高中数学第四章数列单元综合测试卷新人教A版选择性必修第一册

第四章数列单元综合测试卷

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.数列-2,4,-6,8,K的通项公式可能为()

A.a„=(-l)"*'2nB.«„=(-1)"2«

C.。“=(-1严2"D.a„=(-1)"2"

【答案】B

【解析】根据题意数列一2,4,—6,8,1<其中4=(-1)/1><2,%=1X2X2,a,=(-l)x3x2,

%=1x4x2,则其通项公式可以为％=(-1)"2〃

故选:B.

2.数列｛%｝满足4=1,可=一%(〃22),则牝的值为()

an-l+1

A.—B.—C.—D.一

3456

【答案】C

a,1a.1a,1a,1

【解析】由题意可得。2=T=3,%=一二7=.，4=Ur=1，%=T=4.

q+124+13%+14%+15

故选：C.

3.已知｛%｝是等差数列，且2/=。9+3,则为=()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为d，由2%=%+3得,2(4+72)=4+8"3,

则4+6d=3=%.

故选：B.

4.若数列｛%｝的前〃项和S,,=2/+i,则下列结论正确的是()

A.。〃=4〃+2B.〃“=4〃一2

[3,H=1f3,n=1

C-D-4=[4”2,〃>1

【答案】D

[解析]当〃=1时，q=S[=2x『+1=3,

当〃>1时，a“=S“-S“_|=2〃2+l-2（〃-1）2—1=4〃一2,

f3,H=1

经检验，可得4=；。

故选：D.

5.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1

个，3小时后分裂成10个并死去1个L按照此规律，12小时后细胞存活个数（）

A.2048B.2049C.4096D.4097

【答案】D

【解析】依题意，1小时后的细胞个数为3=2i+l,2小时后的细胞个数为5=22+1，

3小时后的细胞个数为9=2?+1，…，则〃（〃eN*）小时后的细胞个数为2"+1，

所以12小时后细胞存活个数是产+1=4097.

故选：D

6.已知〃为正偶数，用数学归纳法证：］一：+!一:+…+-一！=2（——^—++上］

234n-1nl〃+2〃+42n）

时，若已假设〃=k（Z>2且在为偶数）时等式成立，则还需要再证（）

A.〃=&+1时等式成立B.〃=%+2时等式成立

C.〃=2A+2时等式成立D.〃=2伏+2）时等式成立

【答案】B

【解析】若已假设〃=4（k>2,4为偶数）时命题为真，

因为〃只能取偶数，

所以还需要证明”=%+2成立.

故选：B.

7.设等差数列满足《=1,a”>0（〃eN*）,其前〃项和为5”，若数列｛四｝也为等差数

s

列，则铲的最大值是（）

A.310B.212C.180D.121

【答案】D

【解析】•••等差数列｛%｝满足4=1,%>O（〃€N*）,设公差为d,则a.=l+（〃一1”，

其前"项和为S=〃口+1+（〃-1）典,

”2

•・.疯平2+（”］,同=1，£=标，

•.•数列｛四｝也为等差数列，

2j2+d=1+j3+3d,

解得d=2.

；•S“+K）=（〃+1°）2，4：=（2〃-1）2，

.』=X]*+旦丫，

a~\2n-\J124/?-2J

7、2'

由于为单调递减数列,

\24n-2J

...呼叫="=i2i,

ana\

故选：D.

T

8.对于数列｛4｝,若存在正整数WA22）,使得4<"*，ak<ak+i,则称/是数列｛%｝的

a

“谷值”，a是数列｛〃“｝的“谷值点”.在数列｛4｝中，若《,=〃+丁8,则数列｛能｝的“谷

值点”为（)

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

9

【解析】因为。〃=77+——8,

n

3076129

所以4=2,^=-•,%=2,%=二，a5=—，a=-,%=一,%=一，

-245(62788

9QQ

当“27,,nH---8>0,所以〃〃=〃+——8=〃+——8,

nnn

因为函数丫=犬+?-8在[7,+«>）上单调递增，

9

所以〃27时，数列为=〃+-―8为单调递增数列，

n

所以〃2<4，。2<%，。7<〃6，%<6，

所以数列｛4｝的“谷值点”为2,7.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知等差数列｛4｝：11、8、5、L,则（）

A.公差4=-3B.该数列的通项公式为=-3”+16

C.数列的前10项和为-25D.T9是该数列的第21项

【答案】ACD

【解析】对于A选项，等差数列何｝的公差为d=8-ll=-3,A对；

对于B选项，该数列的通项公式为4=11-3（”-1）=-3〃+14,B错；

对于C选项，数列｛叫的前10项和为10X11-&笠=-25,C对；

对于D选项，由/=-3〃+14=-49,解得〃=21,D对.

故选：ACD.

10.在公比g为整数的等比数列｛/｝中，S,是数列｛丹｝的前〃项和，若。m=32,%+%=12,

则下列说法正确的是（）

A.q=2B.数列｛S“｝是等比数列

C.$8=510D.数列｛Iga,,｝是公差为2的等差数列

【答案】AC

【解析】•••在公比。为整数的等比数列佃）中，S“是数列｛4｝的前〃项和，%%=32,

%+%=12,

解得4=4,%=8,，4=2,或者％=8,%=4,不符合题意，舍去，故A正

确，

4="=^=2,则s=2（1-2）=2，用_2，

q2，，i-2

S?,,+2_2

子=内工常数，

...数列⑸｝不是等比数列，故B不正确；

立二2=510,故c正确；

81-2

•."“=2"，Iga“="lg2,21g2-lg2=lg2,

数列｛Igq,｝不是公差为2的等差数列，故D错误，

故选：AC

11.己知数列｛q｝的前"项和为S,,,则下列说法正确的是（）

A.若S“=2〃2-3,则｛a,,｝是等差数列

B.若｛4｝是等差数列，且4=5,%+4。=2,则数列｛%｝的前〃项和5.有最大值

C.若等差数列仇｝的前10项和为170,前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8,

则公差为2

D.若｛%｝是等差数列，则三点（10,强）、（20,*）、（30,霏）共线

【答案】BCD

【解析】A项，〃=1时，«,=5,=-1,

此2时，a“=S“-S,i=4〃-2

〃=1时，4=2~1,所以，｛%｝不是等差数列；

B项，由已知可得，«6=>>又％=5

所以，4=—；<。，4=]>0.所以，S,,有最大值；

C项，由已知可得，偶数项和为90,奇数项和为80,两者作差为5d=10,所以d=2：

D项，设三点分别为A,B,C,—=qH―――»则—=q=ay+-^-d,—=q+士”.

n2102202302

uuuUlttluniuuu

则48=（10,5"）,SC=（10,54）,A8=BC，所以三点共线.

故选：BCD.

12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排

列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为三

角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,…称为正方形数，记三角形数构成数

列｛%｝,正方形数构成数列｛2｝,则下列说法正确的是（）

1111n

A.1--------1-------FH------=---------

4a2a3atl〃+1

B.1225既是三角形数，又是正方形数

1I1133

CF—+—++-<—

ab2b3b„20

D.总存在p,qeN*,使得成立

【答案】BCD

【解析】三角形数构成数列｛q｝：1,3,6,10,则有

=2,«,-%=3,,an-an_y=n(n>2),利用累加法,

得a„-at=———-,得到/=\；n=1成立

正方形数构成数列｛〃｝：1,4,9,16,…，则有

白一4=3也一a=5,也一%=2”一1（心2）,利用累加法,

(2〃+2)(〃-1)

得〃-4=得到勿=/,n=l成立

2

12J1、

对于A,fE=2（丁初），；.利用裂项求和法:

1111“1、2〃

—+—+—++—=2(1--一-)=---,故A错误；

4a2a3ann+1n+\

2

对于B,令可二2±=1225,解得〃=49；令2="=1225,解得〃=35；故B正确；

11411、

对于C，=F<421=2(；一7一71)，则

bnn4n-12〃+1

1111,IZ11、5111111

22

仿b2b3bn43n457792〃一12〃+1

11115J1、33133

整理得，7-+7-+7_++7-<1+2(£一丁77)=右一丁774右，故C正确；

h}b24b〃452/1+1202几+120

对于D,取加=p=q,且机GN*,则令/=也罗+”心，则有粼=%,+m…故

V，〃eN”,，〃22,总存在p,qeN*,使得〃”=%,+%成立，故D正确；

故选：BCD

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若等差数列｛4｝满足％+/+佝>。，%+4。<0,则当片时，｛4｝的前〃项和

最大.

【答案】8

【解析】由等差数列的性质可得%+4+的=34>0,

a

：.«8>0,又％+m=%+a><0，，“9<0,

.•.等差数列｛4｝的前8项为正数，从第9项开始为负数，

...等差数列｛《,｝的前8项和最大，

故答案为：8.

14.若数列｛凡｝的通项公式4=（-1）"2?,前”项和为S“，则与=

【答案】-16

【解析】因为41=(一1广2〃，所以q=-2,%=4,%=—6,4=8,L

所以耳5=4+%++65

(-2)+4+(-6)+8+(-10)++(-30)

=[(-2)+4]+[(-6)+8]+[(-10)+12]++[(-26)+28]+(-30)

=2+2+2++2+(-30)=2x7-30=-16.

故答案为：-16

-r、r、S7/?-3

15.已知两个等差数列｛%｝和｛〃｝的前"项和分别为和T“，且的fl=np则.

【答案】6

7/7—11

【解析】由已知得，521=丁（4+出自）=（2〃-1）4，笃1=丁3+匕7）=（2〃-1应

令炉5,则品=9%，n=9方5,

所以，M=^r=6

故答案为：6.

123n2-("+2号,"eN",则数列{4+log2%}

16.已知数列｛4｝满足:—+—+—+・+—=

a\a2a3an

的前”项和S“为

【答案】2n+'+n2+n-2

123n=2-(〃+2)：,”eN*,

【解析】因为一+—+—++—

1c八八11

所以当〃=1时，-=2-(l+2)x-=.,故4=2；

123〃c/人1123n-\z1

当〃之2时，一+—+—+…+—=2-(n+2)—,则一+—+—+,・+----=2-(M+1)-r

4a2a3an2a]a2a3%2

n7?+277+1-〃-2+2〃+2n

两式相减得：一=----+友，故〃〃=2"，

42"2"

经检验：4=2满足a,,=2",

所以当”eN*时，4=2",

2n

所以％+log2a2n=2"+log22=2"+2n,

=(2+22+23+2")+(2+4+6+2n)=2^-^=2),+l+n2+n-2.

故答案为：2向+/+〃一2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

若数列｛%｝满足：4=1,点（〃,%+4向）在函数》=履+1的图象上，其中％为常数，且％工0.

⑴若4成等比数列，求&的值：

⑵当&=3时，求数列｛叫的前21项和4.

【解析】（1）根据题意可得=加+1，又4=1,故可得%=%,%=%+1？4=火，

又4，%，包成等比数列，故4%=播，即踪=/,解得4=0（舍）或左=2,故2=2.

（2）当2=3时,an+t+an=3n+l,贝ij+4用=3（〃+1）+1,

两式作差可得：an+2-a„=3,故该数列的奇数项是首项为1,公差为3的等差数列，则

%=4+10x3=31,

故力=（4+%）+（%+《）++（49+%。）+%

=（3xl+l）+（3x3+l）++（3x19+1）+31

=3x（l+3+5++19）+10+31

10（1+19）

=3x—----<+41

2

=341.

故数列｛%｝的前21项和为=341.

18.（12分）

已知数列｛%｝的前"项和公式为S,,=/-10n.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

q

⑵若数列4求数列也“｝的前〃项和7；的最小值.

n

【解析】（1）当〃=1时，q=S［=-9；

当“22时，a„=S„-S,,,,=（n2-10n）-［（/7-1）2-10（n-1）］=2/7-11,

q=-9满足氏=2〃-ll,故对任意的〃cN,，an=2n-\l.

s

（2）4=」=〃一10，令〃=〃一1。40,解得九410,

n

且％—2=5-9）—5—10）=1,所以，数列低｝为等差数列,

所以，刀,的最小值为7；=工（，尸+；））x1（）75.

19.（12分）

一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口8,将自然数列｛〃｝（〃21）中的各数依

次输入A口，从B口得到输出的数列｛q｝,结果表明：①从A口输入〃=1时，从B口得q=g;

②当〃22时，从4口输入"，从8口得到的结果册是将前一结果先乘以自然数歹U｛〃｝中的

第"-1个奇数，再除以自然数列｛科中的第〃+1个奇数.试问：

(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？

(2)从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由.

二1

【解析】(1)当〃=1时，

当n=2时，a-,=6f.x1x-=—；

~515

当〃=3时，/X3X—=--：

-735

111111

(2)31x3,153x5,3355x7…，

故猜想an~~~7：；

(2〃一1)(2〃+1)

理由：显然〃二1时，猜想成立，

假设〃斗时，猜想成立，,

(2攵一1)(2k+1)

_2k-1_[___________1_________

则”="1时，矶-2&+34-(2&+1)(2«+3)-[2(%+1)-1][2(，+1)+1]

当〃=攵+1时，猜想成立，

1

•.CI=,

”(2/2-1)(277+1)

故从A口输入100时，从B口得的数为―-=-^—.

20.(12分)

记S“为数歹lj｛%｝的前〃项和，已矢口S“=2a,-2.

(1)求｛%｝的通项公式;

⑵若以=(T)"xlog2%,M,求数列出｝的前〃项和刀,.

【解析】(1)当”=1时，4=2；

当〃22时，a„=S„-S„_,=2an-2-(2an_,-2),则“―的；

又•.•qWO,则｛《,｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

•••«„=2".

(2)因为4=(-1广噫生l=(-1户(2〃+1)

当〃为偶数时，(=3+a)+(4+2)++(〃T+2)

=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(27?-l)+(2n+l)]

n

=2+2+2++2=2*=〃；

2

当〃为奇数时，1=4+(4+4)+(d+4)++(2.1+b]

=-3+(-2)+(-2)++(-2)=-3+(-2＞平=-〃-2

—n—2,〃为奇数

综上所述：数列出｝的前〃项和为［=，

〃，〃为偶数

21.(12分)

/、33。“

已知数列｛4｝的首项4=：,且满足。用=汇*广

(1)求证：数列L-1为等比数"J;

上-3,〃为偶数时,

⑵设数列｛4｝满足"=厂"

求最小的实数力,使得4+4++b＜m

〃+2n2k

---------1---〃---为---奇数时，

n〃+2

对一切正整数左均成立.

I21

【解析】(1)由已知得，=-+--,

«„+i33a„

所以「一一l=^f--1.

。”+1314,)

12

因为---1=鼻。M°,

q3

所以数列,，-1］是首项为。，公比为《的等比数列.

U33

12

(2)证明：(2)由(1),当〃为偶数时，—3=—-2,

a”°

当〃为奇数时，〃=巴〃+上2+二n=2+24--2J