高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (三十二)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(32)

1.如图，在四棱锥P-4BCD中，A4BD是边长为2的正三角形，PC1底面A8C£>,AB1BP,BC=

(1)求证：PAJ.BD；

(2)若PC=BC,求二面角4—BP-C的正弦值.

2.如图所示,圆锥的顶点为尸,底面中心为0,母线PB=4,底面半径0A与0B互相垂直，且0B=2

(1)求圆锥的表面积;

(2)求二面角P-AB-0的大小(结果用反三角函数值表示);

(3)取尸8中点F,求直线A尸与平面所成角(结果用反三角函数值表示).

3.如图，在四棱锥P-4BCC中，ADHBC,Z.ADC=/.PAB=90°,BC=CD=^AD.E,例分别

为棱A。、PO的中点，P41CD.

(1)证明：平面MCE〃平面PA8；

(2)若二面角P-CD-4的大小为45。，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

4.如图，已知三棱柱ABC-平面AiACCi_L平面ABC,^ABC=90°,ABAC=30°,AXA=

A1C=AC,E,尸分别是AC,的中点.

(1)证明：EF1BC；

(2)求直线EF与平面&BC所成角的余弦值.

5.如图，在三棱锥。一ABC中，ABIBD,BC1CD,M,N分别是线段A。，BQ的中点，MC=1,

AB=BD=&，二面角。一BA-C的大小为60。.

D

(1)证明：平面MNCJ■平面BCD；

(2)求直线BM和平面MNC所成角的余弦值.

6.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA1平面ABC。，底面48CZ)是等腰梯形，4D〃BC,ACS.BD.

(1)证明：BD1PC；

(2)若P4=4D=4,BC=2,求直线尸。与平面PAB所成角的正弦值

7.如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABC。，AB1AD,点E在线段AO上，KCE//AB.

(I)求证：CE_L平面PA。；

（口）若PA=AB=1,AD=3,CD=V2,NCDA=45。，求二面角P—CE-B的正弦值.

8.在多面体ABCDE中，平面4CDE_L平面ABC,四边形ACOE为直角梯形，CD//AE,ACLAE,

AB1BC,CD=1,AE=AC=2,尸为OE的中点，且点G满足丽=4前

(1)证明：GF〃平面A8C；

(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角力-BE-。的余弦值.

9.如图，在直角梯形尸BCD中，PB//DC,DCIBC,PB=BC=2CO=2,点A是PB的中点,

现沿AD将平面PAD折起，设NP4B=9.

(1)当。为直角时，求异面直线PC与8。所成角的大小;

(2)当。为多少时，尸到平面ABCD的距离为圣

(3)在(2)的条件下，求此时二面角。-PB-4的大小.

10.在三棱锥P-ABC中，△H4C和△PBC是边长为近的等边三角形，4B=

2,O,。分别是AB,PB的中点.

(I)求证：0。〃平面PAC；

(II)求证：OPJjRgABC；

(HI)求三棱锥D-OBC的体积.

11.如图，AB为。。的直径，PA垂直于。0所在的平面，C是圆周上不同于A,8的任意一点，D

为PC中点，且AC=4P.

(1)求证：4O_L平面PBC；

(2)设锐二面角C—4。一8的平面角为a,若cosa=£，求直线CQ与平面AOB所成角的正弦值.

12.矩形ABC。中，POL平面ABCQ,若PB=2,CD=1,PB与平面ABCO成30。角,

p

⑴若民产分别为AP,BP中点，求证EF//平面PC。

(2)求PB与CQ所成角的大小;

(3)求PB与平面PC。所成角的大小;

(4)点C到平面P8O的距离

13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—48C。，PA1平面ABC。，AB14C,E是的中点

①求证：AC1PB

②求证：PB//^AEC

14.如图，在正三棱柱Z8C-4181G中，底面正△4BC的边长为2,侧棱441=3,D,E分别为Cg,

CB的中点，设平面41CE与AB交于F点.

(1)求平面4DE与底面所成二面角的余弦值;

(2)求线段AF的长.

15.在五棱锥P-ABCDE中，平面PAE1平面ABCDE,APAE为等腰直角三角形，且NAPE9(1.AB=

2,AC=V10.AE=2AB,BE=2b，DE=3,ZABC-135\AB//

DE.

(1)求证：平面PDE_L平面PAE;

(2)求二面角B-PC-。的余弦值.

16.如图，在四棱锥P-4BC0中，已知PAABCD,/.BAD=90°,AD//BC,PA=AB=BC=1,

AD=2,E为PO的中点.

E

BC

(1)求证：CD_L平面PAC；

(2)求直线EC与平面A4C所成角的正切值.

17.如图，在四棱锥P-4BCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形,/W//BC,^ADC=90。,

AD=CD=3,BC=4,点M,N分别在线段4。和PC上，且器=瞿=2.

AMPN

(I)求证：PM〃平面BON；

(n)设二面角P-AD-B为仇若cos。=i,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

18.如图，在四棱锥P—4BCC中，底面ABCO是矩形，P4_L平面ABC。，PA=AD=2AB=2,E

是P8的中点.

p

(1)求证：CB、平面PAB;

(2)求异面直线EC和AO所成的角(结果用反三角函数值表示);

(3)求点B到平面PCD的距离;

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，APAB是等边三角形,CB_L平面P4B,/W〃8c且PB=BC=2AD=

2,F为PC中点.

(1)求证：CF〃平面PAB；

(2)求直线AB与平面PDC所成角的正弦值.

20.如图，在四棱锥P-4BCD中，平面4PB1平面4BC。，四边形ABC。

为直角梯形，AB//CD,AB1BC,UBP=30°,AP=BC=CD=1,

AB=2.

(1)求证：AP1CP；

(2)求二面角B-PC-。的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：连接AC,交.BD于0,

由PCJ_平面ABC。，可得POB,

y.AB1BP,BPCPC=P,3「,「。(1平面尸8(7,

可得ZB1平面PBC,BCu平面PBC,即有力B1BC,

由BC=2,AB=2,可得tan/BAC=些=立，

3AB3

即NBAC=30°,又乙4BD=60°,

贝ij乙4。8=90°,

即AC_LBD,XPC1BD,ACnPC=C,AC,PCu平面PAC,

则BDJ■平面PAC,APu平面PAC,即有PA1BD；

(2)解：由。为8£＞的中点，过。作0F〃PC,交AP于F,

可得OF，平面ABCD,

以。为坐标原点，OA,OB,OF为x,»z轴，建立直角坐标系0-xyz,

则4(丹0,0),F(0,l,0),D(0,-l,0),C(-y,0,0),P(-弓。，等),

则说=(0,2,0),而=净，一竽)，

设平面PBD的一^t■法向量为元=(x,y,z),

fn-DB=2y=0

=

由--*62A/3，取Z=1,X2)

In-PB=—x+y--z=0

可得为元=(2,0,1),

取PB的中点E,连接CE,由PC=BC,可得CE1.4P,

又4BJ■平面PBC,可得48ICE,即有CE1平面ABP,

由E(—9l,小即有而=W修片)为平面ABP的一个法向量.

即有cos<元，方>=船=焉=?，

可得sin<五，CE>==?.

即有二面角4-BP-。的正弦值为雷.

解析：本题考查线线垂直的证明，注意运用线面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的正弦值，

注意运用空间的法向量的夹角，考查化简整理的运算能力，属于较难题.

⑴连接AC,交80于O,运用线面垂直的判定和性质，可得4B1BC,求得ZB4C=30。,可得4c1BD,

再由线面垂直的判定和性质，即可得证；

(2)过。作0/7/PC,交AP于尸，以。为坐标原点,0A,。8,。尸为x,y,z轴，建立直角坐标系。一xyz,

分别求得A,B,C,D,P的坐标，可得向量而，丽的坐标，设出平面PBO的一个法向量为元=(x,y,

z),由向量垂直的条件：数量积为0,可得元=(2,0,1),再取PB的中点E,连接CE,可得向量CE

为平面A8P的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值.

2.答案：解：(l)r=2j=4,S底=兀八=兀乂22=4兀，S蒯=兀刊=兀x2x4=8兀，

S全=$徼+5庇=8兀+4兀=127T.

(2)方法一：

以。为坐标原点，以。4。3,。「所在的直线分别为羽％2轴，建立空间直角坐标系，如图所示：P01

平面4。8,得P010B,故aPOB为直角三角形，于是OP=WP-22=28,

所以4(2,0,0),5(0,2,0),P(0,0,273),于是同=(-2,2,0),AP=(-2,0,273).

设平面AOB的法向量荻=(3,z),则［%•丝=0,gpfx-y=0

(n2•/IP=0Ix-V3z=0

不妨令y=i，则x=i,z=争所以布=(1,1,净，，

且平面AOB的一个法向量为4=(0,0,1),设二面角P-AB-。的大小为仇

雪福屋=今"arc"

则COS。=

四||%|三77

故二面角P—AB—。的大小为arccos?(或arctanV^,或arcsin券).

方法二：取A8中点E,由三角形。48为等腰三角形得。EJ.4B,

又•••P。1面OAB,AB在面GAB内•••AB1P0,

vE01AB,AB1PO,POCtOE=0,AB1面POE,

又「PE在平面POE上，.'AB1PE,

二NPE。为二面角P-AB-。的平面角，

在RtAPEO中，cosZ.PEO=—=—>0=arccos—,

PE77

故二面角P—AB—。的大小为arccos?(或arctanV^,或arcsin手).

(3)方法一：以。为坐标原点，以040B,0P所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，点

4(2,0,0),6(0,2,0),P(0,0,2V3).则尸(0,1,码,方=(一2,1,⑸，

易得平面OAB的一个法向量五=(0,0,1),设直线4尸与平面O4B所成角。，而与诂所成角为w，cos0=

窝润=乎,sin<p=|cosO|==arcsin半。综上，直线AF与平面OAB所成角arcsin纥(或

|〃尸卜|71|4444

arccos—,或arctan叵).

4s1

方法二：取08中点4,连结FH和AH.

在AP0B中，/为中位线，易得FH〃P。，又•：P0工面0AB,FH工面OAB.

•••d4H是直线AF与平面0AB所成角，FH=®AH=遍,在RtAF.-l〃中，taMFAH="=

^-,z.FAH=arctan誉.

综上，直线AF与平面0AB所成角arcsin¥.(或arccos，^,或arctan号).

解析：本题考查圆锥的表面积的求法，考查用向量法求二面角、线面角，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

(1)圆锥的表面积S=nr2+nrI,由此能求出结果.

(2)以。为原点，0A为x轴，08为)，轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二

面角P-AB-。的大小.

(3)以。为原点，0A为x轴，为)，轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直

线AF与平面0AB所成角的大小.

3.答案：解：(1)证明：•••点E为的中点，fiC=|AD,AD//BC,

四边形A8CE为平行四边形，即EC〃4B,

又•••EC仁平面PAB,ABu平面PA8,

EC〃平面PAB.

•■E,"分别为棱AO、PC的中点，

EM//AP,

又TEMC平面P4B,APu平面PAB,

EM〃平面PAB.

又EMnEC=E,EM,ECu平面MCE,

.♦・平面MCE〃平面PAB；

(2)解:如图所示，

•••PA].AB,PA1CD,A8与CD是相交直线，AB,CDu平面ABCD,

•••PA，平面ABCD.

不妨设4。—2,贝ijBC—CD-^AD=1,

以与A£＞垂直的直线为x轴，4。所在直线为)，轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

设4P=%，4(0,0,0),£)(0,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,h),

从而苏=(0,2,-h),CD=(1,0,0).

设平面PCD的一个法向量为记=(x,y,z),

由/万•PD=2y+hz=0

Im-CD=%=0

令y=1,则沆=(0,1,；);

又平面ACD的一个法向量七=(0,0,1),

二面角P—CD-4的大小为45。，

9

T,0

^~i..~=~>解得h=2.

P(0,0,2),E(O,1,0),C(-l,2,0),

.•.1前=(T,l，0)，PE=(0,1.2),AP=(0,0,2).

设平面PCE的一个法向量为元=(%i，yi，zi),

由，T空=%_2Z1=0

取,=2,得记=(2,2,1).

(n-EC=—%1+y1=0

设直线PA与平面PCE所成角为。,

则sin。=|cos<AP>n>\

_|而•用_2_1

一|AP|-|n|-V9X2-3,

即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为

解析：本题考查面面平行的判定定理，考查直线与平面所成的角以及二面角的求法，属于中档题.

(1)证明出4V/BC,EC//AB,从而得到EM〃/1P,由品牌平行的判定定理得到平面MCE〃平面PAB；

(2)以与AD垂直的直线为x轴，4。所在直线为)，轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，写

2

7鼻

出坐标求出平面PCD的一个法向量，由平面ACO的一个法向量，再由,,求得九=2,

求出平面PCE的一个法向量，代入公式求得直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

4.答案：解：法一：(几何法)(1)连接4E,因为44=4道，E是AC的中点，所以4EJ.4C.

又平面44CC1_L平面ABC,ArEu平面4遇。。】,

平面4ZCGn平面ABC=AC,

所以，4E1平面ABC,则占E1BC.

又因为&F〃AB,AABC=90°,故BOJ.

ArEnArF=所以8C1平面&EF.

因此EF1BC.

（2）取BC中点G,连接EG,GF,则四边形EGF2是平行四边形.由于&E_L平面ABC,故A1E1EG,

所以平行四边形EGF4为矩形.

由（1）得BC平面EGFAi，贝I］平面4iBC_L平面EGFA1,

所以EF在平面&BC上的射影在直线&G上.

连接aG交EF于O,则4E0G是直线EF与平面4BC所成的角（或其补角）.

不妨设4C=4,则在RtAAiEG中，&E=2V5，EG=代.

由于。为4G的中点，故EO=OG=^=苧，

EO2+CG2-EG2_3

所以cos/EOG=

2EOOG~5*

因此，直线EF与平面4BC所成角的余弦值是也

法二：（向量法）（1）连接为E,因为A4=&C,E是AC的中点，所以&E_LAC.

又平面44CCi_L平面ABC,ArEu平面2人。。］,

平面4遇71。平面ABC=AC,所以4E1平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC,E4为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.

不妨设AC=4,则4(0,0,26),8(6,1,0),Big3,2b)，喈？,2®C(0,2,0).

因此前=停,|,2⑹，FC=(-V3,b0).

由前•元=0.得EF1BC.

(2)设直线EF与平面&BC所成角为仇

由(1)可得能=(―6,1，0)，不=(0,2,-2V3).

设平面4BC的法向量为n=(x,y,z),

sfB£-n=0，wf-V3x+y=0,

(4Ctn=0,(y—v3z=0,

取n=(1,73,1),

故sin0=|cos<EF,n)|=gL=|,

所以COS。=I，

因此，直线E尸与平面4BC所成的角的余弦值为|.

解析：【试题解析】

本题主要考查了线线垂直及线面角的余弦值，涉及面面垂直的性质、线面垂直的性质与判定、余弦

定理、平面的法向量、向量法证明线线垂直及求线面角的余弦值，属于中档题.

几何法：(1)根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定得到BCJ■面&EF,进而求得

结果；(2)由(1)知&E_L面ABC,进而得到面面垂直，从而得到线面角NE0G,利用余弦定理求解可

得.

向量法：(1)由几何法证明知，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利

用向量的数量积为零证明线线垂直；(2)求出平面4BC的法向量，利用向量法求线面角的余弦值即

可.

5.答案：解：(1)在RtaBCD中，N是斜边8。的中点，

所以NC,

22

因为M,N是AD,B。的中点,

所以=立，且MC=1,

22

所以MN2+NC2=MN1NC,

又因为4B1BD,MN//AB,

所以MN1BD,且BDCNC=N,

故MN1平面BCD,

因为MNu平面MNC,

所以平面MNC，平面BCD.

(2)法一：由(1)知MNJ■平面BCD,故ABI平面BCD,

所以ABIBC,又4BJ.BD,

所以ZCBC即为二面角。一B4—C的平面角，故4CBD=60。，

因此BC=BN=CN=CD=—.

22

以8为坐标原点，BC为x轴，8A为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.

因为D仔,0,里,J4(0,V2,0)»

所以中点M(f,冬令前=件1*.

Cg,0.0)，N仔0*.

所以丽=(_号,02，丽=,净0).

设平面NMC的法向量而=(%,y,z),

贝嚅.，羽即日;:出一°

V44

取％=V3,得记=(V3,0,l),

所以COS(丽丽

1X24

故sin(8M,布｝=?，

因此直线8M和平面MNC所成角的余弦值等于逗.

4

法二：由⑴知MNJL平面BCD,故4B，平面BCD,

所以481BC,

又AB1BD,所以4CBD即为二面角D-B4-C的平面角，故NCBD=60°,

因此8C=BN=CN

2

取CN的中点E,连接BE,则BE1CN,且BE=立，

4

在Rt团ABD中，BM=^AD=1,

又因为平面MNC1平面BCD,所以BE_L平面CMN,

因此NBME即为直线8M和平面MNC所成的角，

由sinz_BME=笆=再，得cos/BME=包，

BM44

所以直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于回.

4

解析：【试题解析】

本题主要考查面面垂直的判定及利用向量求直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，培

养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

(1)要证平面MNC，平面BCD,需证线面垂直，根据条件可知MN1BD,再根据勾股可证MN1NC,

从而可证MN，平面BCD,进而证出结论；

(2)法一：以8为坐标原点，8C为无轴，8A为y轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法可求；

法二：由(1)可知MN1平面2CQ,取CN的中点E,连接BE,可证BE_L平面CMN,NBME即为直

线BM和平面MNC所成的角，利用直角三角形即可求出结果.

6.答案：解：(1)证明：因为PAJ■平面ABCO,BDu平面ABCQ,所以P4J.BD.

又4C1BD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,

所以8。1平面P4C.

而PCu平面PAC,所以8。1PC.

(2)过。做DEIAB,OE交直线AB于E,连接PE.

因为PA_L平面ABCQ,PAu平面P4B,

所以平面P4B1平面ABCD,又因为平面R48n平面4BCD=AB,

所以DEL平面PAB.所以WPE就是尸。与平面PAB所成的角.

因为24=力。=4,所以PD=4或.

因为底面ABC。是等腰梯形，AD=4,BC=2

所以40=2&，，BD=3V2.X5=V10

所以。5=幽幽=蟀

\AB\5

所以siMDPE=—=—.

PD10

所以，直线PO与平面PAB所成角的正弦值为逑.

10

解析：本题考查四棱锥的体积，线面垂直的判定，线面垂直的性质，属基础题.

⑴由P4，平面ABCD,AC1BD可证得BDJL平面PAC,从而证得8。1PC；

(2)几何法，做出线面角，再计算.

7.答案：(1)证明：：PAJ■平面48C£>,CEABCD,

：.PA1CE,

■：ABX.AD,CE//AB,：.CELAD,

又PAnAC=4,PA,ADc^ffiPAD,

CE_L平面PAD；

(2)由(1)可知CE_LA。，

在RtAECC中，DE=CDcos450=1,CE=CDsin450=1,

AE=AD-ED=2,

又；AB=CE=1,AB//CE,

•••四边形A8CE为矩形.

以4为原点，AB为x轴，AO为y轴，AP为z轴，建立空间坐标系4一xyz,

则：4(0,0,0),C(l,2,0),E(0,2,0),P(0,0,1),

•1.PC=(1,2,—1),PE=(0,2,—1),

设平面PEC的法向量为五=(x,y,z),

则射邑=。，即图'2=：=。.

(元•PE=0(2y—z=°

令y-1,则z—2,x=0,

.•.取4=(0,1,2),

由PA_L平面ABC。，即平面BEC的一个法向量为羽=(0,0,1),

由二面角P-CE-B的平面角为锐角，

设二面角P-CE-B的平面角为仇

即cos。=|cos<n,AP>|

・•・sin。=yJl—cos23=g，

.•・二面角P-CE-B的正弦值为叱.

5

解析：本题考查线面垂直的判定和向量法求二面角，属于中档题.

(1)由PAJ■平面ABCZ),得PA1CE,由AB14D,CE//AB,得CE14D,由线面垂直的判定即可得

证；

(2)建立空间坐标系，得出平面PEC的法向量和平面BEC的法向量为方，由空间向量法运算即可.

8.答案：解：(1)分别取中点M,N,连结CM,MN,ND.

在梯形ACDE中，DC〃EA且DC=

△E4B中，M,N分别为BA,BE中点，

MN//EA,MN=^EA,

MN//CD,MN=CD,

二四边形C£WM是平行四边形，

CM//DN,

又宙=；方，N为EB中点、,

•••G为EN中点，又尸为E。中点，

GF//DN,：.GF//CM,

又CMu平面ABC,GFC平面ABC,

GF〃平面ABC.

(2)在平面48c内，过B作BH14c交AC于H.

•••平面4CDE1平面ABC,平面ACDEn平面ABC=AC,

BHu平面ABC,BH12C,平面ACOE,

.1.BH即为四棱锥B-ACDE的高，

又底面ACCE面积确定，所以要使多面体ABCCE体积最大，即最大，

又力B_LBC,AC=2,故最大时;4B=BC=夜，

连接“尸，则HF〃4E//CD,易知HB、HC、两两垂直，

以｛近，而丽｝为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz,

则4(0,-1,0),B(1,0,0),E(0,-1,2),0(0,1,1),

AB=(1,1,0),RE=(-1,-1,2),DE=(0,-2,1)，

设若=为平面A8E的一个法向量，

则叵竺=°,所以|X1+3，1=°n，取后=(1,-1,0)，

向•BE=0(-Xi-yi+2Z1=0

设荻=。2，、2*2)为平面OBE的一个法向量，

则恒•竺=0,所以,-2y2+z2=0取荻=(3』，2),

所以cos<4,无>=建言=¥，

|ni||n2|7

由图，二面角4-BE-。为钝二面角，

所以二面角A-BE-。的余弦值为—孑.

解析：本题考查线面平行的判定及二面角，考查利用空间向量求面面的夹角，属于中档题.

(1)分别取4B,EB中点也N,连结CM,MN,N。，由条件证明四边形CCMW是平行四边形，GF//DN,

即可得到GF〃CM,即可证明GF〃平面4BC；

(2)在平面ABC内，过B作BH1AC交AC于H,证得BHJ■平面ACQE,要使多面体A8CQE体积最

大，即BH最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得二面角4-BE-。的余弦值.

9.答案：解：(1)当。为直角时，^PAB=90°,则P4JLAB,

y.ABLAD,PA,ADcTOPAD,PAdAD=A,

则AB1平面PAD,

又CD11AB,所以CDJ■平面PAD,

则4CPD为PC与平面PAD所成角,

\PD\=>J\PA\2+\AD\2=V5,

RtACDP<^,tanzCPD=—>

5

所以PC与平面PA。所成角的大小为arctan在；

5

(2)点P到平面ABCD的距离为h,

因为40_LP4,AD1BA,PAC\BA=A,P4,B4u平面PA8,

则AD1平面PAB,,

.chV3

加。=丽=万’

则°；或i,；

(3)在(2)的条件下，取P8中点M,连接4W、DM,

■■\AP\=\AB\=1,•••AM1PB,

\DP\=\DB\=V5，DM1PB,

则二面角。-PB-4为

当9=；时，［41/AP\co«［，

g/nA”/1|4M|V57

MD=——，cosZ-DMA=；--=—,

112\DM\19

则二面角。—PB—4为arccos乂亘；

19

当心2：时，\AM1Apl

«5JJL

|MD|=",cos/DM4=^=当，

则二面角。—PB—A为arccos』亘，

17

所以二面角。—PB-4为arccos”或arccos包.

1917

解析：本题主要考查求线面夹角，三棱锥的体积，求二面角的大小，属于中档题.

(1)当。为直角时，根据线面垂直的判断可得AB1平面PAO,又CD"AB,则CD_L平面PAO,则“PD

为PC与平面PAQ所成角，解直角三角形可得tan/CPO=?，可得尸C与平面PAD所成角的大小;

⑵点P到平面A8C。的距离为儿证明4。平面P4B,点P到平面ABCQ的高在平面尸4B上，设

高为人,根据/_.BD=；X1X/I,求出6,利用sin。=扁，求出。的值；

3尸I

(3)在(2)的条件下，取尸8中点M,连接4M、DM,证明4MlpB,DMLPB,

则二面角。-PB—A为4DM4分类讨论当。；或。2：时，解直角三角形cos/DMA=提｛，可

得二面角D-PB-4的大小.

10.答案：（1）证明：；。，。分别为AB,PB的中点，OD〃P4

vPAu平面PAC,OD仁平面PAC,£

••・OD〃平面PAC；/V\.

（n）ilE01：AC=BC=y[2,AB=2,.-.ACIBC,

•••。为A8的中点，AB=2,0CLAB,0C=1,

H

同理，P。14B,P0=1.

又PC=V2.PC2=OC2+PO2=2,则4Poe=90°,即P。1OC,

■■POLOC,PO1AB,ABQOC=0,

OP1平面ABC-,

（HI）解：由（n）可知，0PL平面ABC,

•••OP为三棱锥P-ABC的高，且OP=1.

1111

VD-OBC=石SAABC.°P=7jXyx2xlxl=石.

解析：（I）由已知结合三角形中位线定理得OO〃P4再由线面平行的判定可得。。〃平面PAC：

（n）由己知可得4C1BC,求解三角形证明P。10C,再由线面垂直的判定可得OPJ■平面ABC；

（巫）由（n）可知，OPL平面ABC,可得。P=l,再由三棱锥。-OBC的体积为P-4BC体积的七求

解.

本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体

体积的求法，是中档题.

11.答案：（1）证明：•••PAJ■平面ABC,BCu平面ABC,

•••PA1BC

又BCLAC,PAOAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

BCJL平面PAC,

又u平面PAC,

：.BC1AD,

•••D为PC中点，H.AC=AP,

AD1PC,

而BC与PC是平面PBC内两条相交直线，

•••AD_L平面PBC；

(2)解：以C为坐标原点，分别以CA,CB所在直线为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系,

设C4=PA=2,CB=t,t>0,

则C(0,0,0),4(2,0,0),B(OJ,0),P(2,0,2),

则D(l,0,1),AD=(-1,0,1)-AB=(-2,t,0).

设平面的法向量为记=(x,y,z),则回亚=。，则有

^m-AB=0LZX+ty-0

令x=l,则z=l,y=g，沆

取平面ACD的一个法向量为冠=(0,1,0)

二平面ADB的一个法向量为记=(1,1,1).

又•••丽=(1,0,1)，

设直线CD与平面ADB所成角为。，

则sin0=|cos<CD,m>\=|^|^=|=y>

所以直线CD与平面AO8所成角的正弦值为渔.

3

解析：本题考查线面垂直的判定及直线与平面所成角的求解，涉及二面角，考查空间思维能力与计

算求解能力，属于中档题.

(1)利用线面垂直的判定定理进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可.

12.答案:解：(1)因为瓦F分别为4P,BP中点，所以EF〃AB,5LAB//CD,所以E尸〃CD,

EFC平面PC。，CDu平面PCD,所以EF〃平面PC。

(2)因为AB〃CD,所以PB与C£＞所成角等于PB与AB所成角的大小，

因为PDJL平面ABCO,所以PDJ.A8,又ABJ.?!。，ADCiPD=D,所以4B1平面04。

所以BA1PA

因为PB=2,CD=1,所以NP3A；

M

即PB与平面CD所成角的大小为:

M

(3)因为P。_L平面ABCQ,所以P01BC,又BCLCD,CDCtPD=D,所以BC_L平面PCC,

所以4BPC即为PB与平面PC。所成角

因为P8与平面ABC。成30。角，所以8。=百，PD=1,BC=&，PC=^2

所以NBPC=45°

即PB与平面PCD所成角的大小是45。

11V2V2

(4)“-BCD=QSBCDXPD=-X—xl=—

DDZO

设点c到平面PBD的距离为h,

11V3V2

VC-PBD=3xSPBD又h=Qx—xh=VP-BCD=

3326

所以h=在

3

即点c到平面PBD的距离为渔

3

解析：本题主要考查了线面平行的判定，异面直线所成角，直线与平面所成角以及空间中的距离,

考查了学生的分析以及计算能力，属中档题.

(1)本问主要考查线面平行，由EF〃CC可证

(2)本问考查异面直线所成角得大小，利用异面直线所成角的定义转换成P8与A8所成的角，即可

(3)本问考查线面角，由已知条件可确定NBPC为PB与平面PC。所成角的大小，借助三角形BCP即

可求解，

(4)本问考查点到面的距离，利用％_pBD=%.BCD即可解决

13.答案：证明：(1)•••PAIffiABCD,ACa^ABCD,

：.PA1AC

又•••AB1AC,PAnAC=4PA,ABu面PAB,

ACIfRjPAB

PBu面PAB

•••AC1PB;

(2)连接8。交AC于点O,并连接EO,

•••四边形ABC。为平行四边形

・•.。为BO的中点又

••・E为尸。的中点

.•.在△PDB中EO为中位线，

EO//PB

PB仁面AEC,EOu面AEC

：.PB〃面AEC.

解析：本题考查直线与直线垂直的证明以及直线与平面平行的证明，属于中档题.

(1)结合题设条件运用直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理先证得ZC1面

PAB,然后在运用直线与平面垂直的性质定理即可证得结果；

(2)结合题设条件运用直线与平面平行的判定定理容易证的结论.

14.答案：解：⑴在正三棱柱4BC—ABC中，延长中和8心交于点连接&M,

则过G作GH垂直41M于足点H,连接DH,

因为DQ_L平面&B1C1，&Mu平面&B1G，

所以1&M,

又C]HCDC】=G，

GH,L»Gu平面DHG，

又DHu平面DHCi，

则41M1DH,

则4DHC1为二面角。-G的平面角，

3

CD=DCr=j,BE=EC=1,・・・CiM=l,

222

在441clM中，A1M=2+I-2•2•1•cos亨=7,

而DG1CiH,DCi=

•••tan/OHCi=半，cos乙DH£=|,

即平面aDE与底面481cl所成二面角的余弦值为右

(2)平面40E与上底面ABC,下底面&B1G分别有交线EF,则EF〃4]M,

取BiG中点E「在AAiBiM,过％作Ei0〃41M交&丛于凡,贝归尸〃&&,

在A&BiM,翟=粉竽=：，8出=|,从而&&=£

因此有：AF=

解析：本题主要考查了二面角，余弦定理，属于中档题.

(1)在正三棱柱48C-4B1G中，延长E£＞和邑6交于点M,连接为M,则过G作G口垂直于足

点、H,连接。”，

则4DHCi为二面角D—AiM-G的平面角，由余弦定理可得，&"2=7,解得G“=工，从而得出

结果.

(2)由题意,EF//AXM,取BiG中点片,在MiBiM,过E1作瓦尸"/41M交&&于F1,则£尸//瓦&,

在由线段比例关系可得结果.

15.答案：W：(1)-：AB2+AE2=BE2,

•••ABAE=90°,即4BJ.AE,

vAC-VTo,AB=2,Z-ABC=135°,

设8C=x,

则4c2=AB2+BC2-24B•BCcosl350,

即10=4+/+2企％,

解得：x=VI过C作CF14B于尸，

则BF=1,CF=1,AF=2+1=3

•••平面PAEL平面ABCDE,AB1.AE,

AB1平面PAE,

•：AB!!DE

DE1平面PAE,

vDFu平面PDE,

••・平面PDE，平面PAE.

(2)建立以A为坐标原点，建立空间坐标系如图:

则4(0,0,0),5(2,0,0),C(3,l,0),

•••△PAE为等腰直角三角形，且N4PE=90。，AE=4,

•••P(0,2,2),0(3,4,0),

则定=(3,—1,一2),~BC=(1,1，0),CD=(0,3,0),

设平面BPC的一个法向量为记=(xj,z),

则心汇：；77。2=°令'=-3则”jz=2,即为…T,2),

同理平面PCD的一个法向量为元=(2,0,3),

4>/7S

n„-记•讨2+6

则cos<77t,n>=IfIf=/,；_八-

I两。"Iy/l+l+4,4+939

即二面角B-PC-。的余弦值是—"画.

39

解析：本小题主要考查面面垂直判断，二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法,

考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大.

(1)根据面面垂直的性质定理以及直线平行的性质即可得到结论.

(2)建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

16.答案：证明：(1)过C作CC'IAD,交AD于C,

-AD//BC,/.BAD=90°,AD=2,BC=AB=1,

二四边形4BCC'为正方形，

则CC'=1,C'D=1,CD=yf2,

又由已知得AC=V2，AC2+CD2=2+2=AD2,

DC1AC,

PA，平面ABCD,DCu平面ABCD,

PA1DC,

"ACCtPA=A,AC、PAu平面PAC,

CD1平面PAC.

解：(2)以A为原点，AB为x轴，AO为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

CD=(-1,1>0),EC=(1,0,—1).

••・由（1）知CD_L平面PAC,

平面PAC的一个法向量而=0）,

设直线EC与平面P4C所成角为仇

则sin。=|cos<CD,£C>|

_I而司_|一1|_回

一面H面一可|-5»

•・.0G[0,§、：.cosO=

4VioV6

tCUTnu=-7==-

V153

•・・直线EC与平面PAC所成角的正切值为争

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，属于中档题，解题时要认真审题,

注意空间思维能力的培养.

(1)推导出DC!•PA,DC1AC,由此能证明CDJL平面PAC.

（2）以A为原点，A8为x轴，为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线

EC与平面PAC所成角的正切值.

17.答案：解：（1）连接。1/交8。于区连接EN,

因为需端土2,

所噫="，

所以EN〃PM,

又以为ENu平面BDMPMC平面BOV,

所以PM〃平面BZW.

(11)取8。中点£易知4。IMF,ADLPF,

又MF与尸尸是平面内两相交直线

所以4D1平面PMF,

又PMu平面尸例尸，所以4D1PM,

所以二面角P-AD-B的平面角为4PMF,所以cos4PMF=

在三角形PMF中，MF=3,PF=2V3.

由余弦定理得8S"MF=$等W解得PM=3,

建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz.

则A(1,O,0),B(2,3,0),C