2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型四 函数图象性质探究题 (含答案)VIP

2024甘肃中考数学二轮专题训练题型四函数图象性质探究题类型一纯函数图象性质探究1.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x…012345…y…6321.51.21…(1)当x＝________时，y＝1.5；(2)根据表中数值描点(x，y)，并画出函数图象；(3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：____________________________________．第1题图2.根据课本上学习函数的经验，请你对函数y＝eq\f(x,x－1)的图象与性质进行探究，并回答下列问题：下表是y与x的几组对应值：x…－3－2－102345…y…0.750.670.5021.51.31.25…(1)函数y＝eq\f(x,x－1)的自变量x的取值范围是________；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中部分各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了该函数图象的一部分，请你补全此函数的图象；第2题图(3)观察图象，写出该函数的一条性质：____________________________________．3.张帆在学习过程中遇到一个函数y＝eq\f(2,x)|x－3|(x>0)．下面是张帆探究该函数图象与性质的过程，请补充完整：(1)当0<x<3时：对于函数y1＝eq\f(2,x)，y1随x的增大而________，且y1>0；对于函数y2＝|x－3|，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当0<x<3时，y随x的增大而________；(2)当x≥3时：对于函数y，y与x的几组对应值如下表：x…34567…y…0eq\f(1,2)____1eq\f(8,7)…结合上表，进一步探究发现，当x≥3时，y随x的增大而增大．补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出当x≥3时函数y＝eq\f(2,x)|x－3|的图象；第3题图(3)结合(1)(2)的分析，函数y＝eq\f(2,x)|x－3|(x>0)的最小值为________．4.小明在学习过程中遇到一个函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)|x|（x2－2x＋1）（－2≤x＜0）,|2x－4|（x≥0）)).下面是小明对其探究的过程，请补充完整：(1)当－2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝－x，y1随x的增大而________，且y1＞0；对于函数y2＝x2－2x＋1，y2随x的增大而________，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而________；(2)在给出的平面直角坐标系中，填空并描出表格中各点，画出该函数图象.x－2－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)01234…yeq\f(9,2)eq\f(75,32)meq\f(9,32)4n024…其中m＝________，n＝________；第4题图(3)根据所画函数图象，写出该函数的一条性质：________________________________；(4)若方程y＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______________．5.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数y＝2eq\r(x＋3)－2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题.x…－2－10123456…y…00.831.462.472.903.293.664.00…(1)函数y＝2eq\r(x＋3)－2中自变量x的取值范围是________；当x＝1时，y＝________；(2)在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值(x，y)画出该函数的图象；(3)观察画出的图象，写出该函数的一条性质：____________________________．第5题图6.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x＋|－2x＋6|＋m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.x…－2－1012345…y…654a21b7…(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝________，a＝________，b＝________；(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：______________________；(3)已知函数y＝eq\f(16,x)的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x＋|－2x＋6|＋m>eq\f(16,x)的解集．第6题图7.函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝－eq\f(8x,x2＋4)的图象，并探究其性质．列表如下：x…－4－3－2－101234…y…eq\f(8,5)eq\f(24,13)aeq\f(8,5)0b－2－eq\f(24,13)－eq\f(8,5)…(1)直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；第7题图(2)观察函数y＝－eq\f(8x,x2＋4)的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当－2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；②x＝2时，函数有最小值，最小值为－2；③－1<x<1时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是________．(请写出所有正确命题的番号)(3)结合图象，请直接写出不等式eq\f(8x,x2＋4)>x的解集____________．8.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|eq\f(6,x＋3)－2|的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)函数y＝|eq\f(6,x＋3)－2|的自变量x的取值范围是________；(2)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…－6－5－4－2－101234…y…458410eq\f(1,2)eq\f(4,5)1eq\f(8,7)…根据上表数据，在所给的平面直角坐标系中描出以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；并写出一条该函数的性质；(3)若方程|eq\f(6,x＋3)－2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．第8题图类型二几何图形中的函数图象性质探究1.如图①，在△ABC中，AB＝6cm,AC＝5cm，∠CAB＝60°，点D为AB的中点，线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作FG⊥AB于点G，设A,E两点间的距离为xcm,F,G两点间的距离为ycm.第1题图①小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据A,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.511.031.411.501.752.20y/cm00.941.912.492.843.00x/cm2.683.003.614.104.745.00y/cm2.842.602.001.500.900.68请你通过计算补全表格；(2)描点、连线：如图②，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出y关于x的图象；第1题图②(3)探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？__________________；(4)解决问题：当AE＋FG＝2时，FG的长度大约是________cm.(保留两位小数)2.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B(当点B，D重合时，点C，F也重合)，设B，D两点间的距离为xcm(0≤x≤8)，A，F两点间的距离为ycm.第2题图①小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据B,D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.522.53y/cm6.005.765.535.315.094.884.69x/cm3.544.55678y/cm4.504.334.174.023.793.65a请你通过计算，补全表格：a＝________；(2)描点、连线：如图②，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象：第2题图②(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：____________________________；(4)解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是________________________________cm.(结果保留两位小数)3.如图①，点C为弦AB上的一定点，AB＝6.4cm.eq\o(AB,\s\up8(︵))上有一动点D，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，连接EA，ED，AD.第3题图①小军尝试结合学习函数的经验，对线段AD，CD，AE的长度之间的关系进行了探究，请将以下小军的探究过程补充完整．(1)列表：下表的数据是根据点D在eq\o(AB,\s\up8(︵))上的不同位置进行画图，通过测量线段AD，CD，AE的长度，分别得到了几组对应值：位置线段①②③④⑤⑥⑦⑧AD/cm0.000.831.602.363.404.515.406.40CD/cm3.002.512.101.761.601.932.513.40AE/cm3.002.201.571.281.803.004.125.55在AD，CD，AE的长度这三个量中，确定________的长度是自变量x,另外两条线段的长度都是这个自变量的函数y；(2)描点、连线：如图②，在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的两个函数的图象：第3题图②(3)解决问题：在点D的运动过程中，当CD＝AE时，AD的长度大约是________cm.(结果保留两位小数)4.如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP.已知AB＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm.第4题图①小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)列表：按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm2.492.642.883.253.804.656.00y2/cm4.594.243.803.252.510.00请你通过计算补全表格(保留两位小数)；(2)描点、连线：如图②，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；第4题图②(3)解决问题：①当AP＝2BD时，AP的长度约为________cm；②当BP平分∠ABC时，BD的长度为______cm.5.小东在学习中遇到这样一个问题：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，AE＝3CE，P是BC边上一动点，射线PE交矩形ABCD的边于点F.探究线段PB，PE，EF长度之间的关系．小东分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．(1)根据点P在BC边上的不同位置，画出相应的图形，测量线段PB，PE，EF的长度，得到下表的几组对应值．请补全表格：位置1位置2位置3位置4位置5PB/cm01.02.03.04.0PE/cm6.185.214.263.36____EF/cm2.062.092.132.23____位置6位置7位置8位置9PB/cm5.06.07.08.0PE/cm1.801.501.802.5EF/cm3.624.505.407.5(2)将线段PB的长度作为自变量x，PE和EF的长度都是x的函数，分别记为yPE和yEF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPE的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yEF的图象；(3)当线段BP的取值范围为________________时，EF＝3PE.图①图②第5题图6.如图①，等腰Rt△ABC的边BC与正方形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合，AB＝BC＝DG＝2cm，将△ABC沿着射线DE方向移动至点B与点E重合停止，连接BG，设C、D两点间的距离为xcm，B、G两点间的距离为ycm.小陈根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．第6题图①下面是小陈的探究过程，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据C、D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x00.511.522.533.54y2.832.52.062.062.242.52.83请你通过计算补全表格；(2)描点、连线：如图②，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象；第6题图②(3)探究性质：随着x值的逐渐增大，y的值是怎样变化的？_________________________；(4)解决问题：当BG≥CD时，C、D两点间的距离x的取值范围是________．类型三实际问题中的函数图象性质探究1.随着人类生活水平的不断提高，人类摄入的营养也是越来越多样了．为了能够更加准确地衡量人体肥胖情况，有科学家提出了一个新的名词—RFM指数，它的中文意思就是“相对脂肪质量指数”．某数学兴趣小组通过查阅资料发现RFM指数与身高和腰围有一定的关系，对于男性来说，RFM＝64－(20×身高/腰围)．对于身高为170cm的男生，设RFM指数为y，腰围为xcm.(1)y与x的函数关系式是______________；(2)①列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格(结果精确到0.1)；x(单位：cm)7373.57474.57576y17.417.718.118.419.3x(单位：cm)78.57980.581.583x20.721.822.323.0②描点：根据表中数据，继续描出①中剩余的两个点(x，y)；③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；第1题图(3)请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．2.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强p(Pa)与木板面积S(m2)的对应值如下表：木板面积S(m2)11.522.534木板对地面的压强p(Pa)600400300240200150(1)求p与S之间满足的函数关系式；(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)结合图形，如果要求压强不超过4000Pa，木板的面积至少要多大？第2题图3.某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池总造价为y千元．对于y的性质，小亮利用学习函数的经验进行探究，过程如下，请补充完整：第3题图①(1)建立函数模型：设长方体底面的长为x，由底面积为1，可得底面的宽为eq\f(1,x)，则y关于x的函数表达式为__________．(2)列表：根据函数的表达式，得到了x关于y的几组值，如下表：x…eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,2)12345…y…eq\f(21,4)eq\f(13,3)eq\f(7,2)3eq\f(7,2)eq\f(13,3)meq\f(31,5)…其中m的值为________；(3)描点，画出函数图象：如图②，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；第3题图②(4)观察分析，得出结论：根据以上信息可得，当x＝____时，水池总造价y有最小值，最小值为______千元．4.某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其他费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．任务1：该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；小明的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×0.05＝10(元)；如果3天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×2×0.05＋200×0.05＝30(元)；如果4天购买一次，则保管费与其他费用需支付200×3×0.05＋200×2×0.05＋200×0.05＝60(元)，他发现已有的数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是他解决这个问题的过程，请解答相关问题．(1)计算得到x与y的部分对应值如下表，请补全表格：x/天…23456y/元…455.0430.0420.0________x/天78910…y/元415.7417.5420.0423.0…(2)在平面直角坐标系中，描出(1)中所对应的点；第4题图(3)结合图象：养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．任务2：提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．参考答案类型一纯函数图象性质探究1.解：(1)3；(3分)(2)画出函数图象如解图；(6分)第1题解图(3)函数值y随x的增大而减小．(答案不唯一，写出一条即可)(10分)2.解：(1)x≠1；(2)补全函数图象如解图；第2题解图(3)该函数的图象关于点(1，1)成中心对称(答案不唯一)．3.解：(1)减小，减小，减小；(2)表格中所填数字为eq\f(4,5)，画出函数图象如解图；第3题解图(3)0.4.解：(1)减小，减小，减小；(2)1，2；描点画出函数图象如解图；第4题解图【解法提示】当x＝－1时，y＝eq\f(1,4)×1×(1＋2＋1)＝1；当x＝1时，y＝|2×1－4|＝2.(3)①当0≤x＜2时，y随x的增大而减小；②当x＞2时，y随x的增大而增大；(写出其中一条即可，答案不唯一)(4)4＜k≤eq\f(9,2).5.解：(1)x≥－3；2.00；【解法提示】令x＋3≥0，解得x≥－3，令x＝1，y＝2eq\r(x＋3)－2＝2eq\r(1＋3)－2＝2.(2)画出函数图象如解图；第5题解图(3)函数值y随x的增大而增大．(答案不唯一)6.解：(1)－2，3，4；(2)画出函数图象如解图；第6题解图当x＝3时，函数有最小值，最小值为1；(答案不唯一)(3)x>4或x<0.7.解：(1)a＝2，b＝－eq\f(8,5)；画出函数图象如解图①；第7题解图①【解法提示】把x＝－2，y＝a代入y＝－eq\f(8x,x2＋4)中，得a＝－eq\f(－16,4＋4)＝2，把x＝1，y＝b代入y＝－eq\f(8x,x2＋4)中，得b＝－eq\f(8,1＋4)＝－eq\f(8,5).(2)②③；【解法提示】①由函数图象可知，当－2≤x≤2时，函数图象关于原点对称，不关于直线y＝x对称，此命题错误；②由函数图象可知，x＝2时，函数有最小值，最小值为－2，此命题正确；③由函数图象可知，－1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，此命题正确．(3)x<－2或0<x<2.【解法提示】如解图②，当x<－2或者0<x<2时，函数y＝eq\f(8x,x2＋4)的图象在直线y＝x的上方，∴不等式eq\f(8x,x2＋4)>x的解集为x<－2或0<x<2.第7题解图②8.解：(1)x≠－3；【解法提示】y＝|eq\f(6,x＋3)－2|，根据分式有意义的条件，得x＋3≠0，解得x≠－3.(2)画出函数图象如解图；第8题解图性质：当－3＜x＜0时，y随x的增大而减小；当x<－3或x＞0时，y随x的增大而增大；(3)a>0且a≠2.类型二几何图形中的函数图象性质探究1.解：(1)eq\f(3\r(3),2)(或2.60)；(2分)(2)画出y关于x的图象如解图①；(4分)第1题解图①(3)当0≤x≤2.20时，y随x的增大而增大，当2.20<x≤5时，y随x的增大而减小；(7分)(4)1.30.(9分)【解法提示】如解图②，AE＋FG＝2，即y＝2－x，作直线y＝2－x与曲线相交，得y≈1.30.第1题解图②2.解：(1)3.60；(1分)(2)画出函数y关于x的图象如解图①所示；(3分)图①图②第2题解图(3)随着自变量x的不断增大，函数y不断减小；(5分)(4)3.50(如解图②交点横坐标)(3.40≤BD≤3.60都给分)．(7分)3.解：(1)AD；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，(1)中所确定的两个函数的图象如解图①所示；第3题解图①(3)3.14【解法提示】在点D的运动过程中，当CD＝AE时，AD的长度大约是3.14cm，如解图②.(答案不唯一，3.00≤AD≤3.30均得分)第3题解图②4.解：(1)1.50(可相差0.10cm～0.20cm)；(2)画出函数图象如解图①；第4题解图①(3)①3.80(可相差0.10cm～0.20cm)；②3.【解法提示】如解图②，直线y＝2x与y2图象交点的纵坐标即为AP＝2BD，AP的长度约为3.80cm；从表格数据看，当x＝3时，y1＝y2＝3.25，即点D在AB的中点时，y1＝y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ABC为等腰直角三角形，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D是AB的中点，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝3cm.第4题解图②5.解：(1)2.50，2.50；【解法提示】如解图①，过点P作PH∥CD交AC于点H，∴∠PHE＝∠ACF，∵当BP＝4时，点P是线段BC的中点，∴点H是线段AC的中点，PH＝eq\f(1,2)AB＝3cm，∵AE＝3CE，∴HE＝CE，∵∠PEH＝∠CEF，∴△PEH≌△FEC(ASA)，∴PH＝CF＝3cm，PE＝EF，在Rt△PCF中，PF＝eq\r(PC2＋FC2)＝5cm，∴PE＝EF＝eq\f(1,2)PF＝2.50cm.第5题解图①(2)画出函数yEF的图象如解图②所示；第5题解图②(3)eq\f(16,3)≤BP≤8.【解法提示】如解图③，∵PC∥AD，∴∠DAC＝∠ACP，∵∠AED＝∠CEP，∴△CEP∽△AED，∴eq\f(PC,AD)＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴PC＝eq\f(8,3)cm，∴PB＝BC－PC＝eq\f(16,3)cm，由△CEP∽△AED，可知当点F在AD上时，总有EF＝3PE.故eq\f(16,3)≤BP≤8.第5题解图③6.解：(1)eq\r(5)(或2.24)，2；【解法提示】如解图①，当x＝1时，BD＝CD＝1，在Rt△BDG中，y＝BG＝eq\r(DG2＋BD2)＝eq\r(5)(或2.24)；当x＝2时，易知点B与点D重合，点C与点E重合，此时y＝BG＝DG＝2.图①图②图③第6题解图(2)画出函数图象如解图②；(3)当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2<x≤4时，y随x的增大而增大；(4)