初中数学竞赛教程

初中数学竞赛教程

篇一：初中数学竞赛教程19、全等三角形

2013年暑期初一数学竞赛第十九讲：全等三角形

【知识要点】

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形

是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决

与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以

证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置

关系等常见的几何问题.

全等三角形的判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,直

角三角形全等另有：HL.全等三角形的性质：全等三角形

的对应边相等，对应角相等.利用全等三角形证明问题，

关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础

的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对

三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系

互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图

形：

【例题解析】

例1、如图，AD、ATT分别是锐角AABC和△ArB，C中

BC、B，C边上的高，且AB=A，B。AD=AD,若使4ABC

乌△A，B，C,请你补充条件（只需要填写一个你认为适

AA'

当的条件）.C'D'BDCB'1>如图，

ZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,给出下列结论：①N

1=Z2；®BE=CF；©AACN^AABM；®CD=DN,其中正

确的结论是（把你认为所有正确结论的序号填上）.

F

A

E

C

M

B

2、如图，在4ABD和4ACE中，有下列4个论断：①

AB=AC；②AD=AC；③NB=NC；@BD=CE,请以其中

三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命

题（用序号。。。一。的形式写出），并给予证明.

B

A

CE

例2、在aABC中，AC=5,中线AD=4,则边AB的

取值范围是（）A.l<AB<9B.3<AB<13

C.5<AB<13D.9<AB<13

1、已知三角形的两边长分别为5和7,你们第三边上的中

线长x的取值范围是

2、如图，^ABC中，D是BC的中点，DE±DF,试判

断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

A

D

C

例3、如图，BD、CE分别是AABC的边AC和AB上的

高，点P在BD的延长线上，BP=AC,

点Q在CE上，CQ=ABo求证：(1)AP=AQ；(2)AP

±AQ.

AP

B

C

1、在aABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC,

求NABC的度数。

2、如图，已知N1=N2,EF_LAD于P,交BC延长线于

M,求证：ZM=

(ZACB-ZB).2

A

2

EB

D

P

FM

3、如图，在4ABC中，已知AB=AC,ZBAC=90°,D

是BC上一点，EC±BC,EC=BD,

A

DF=EF,求证：AF±DEo

E

F

B

D

C

例4、如图，已知AE平分NBAC,BE±AE于E,ED

〃AC,ZBAE=36°,求NBED。

E

BD

1、如图，在aABC中，AD是NA的外角平分线，P是

AD上异于A的任意一点，设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,

试比较m+n与b+c的大小关系，并说明理由。

求证：AC=AE+CD.

c

A

P

C2、如图，在aABC中，ZABC=60°,AD、CE分别平

分NBAC、ZACB,

A

E

D

C

3、如图，在四边形ABCD中，AC平分NBAD,过C作

CE±AB于E,且AE=^ZABC+ZADC的度数.

1

(AB+AD),2

D

C

A

E

B

例5、如图已知AB=CD=AE=BC+DE=2,ZABC=Z

AED=90°,求五边形ABCDC的面积.

C

BA

D

E

【巩固拓展】

1.如图，OA=OC,OB=OD,则图中全等三角形共有

对.2.如图，AD〃BC,Z1=Z2,Z3=Z4,

AD=4,BC=2,那么AB=.

3.如图，D是AABC的边AB上一点，DF交AC于点F,

给出3个论断：®DE=FE；®AE=CE；③FC〃AB,以其

中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个

A

命题，其中正确命题的个数是.

ADE

CFE

DD13

BBACBC

（第2题）（第3题）（第4题）

4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分NBAD,

ABAD,下列结论中正确的是（）A.AB-ADCB-CD

B.AB-AD=CB—CD

C.AB—AD<CB—CDD.AB-AD与CB—CD的大

小关系不确定.5.考查下列命题：

（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应

相等;

（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应

相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线

（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）

两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三

角形全等.其中正确命题的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，AABC^

△ABD,ZC=100°,ZABC=30°,则N。.

7.如图，已知OA=OB,OC=OD,下列结论中：①NA=

ZB；②DE=CE；③连OE,则OE平分NO,正确的是0

A.①②B.②③C.①③D.①②③

8.如图，DA_LAB,EA±AC,AB=AD,AC=AE,BE

和CD相交于O,则NDOE的度数是

D

O

EAE

DACD

A

C

B

9.如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE,Z1=Z

2=Z3,贝！|DE的长等于（）A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

10.如图，已知AD平分NBAE,ZB=ZD,AB=AD,说

出下列结论成立的理由：（l）4ABC/ZkADE；（2）DE=BC.

篇二：初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼

初一数学竞赛讲座

第9讲应用问题选讲

我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学

的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打

下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知

识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活

动中所遇到的实际问题。

运用数学知识解决实际问题的基本思路是:先将这个实际

问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然

后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：

这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审

题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来,

将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

一、两个量变化时，和一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保

持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？

观察下面的表：

我们不难得出如下的规律:

两个变化着的量,如果在变化的过程中，和始终保持不变,

那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们

相等时，积最大。

这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网

建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高

度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别

应是多少？

解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有

x+2y=1.2x20=24o

长方形的面积为

因为x和2y的和等于24是一个定值,故它们的乘积当它

们相等时最大，此时长方形面积S也最大。于是有

=

x129y—6o

例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么

每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个

涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润,

售价应定为多少？

解：设每个商品售价为(50+x)元，则销量为(500-10X)

个。总共可以获利：

(50+x-40)x(500-lOx)

=10x(10+X)x(50-X)(元)。

因(10+x)+(50-x)=60为一定值，故当10+X=50—X

即X=20时，它们的积最大。

此时，每个的销售价为50+20=70(元)。

例3若一个长方体的表面积为54厘米2,为了使长方体

的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？

解：设长、宽、高分别为x,y,z厘米，体积为V厘米3。

2(xy+yz+zx)=54,xy+yz+zx=27。

因为V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),

故当xy=yz=zx即x=y=z=3时，V2有最大值，从而V也

有最大值。

例4有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各

剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使

做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？

解：如上图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒

的容积为V=x(24-2x)(24-2x)

=2x2x(12-x)(12-x)o

因为2x+(12-x)+(12-x)=24

是一个定值，故当

2x=12-x=12-x,

即x=4时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。

二、两个量变化时，积一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终

保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢?

观察下面的表：

我们不难得出如下的规律：

两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不

变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当

它们相等时，和最小。

例5长方形的面积为144cm2,当它的长和宽分别为多

少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为xcm

和ycm,则有

xy=1440

故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2(x+

y)也有最小值。例6用铁丝扎一个空心的长方体，为了使

长方体的体积恰好是216cm3,长方体的长、宽、高各是多

少厘米时，所用的铁丝长度最短？

解：设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则

有xyz=216。铁丝长度的和为4(x+y+z),故当x=y=z

=6时，所用铁丝最短。

例7农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池，鱼

池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地

总面积最小，水池的长和宽应为多少？

解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym,则有

xy=432o

占地总面积为S=（x+6）（y+8）cm2o于是

S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。

我们知道6yX8X=48X432为一定值，故当6y=8X时，S

最小，此时有6y=8X=144,故y=24,x=18o

例8某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用

规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有

48名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张

游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生,

每次的包车费均为40元。若要使每个同学游8次，每人最

少交多少钱？解：设一共买了X张卡，一共去游泳y次，则

共有

Xy=48x8=384（人次），

总用费为（240x+40y）元。

因为240xx40y=240x40x384是一定值，故当240x=40y,

即y=6x时，和最小。易求得x=8,y=48o此时总用费为

240x8+40x48=3840（元），

平均每人最少交3840・48=80（元）。

三、利用不等关系来解答的应用题

例9某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12

台，现要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方15台，

乙方13台。已知从A地运一台到甲方的运

费为500元，到乙方的运费为400元，从B地运一台到

甲方的运费为300元，到乙方的运费为600元。已知运费由

公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的

总运费最省？

解：设由A地运往甲方x台，则A地运往乙方(16-x)

台，B地运往甲方(15-x)台，B地运往乙方(x-3)台。

于是总运价为：

S=500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3)

=400x+9100o

显然，x要满足不等式3<x<15,于是当x=3时，总运价

最省，为400x3+9100=10300(元)。

调运方案为：由A地运往甲方3台，A地运往乙方13台,

B地运往甲方12台，B地运往乙方0台。

例10某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,

超过30册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册

费用在1.50元以内？

解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了(30+x)册,

于是总用费为(80+1.2X)元。故有

80+1.2x01.5x(30+x),

以内。

例11现有三种合金：第一种含铜60%,含镒40%；第

二种含镒10%,含银90%；第三种含铜20%,含镒50%,

含银30%o现各取适当数量的这三种合金，组成一块含银

45%的新合金，重量为1千克。

(1)求新合金中第二种合金的重量的范围；

(2)求新合金中含镒的重量的范围。

解：设第一种合金用量为x千克，第二种合金用量为y

千克，第三种合金用量为z千克，依题意有

(1)如果不取第一种合金，即x=0,那么新合金中第二

种合金重量最小。解得y=0.25。

如果不取第三种合金，即z=0,那么新合金中第二种合金

重量最大。解得y=0.5。

新合金中第二种合金的重量范围是0.25克到0.5克。

(2)由①②可得z=L5-3y,x=2y—0.5。故新合金中含镒

的重量为S=40%x+10%y+50%z

=40%(2y-0.5)+10%y+50%(1.5-3y)

=0.55-0.6yo

因为O.250y0O.5,所以O.250SWO.4,即新合金中含镒的重

量范围是0.25克到0.4克。

例12某商店需要制作如下图所示的工字形架100个，每

个由三根长为2.3米、1.7米、1.3米的铝合金材料组装而成。

市场上可购得该铝合金材料的原料长为6.3米。问：至少要

买回多少根原材料，才能满足要求(不计损耗)？

解：每根原材料的切割有下表的七种情况：

显然，④⑤⑥三种方案损耗较小。④⑤⑥⑦方案依次切割

原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3

米的材料各100根，共用原材料42+14+29+1=86（根）。

练习9

1.销售某种西服，当每件售价为100元时可售出1000件。

如果定价每下降1%,那么销售量将提高0.5%,又知道这批

西服是每件80元成本购进的。问：应如何定价才能使获利

最大？

2.下图是一个面积为4m2的窗户，当a：b的值是多少

时，窗户的框架所用的材料最省？

3.有一个长为80cm、宽为40cm的木板，要以它为原材

料做一个无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最

大？最大的容积是多少？

4.某厂要建造一个无盖的露天水槽，其底为正方形，容

量为64000m3。在建造时，槽底的造价是四壁的2倍，这个

水槽的底面边长和高的比例是多少时，造价最省？

5.A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要将化肥

运往C,D两村。已知从A城运往C,D两村的运价分别是

每吨20元和25元，从B城运往C,D两村的运价分别是每

吨15元和22元。某个体户承包了这项运输任务，请你帮他

算一算，如何调运才能使运费最省？

6.有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同,

但都是低于90分的整数。他们又参加了第5次测验，这样5

次的平均分数都提高到了90分，求第5次测验二人的得分

(满分为100分)。

7.某机械厂要把一批长7300毫米的钢筋截成长290毫米、

210毫米和150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在

做100套钢筋架子，至少要用去长为7300毫米的钢筋多少

根？

篇三：初中数学竞赛教程及练习之因式分解附答案

因式分解

一、内容提要和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公

式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介貂两种方法

添项拆项。是.为了分组后，能运用公式(包括配方)或提

公因式

例1因式分解：①x4+x2+l②a3+b3+c3—3abc

①分析：x4+l若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+l=x4+2x2+l-x2=(x2+l)2一

x2=(x2+l+x)(x2+l—x)

②分析：a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2

解：a3+b3+c3—3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3—3abc—

3a2b-3ab2

=(a+b)3+c3—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2—(a+b)c+c2]—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—be)

例2因式分解：①x3—Ux+20②a5+a+l

分析：把中项一Ux拆成一16x+5x分别与x5,20组成两

组，则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)

解：x3—llx+20=x3—16x+5x+20=x(x2—16)+5(x+4)

=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)

分析：添上一a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组,

正好可以用立方差公式

解：a5+a+l=a5—a2+a2+a+l=a2(a3—1)+a2+a+l

=a2(a—1)(a2+a+l)+a2+a+l=(a2+a+l)(a3—a2+l)

运用因式定理和待定系数法

定理：⑴若x=a时，f(x)=O,[即f(a)=O],则多项式f(x)

有一次因式X—a

⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例3因式分解：①x3—5x2+9x—6②2x3—13x2+3

①分析：以x=±l,±2,±3,±6(常数6的约数)分别代入原

式，若值为0,则可找到一次

因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

解：•・，x=2时，x3—5x2+9x—6=0,，原式有一次因式x

—2,

x3—5x2+9x—6=(x—2)(x2—3x+3,)

②分析：用最高次项的系数2的约数±1,±2分别去除常

数项3的约数.①②③.

±1,±3得商士1,±2,±

可知只有当x=

解：,・"=13,土,再分别以这些商代入原式求值，221时,

原式值为0。故可知有因式2x-121时,2x3-13x2+3=0,/.

原式有一次因式2x—L2

设2x3—13x2+3=(2x—1)(x2+ax—3),(a是待定系

数)

比较右边和左边x2的系数得2a-l=-13,a=-6

2x3—13x+3=(2x—1)(x2—6x—3)o

例4因式分解2x2+3xy—9y2+14x—3y+20

解：・・・2x2+3xy—9y2=(2x-3y)(x+3y),用待定系数法,

可设

2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+a)(x+3y+b),

a,b是待定的系数，

比较右边和左边的x和y两项的系数，得

?a?4?a?2b?14解得b?5?3a?3b??3

2x2+3xy—9y2+l4x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)

又解：原式=2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)这是关于x

的二次三项式常数项可分解为一(3y—4)(3y+5),用待定

系数法，可设

2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+

(3y+5)]

比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2,n=l

/.2x2+