曲线二—-0)

ab~ab~

方程

切线方程‘号—=1，（工0，》0）为切点yO）为切点

ab~a

对于双曲线上一点（%,%）所在的切线方程，只需将双曲线方程中/换为,

切线方程

）"换成）”便得.

T—=1，（玉），%））为双曲线外一簧-等=1,（2。）为双曲线外一

切点弦所ab

在直线方点

点

程

点（X。,>0）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为A(x「y),B(x2,y2),kAB=k.

则弦长|AB|=Ji+女2也_々I=Ji+*,|y-%1伏牛0),

弦长公式

|x,-X2|=7(X,+/)2_4X/2=■，其中"a"是消"y"后关于“X”

的一元二次方程的“一”系数.

2b2

通径通径(过焦点且垂直于6鸟的弦)是同支中的最短弦,其长为上一

a

F

双曲线上一点P(xQ,y0)与两焦点K，尸2构成的APK2成为焦点三角形，

2b2

设=e,尸耳=小Pg=G，则cos6=l-----,

r\rl

。1.八sin。，2b2问为|,焦点在x轴上

=2gm6=—os/一匕|心1tM焦点在,轴上'

焦点三角

an2

形

VA

焦点三角形中一般要用到的关系是、I幺

,,\,一^8^(xo,yo)

r|P用-|P图卜2a(2a>2c)r

<=+E|-|PE|sin4PE

［恒用2=|PE「+|P用2_2俨片|尸用cosqp61

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线oa=人o离心率

等轴双曲e=&o两渐近线互相垂直O渐近线方程为y=±xo方程可设为

线

/_J=纵几w0)

题型归纳及思路提示

题型139双曲线的定义与标准方程

思路提示

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

(1)在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a,h,c,即

利用待定系数法求方程.

(2)根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数,

即利用定义法求方程.

例10.11设椭圆G的离心率为持，焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭

圆G的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线。2的标准方程为（）

22222222

A.=】B.泉-*=1C.左-%=1D.亩-白=1

变式1设命题甲：平面内有两个定点片，尸2和一动点使得为定值,

命题乙：点M的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式212017课标3,理5】已知双曲线C：二—与=1（a>0,b>0）的一条渐近线

ab"

方程为y=乎》,且与椭圆三+q=1有公共焦点，则c的方程为

029

XX"XX

A.=1B._z.=1C._z.=1D..Ji

10'T5-4'T3

变式3已知M(-2,0),N(2,0),动点P满足1PMi-归川=2近，记动点的P轨迹为W,

求卬的方程.

例10.12求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)经过点(一5,2),焦点为(遥,0)；

22

(2)实半轴长为2若且与双曲线三-匚=1有公共焦点;

164

(3)经过点P(3,2j7),(—60,7).

变式1根据下列条件，求双曲线的标准方程：

r2V2

(1)与双曲线^--L=1有共同的渐近线，且过点(_3,3百r-)；

916

22

(2)与双曲线^-一匕=1有公共焦点；且过点(3底,2).

164

变式2若动圆M与圆G：(x+3y+y2=9外切，且与圆：(x-3y+y2=1内切,

求动圆M的圆心M的轨迹方程.

例10.13已知双曲线的离心率为2,焦点分别为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为()

92222922

A.三-21=1B.-----=1C.二-汇=1D.二-±=1

412124106610

工2v2L

2

变式1已知双曲线二一T=1（。>0/>0）的一条渐近线方程为丁=瓜，一个焦点在

CTb~

抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为（)

，V122

A二_zi=i

-'嗫1B.--------=1C.D.二-j

92710836279

变式2已知双曲线2r=1的焦距为10,点。（2,1）在C的渐近线上，则。的方程

ah~

为（）

92222922

A.二-t=1

B.±-±=1C.二-jD.L-匕=1

20552080202080

1y2

x2

变式3已知点P（3,-4）是双曲线-y—T=1（。>0,〃>0）渐近线上的一点，E,F是左、

ab

右两个焦点，若EP•FP=0,则双曲线的方程为（)

9922

匕=1D.L-±=1

A..E2iC.—

34B43=1916169

题型140双曲线的渐近线

思路提不

掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由

渐近线方程可得出。，匕的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线

的距离为虚半轴长

22

例10.14双曲线二=-1的渐近线方程为（）

24

A.y=±y/2xB.v=±2xC.y=土去D.y=±—x

-2

2

x

变式112016高考天津理数】已知双曲线-------=1(£»0),以原点为圆心，双曲线的实

4b-

半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于48、C、。四点，四边形的A8CD

的面积为2b,则双曲线的方程为（）

（A）二.⑹匚叱=1(「)%2V=1（D）v

vc>-------

44434b2

X2y2

变式2【2017天津，理5）已知双曲线方=1（。>0/>0）的左焦点,为尸，离心率

a

为JL若经过尸和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的L条渐近线，则双曲线的方程为

22222222

(A)^-21=1(B)土一上=1(C)三-工=1(D)三-上=1

44884884

变式3已知双曲线与-2=IS>0）的左、右焦点分别为环，工，其中一条渐近线方程

为丁=%,点P（g,y0）在该双曲线上，则丽•丽等于（）

A.-12B.-2C.0D.4

例10.15双曲线日--丝=1的一个焦点到其渐近线的距离是________.

169—

变式1双曲线-一匕•=1的渐近线与圆（X—3）2+>2=产0>0）相切，贝|]r=（）

63

A.V3B.2C.3D.6

2

变式2已知双曲线0=l（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆

C:x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为

)

22222227

A.二-jB.二-jC.二-jD,工-汇=1

54453663

例10.16过双曲线「一A=1（。>0/>0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双

ab~

曲线的两条渐近线的交点分别为3,C,若蠢=工反,作为双曲线的渐近线方程为

2

变式1过双曲线C：/—y2=i的右顶点A的直线/与双曲线。的两条渐近线交于p,Q

两点，且西=2而，则直线/的斜率为.

22

变式2【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线与-斗=1（。>0/>0）的右

支与焦点为尸的抛物线x2=2px（p>0）交于两点，若恒目+忸目=4|。目，则该双曲线

的渐近线方程为.

题型141离心率的值及取值范围

思路提示

求离心率的本质就是探求。，。间的数量关系，知道a,b,c中任意两者的等式关系

或不等关系便可求解出e或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.

例10.17已知双曲线二一乙=1,则此双曲线的离心率e为(

43

C.2^/2

变式1【2017课标II,理9］若双曲线C：3—当=1(a〉0,匕>0)的一条渐近线被

圆(x-2y+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()

B.A/3C.V2

变式2【2017课标1,理】已知双曲线C：=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A

A-

为圆心，b为半径作圆4圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若NM4V=60。，则

C的离心率为

变式3已知双曲线二+”=1的离心率ee（l,2）,则〃?的取值范围是（）

4m

A.(-12,0)B.(-oo,0)C.(-3,0)D.(-60,-12)

例10.18已知双曲线的渐近线方程是2x土y=0,则该双曲线的离心率等于—

评注①若双曲线方程为0-[=1（。>0乃〉0）时（焦点在x轴上），其渐近线方程为

ab

,b

y=±—x；

a

22

若双曲线方程为j=l（a>0,b>0）时（焦点在y轴上），其渐近线方程为y=+-x；

a~b~b

②若双曲线的渐近线方程为y=±立女>0）；则其离心率e=Jl+坊（焦点在x轴上）或

e=Jl+*（焦点在y轴上）；

③若双曲线的离心率为e,则其渐近线方程为y=±J7二Tx（焦点在x轴上）或

y=±^—2-x（焦点在y轴上）.

22

变式1【2016高考新课标2理数】已知耳,居是双曲线E:5-2=1的左，右焦点，点

a~b~

M在E上，MG与x轴垂直，sin/MKK=g，则E的离心率为（）

a

(A)A/2(B)-(C)V3(D)2

2

变式2若双曲线2y=1（。>0力>0）的离心率6=若，则其渐近线方程为.

a~b

例10.19已知双曲线J—2r=l（a>0,/?>0）.

a'b

（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率

（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率.

变式1设双曲线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为8,如果直线与该双曲线的一

条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）

A.41B.V3

c用1］）亚+1

'2-2

例10.20双曲线「—鼻=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为耳，工，过K作倾斜角为

ab

30。的直线交双曲线右支于点M,若垂直于工轴，则双曲线的离心率为（）

A.V6B.V3c・&D-T

r22

变式1已知大，居是双曲线三一J=l（a>0/>0）的两个焦点,M为双曲线上的点,

。一b

若AMF2F}=30°,则双曲线的离心率为（）

V3+1

A.V3-1B.—C.V3+1D.--------

22

X"v

变式2已知再，尸2是双曲线F—的两个焦点，P是C上一点，若

a-b"

\PFt\+\PF2\^6a,且APf；鸟的最小内角为30。，则。的离心率为.

例10.21双曲线j—5=1(。>0力>0)的两个焦点为片，F,,若P为其上一点，且

a~b

|P制=2|。段，则双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+8)D.[3,+oo)

变式1已知双曲线――A=l(a>02>0)的左、右焦点分别为6(―c,0),Q(c,0),若

ab

双曲线上存在点P使sm-PF|.=a,则该双曲线的离心率的取值范围是____________

sinZPFjF,c

题型142焦点三角形

思路提示

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即|忸制-|产鸟|=2。，

在焦点三角形面积问题中若已知角，则用枭色巴=^\PF]\-\PF2\sin0,\PF\-\PF^=2a

及余弦定理等知识；若未知角，则用枭•仅0|.

例10.22过双曲线方--看=1左焦点g的直线交双曲线的左支于两点W,N,B为其

右焦点，则四用+|叫|一M用的值为.

变式1设p为双曲线--二=i上的一点，片，工是该双曲线的两个焦点，若

12"

|P£|:|P闾=3:2,则APEB的面积为（）

A.6A/3B.12

C.12V3D.24

变式2双曲线亍-丁=1的两个焦点为再,F2,点P在双曲线上，APKF2的面积为目,

则丽•西等于（）

A.2B.V3C.-2D.-V3

变式3已知£,工分别为双曲线--丝=1左、右焦点，点AwC，点"的坐标为

927

(2,0),AM为NKAB的平分线，则k鸟|=.

最有效训练题43（限时45分钟）

1.已知双曲线二一一匕=1,直线/过其左焦点居，交双曲线左支于A,B两点，且MW=4,

m7

工为双曲线的右焦点，尸2的周长为20,则的值为（）

A.8B.9C.16D.20

r2

2.若点。和点尸（一2,0）分别为双曲线♦一）/=1（。＞0）的中心和左焦点，点尸为双曲线

a

右支上的任意一点，则加•品的取值范围为（）

A.13-2,\/3,+oo^B.^3+2^3,+oojD.，

4

3.已知片，尸2为双曲线/一丁二2的左、右焦点，点P在。上，|P团=2|尸/讣则

COSZF1PF2=)

33

AB.C.D.A

-!545

x,22n2

4.若椭圆三+Ry=l（a＞。＞0）的离心率为券，则双曲线'=1(。>0,8>0)的

渐近线方程为（）

B.y=±2xC.y=±4xD.y=±gx

A