《随机过程》第3章-泊松过程

随机过程

第三章泊松过程1

齐次Poisson过程2

非齐次Poisson过程3复合Poisson过程4年龄与剩余寿命5更新过程增量过程计数过程中南民族大学经济学院2

顺序统计量前置知识

计数过程顺序统计量中南民族大学经济学院3

任意不相交时间间隔上的增量都是相互独立的任意相等时间间隔上的增量都是同分布的前置知识增量过程顺序统计量增量过程中南民族大学经济学院4

前置知识计数过程定义性质分解1齐次Poisson过程中南民族大学经济学院5一种累计随机事件发生次数的最根本的独立增量过程；由法国著名数学家泊松证明；1943年帕尔姆在业务问题的研究中运用了泊松过程，辛钦于50年代在效劳系统的研究中进一步开展；是具有连续时间参数和离散状态空间的一类随机过程；在金融和保险领域中广泛应用，如证券价格波动。背景背景性质分解6中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程定义

背景性质分解7中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程定义直观意义

等价定义定义背景分解8中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质数字特征定义背景分解9中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质数字特征证明：

定义背景分解10中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质数字特征证明：

定义背景分解11中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质数字特征证明：

定义背景分解12中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质到达时刻与时间间隔序列

定义背景分解13中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质时间间隔的分布证明：

定义背景分解14中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质证明(续)：

独立增量

时间间隔的分布定义背景分解15中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质证明：

时间间隔的分布定义背景分解16中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质到达时刻的分布证明：

定义背景分解17中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质泊松过程的等价定义定义背景分解18中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程的等价定义证明：

~~(1)独立平稳增量性定义背景分解19中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程的等价定义证明：

(2)过程服从泊松分布

定义背景分解20中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质到达时刻的条件分布证明：

定义背景分解21中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质到达时刻的条件分布说明:

问题:

定义背景分解22中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质到达时刻序列的联合条件分布定义背景分解23中南民族大学经济学院证明：1齐次Poisson过程性质到达时刻序列的联合条件分布

定义背景分解24中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质到达时刻序列的联合条件分布

定义背景分解25中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程性质泊松过程与均匀分布定义背景分解26中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程与均匀分布证明：

定义背景分解27中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程与均匀分布证明：

定义背景分解28中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程与均匀分布证明：

定义背景分解29中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程与均匀分布证明：

分解定义背景30中南民族大学经济学院

解：1齐次Poisson过程性质

分解定义背景31中南民族大学经济学院

解：1齐次Poisson过程性质

性质定义背景32中南民族大学经济学院

1齐次Poisson过程分解性质定义背景33中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程证明：

分解性质定义背景34中南民族大学经济学院

解：1齐次Poisson过程

分解性质定义背景35中南民族大学经济学院

解：1齐次Poisson过程

分解随机过程

第三章泊松过程1齐次Poisson过程2非齐次Poisson过程3复合Poisson过程4年龄与剩余寿命5更新过程定义性质说明37中南民族大学经济学院2

非齐次Poisson过程齐次Poisson过程，其强度λ为一常数，意味着在不同的时刻，事件发生的速率都是一个恒定值。而实际中，事件发生的速率可能会因时而变。比方，公交车站到达的乘客流，早晚顶峰期的速率明显比其他时段要大；研究某地发生地震的次数，夏秋季的速率也会比冬春季的高。因此，为了描述这些现象，将齐次Poisson过程推广到非齐次Poisson过程。背景背景性质说明38中南民族大学经济学院

2

非齐次Poisson过程定义

背景定义说明39中南民族大学经济学院

2

非齐次Poisson过程性质背景定义说明40中南民族大学经济学院证明：2

非齐次Poisson过程性质增量分布证明

背景定义说明41中南民族大学经济学院证明(续1〕：2

非齐次Poisson过程性质增量分布证明

背景定义说明42中南民族大学经济学院证明(续2〕：2

非齐次Poisson过程性质增量分布证明

背景定义说明43中南民族大学经济学院例：某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，求12时至14时有2000人乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。解：

2

非齐次Poisson过程性质增量分布例题背景定义性质44中南民族大学经济学院

2

非齐次Poisson过程说明

随机过程

第三章泊松过程1齐次Poisson过程2非齐次Poisson过程3复合Poisson过程4年龄与剩余寿命5更新过程定义性质说明46中南民族大学经济学院3

复合Poisson过程

背景背景性质说明47中南民族大学经济学院

定义3复合Poisson过程

背景定义说明48中南民族大学经济学院

性质3复合Poisson过程背景定义说明49中南民族大学经济学院证明：性质独立平稳增量证明3复合Poisson过程(a)独立增量性(b)平稳增量性

背景定义说明50中南民族大学经济学院证明：性质特征函数证明3复合Poisson过程

背景定义说明51中南民族大学经济学院证明：性质数字特征证明3复合Poisson过程

背景定义说明52中南民族大学经济学院

解：性质例题3复合Poisson过程

随机过程

第三章泊松过程1齐次Poisson过程2非齐次Poisson过程3复合Poisson过程4年龄与剩余寿命5更新过程定义性质说明54中南民族大学经济学院4

年龄与剩余寿命

背景背景性质说明55中南民族大学经济学院

定义4

年龄与剩余寿命0

t

背景定义说明56中南民族大学经济学院

性质4

年龄与剩余寿命概率分布背景定义说明57中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

0

背景定义说明58中南民族大学经济学院

性质4

年龄与剩余寿命概率分布背景定义说明59中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

背景定义说明60中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

0t

背景定义说明61中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

0t

背景定义说明62中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

0t

背景定义说明63中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

背景定义说明64中南民族大学经济学院证明：性质概率分布证明4

年龄与剩余寿命

背景定义说明65中南民族大学经济学院

性质4

年龄与剩余寿命泊松过程判定定理背景定义说明66中南民族大学经济学院证明：性质泊松过程判定定理证明4

年龄与剩余寿命

随机过程

第三章泊松过程1

齐次Poisson过程2

非齐次Poisson过程3复合Poisson过程4年龄与剩余寿命5更新过程定义性质更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理5更新过程中南民族大学经济学院68

背景性质更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景5更新过程中南民族大学经济学院69

定义更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义5更新过程中南民族大学经济学院70

性质1：有限时间有限次更新性质更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义5更新过程中南民族大学经济学院71

性质更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义证明：中南民族大学经济学院725

更新过程性质

更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义

5

更新过程中南民族大学经济学院73解：

性质更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义5

更新过程中南民族大学经济学院74解〔续1〕：

性质更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义5

更新过程中南民族大学经济学院75解〔续2〕：

性质更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质5更新过程中南民族大学经济学院76

更新函数更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质证明：〔1〕中南民族大学经济学院775

更新过程

更新函数更新函数性质1更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质证明：(2)中南民族大学经济学院785

更新过程

更新函数更新函数性质2更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质证明：(3)中南民族大学经济学院795

更新过程

更新函数性质3更新函数根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数5更新过程中南民族大学经济学院80

定义更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数5更新过程中南民族大学经济学院81

性质1：更新函数满足更新方程更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数证明：中南民族大学经济学院825

更新过程性质1：更新函数满足更新方程

更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数5更新过程中南民族大学经济学院83

性质2：更新函数与分布函数一一对应更新方程更新函数根本更新定理关键更新定理背景定义性质

5

更新过程中南民族大学经济学院84

更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数5更新过程中南民族大学经济学院85

更新方程的解更新方程根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数证明：中南民族大学经济学院865

更新过程

(1)解的有界性

更新方程更新方程的解根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数证明：中南民族大学经济学院875

更新过程

(3)解的唯一性

更新方程的解更新方程关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程5更新过程中南民族大学经济学院88

极限定理根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院895

更新过程

根本更新定理极限定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院905

更新过程

根本更新定理极限定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院915

更新过程

根本更新定理极限定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院925

更新过程

根本更新定理极限定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程5更新过程中南民族大学经济学院93

停时〔StoppingTime〕根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程5更新过程中南民族大学经济学院94

Wald等式根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院955

更新过程

根本更新定理Wald等式关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程5更新过程中南民族大学经济学院96

𝑁(𝑡)+1为停时根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院975

更新过程

根本更新定理𝑁(𝑡)+1为停时关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明〔续〕：中南民族大学经济学院985

更新过程

为一个更新方程，其解为:

根本更新定理𝑁(𝑡)+1为停时关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程5更新过程中南民族大学经济学院99

根本更新定理根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院1005

更新过程

有：

根本更新定理根本更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程证明：中南民族大学经济学院1015

更新过程

根本更新定理根本更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院102

格点随机变量关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院103

Blackwell定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院104

直接黎曼可积

关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院105

关键更新定理关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理证明：中南民族大学经济学院1065

更新过程

关键更新定理与Blackwell定理的等价性关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理证明：中南民族大学经济学院1075

更新过程

关键更新定理与Blackwell定理的等价性关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院108

剩余寿命的极限分布关键更新定理

背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院109

剩余寿命的极限分布关键更新定理

背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院110

年龄的极限分布关键更新定理0

可见年龄的极限分布与寿命的极限分布相同。当过程的时间持续很长时，可倒过来观察此过程。背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院111

交错更新过程的极限分布关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理5更新过程中南民族大学经济学院112

交错更新过程的极限分布关键更新定理背景定义性质更新函数更新方程根本更新定理证明：中南民族大学经济学院1135

更新过程交错更新过程的极限分布关键更新定理

更新函数根本更新定理背景定义性质更新方程

5

更新过程中南民族