高一数学必修第一册第二章全部教学设计

新版高一数学必修第一册第二章全部教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质（共2课时）

（第1课时）

教材分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）.高中数学必修5第

三章第一节不等关系与不等式第2课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；

现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等

式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。

因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修4-5不等式选讲的重要保障；

本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，

是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。

在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤

其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点.

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.通过具体情景，让学生感受在现实世1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，

界和日常生活中存在的不等关系，理解

并表示出不等关系；

和掌握列不等式的步骤；

2.逻辑推理：作差法的原理；

B.能灵活用作差法比较两个数与式的

.数学运算：用作差法比较大小；

大小，提高数学运算能力；3

4.直观想象：在几何图形中发现不等式；

C.培养学生观察、类比、辨析、运用

5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关

的

系，解决问题；

综合思维能力，体会化归与转化、类比

等数学思想，提高学生数学运算和逻辑

推理能力；

教学重难点

1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小:

2.教学难点：在实际情景中建立不等式（组）,准确用作差法比较大小；

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情景引入，温故知新

通过生活中熟悉的

（一）、情境导学

1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高情景，引导学生发现

超过1.1m（含1.1m）而不超过1.5m的儿童，享受不等关系，并学会运

半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5用不等式（组）表示

m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名不等关系；培养学生

身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人

数学建模的核心素

数应买儿童票.从数学的角度，应如何理解和表

养；

示“不超过”“超过”呢？

2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃,白天最高温度为

30℃.

师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？

生：t大于或等于18小于或等于30

老师引出课题板书：不等关系与不等式

师：常见的不等号有？

生：大于（＞）,小于（＜）,大于或等于（2）,小于或等于（W）,

不等于（。）。

老师总结板书：不等式的定义：用不等号（＜,＞2,0力表示不等关系的

式子叫做不等式。

1师.：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？

2师.：两个指示标志分别表示什么意思？

生：速度大于或等于80,高度小于或等于4.5

3师.：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。

师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？

生：

@@

师：不等关系用什么表示？

生：不等式

（二）、探索新知由典型问题的分析

解决，体会建立不等

探究一用不等式表示不等关系

式（组）的一般方法

例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm和难点所在；培养和

提升学生运用数学

两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管

眼光分析表达问题

的3倍.试写出满足上述所有不等关系的不等式.的能力，发展数学抽

象和数学建模的核

教师引导学生共同：［分析］应先设出相应变量，找出其中的不等关

心素养

系，即①两种钢管的总长度不能超过4000mm；②截得600mm钢

管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不

能为负.于是可列不等式组表示上述不等关系.

［解析］设截得500mm的钢管刀根，截得600mm的钢管），根，

p00x+600,）<4000j5x+6yW40

依题意，可得不等式组：，即《3了）’

x>0x20

ly>o用数学语言表

归纳总结;用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤：示不等关系。

①审题.通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量.找出体现

不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不

超过”等.②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约

束条件，将各约束条件用不等式表示.

跟踪训练：1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根通过练习巩固分

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，析表达不等关系，教

若把提价后杂志的定价设为X元，怎样用不等式表示销售的总收入仍会学生解决和研究

不低于20万元?问题，提升教学抽象

2.某工厂在招标会上，购得甲材料xt,乙材料yt,若维持工厂正常能力。

生产，甲、乙两种材料总量至少需要1203则x、y应满足的不等关

系是（）

A.x+y>120B.x+y<120

C.x+y>120D.x+乃120

Y—25

1解析］提价后杂志的定价为X元，则销售的总收入为（8一—江

x0.2）x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元“用不等式可

以表示为：

2.5

（8—yj-x0.2）x>20.

［解析］由题意可得x+心120,故选C.

探究二比较数或式子的大小

我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：

（1）数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数

根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？

步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步复习作差比较法，

代数式大小的方法，

学生回答：理解作差法的原理，

et-h>O<=>a>h；a-b=Goa=b；a-h<O<^>a<b.通过练习达到灵活

运用；

生：作差比较法

生：作差，变形，判号，定论.

指出：作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转

化为判断差的符号

例2.已知x<y<O,比较(f+Vxx-y)与(/一产乂彳+丫)的大小.

［解析］'：x<y<0,xy>0,

x—y<0,.'.(A2+y)(x—y)—(x2-)2)(x+y)=_2xy(x~y)>0,

.'.(x2+y2)(x—y)>(x2—3r)(x+y).

师生共同归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤

(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作

通过练习巩固作

出结论.这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程：作

差法，发展学生数学

差一变形一>判断符号一结论，其中变形是判断符号的前提.

运算素养，提供运算

跟踪训练1.设M=f,N=-x—1,则M与N的大小关系是

的准确性、灵活性和

()

速度。

A.M>NB.M=N

C.MvND.与x有关

［解析］M-N—xi+x+1=(x+1)2+^>0,:.M>N,故选A.

2.比较f+V+i与2(x+y—1)的大小；

3.设adR且比较a与!的大小.

［解析］2.^+>,2+1—2(x+y—l)=x2—2x+1+y2~2y+2

=(x-l)2+(y-l)2+l>0,

：.x1+y2+\>2(x+y-i).

i

3.由-----------

aa

当a=±\时，a="；

当一l<a<0或a>l时，a>%当。<一1或0<a<l时，a<^.

三、达标检测

I.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每

人400元，现有工人工资预算20000元,设木工x（x'O）人，瓦工y（y》0）

人，则关于工资满足的不等关系是（）

A.5x+4y<200B.5x+4y2200

C.5x+4y=200D.5x+4yW200

【答案】D

2.若人=5+3与8=；+2,则A与B的大小关系是（）

A.A>BB.A<B

C.AN3D.不确定

通过练习巩固本节

2

【解析】由于4-8*+3《+2）=C+：泞>0,

所学知识，通过学生

所以A>B,故选A.

解决问题的能力，感

【答案】A

悟其中蕴含的数学

3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表：

思想，增强学生的应

食物甲乙用意识。

维生素A/（单位/kg）600700

维生素B/（单位/kg）800400

设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物

内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用

不等式组表示xj所满足的不等关系.

【解析】由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维

生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700），单位,含有维

生素B400y单位，贝ijxkg的甲种食物与,ykg的乙种食物配成的混合食

物总共含有维生素A（600x+700y）单位，含有维生素B（800x+400y）单

位，

600%+700y>56000,+7y>560,

800x+400y>63000,4x+2y>315,

则有x>0,即Hri空0,

y>0,ly>0.

4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短X,构成一个

钝角三角形，试用不等式（组）表示x应满足的不等关系.

【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可,

因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足（5㈤+（12.）>13-工当三角形是

钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边所对的角是钝角即

可，因此(5-X)2+(12-X)2<(13-X)2,

f5-x>0,

故x应满足的不等关系为《(5-x)+(12-x)>13-%,

[(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2.

5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小：

(l)2x2+3与x+2,xWR;

(2)«+2与S，aGR,且存1.

l-a

【解析】(1)0^(2^+3)-(%+2)=2^-%+1=2(x-J)2+^>|>0,

所以2X2+3>X+2.

22

3(a+2)(l-a)-3-a-a-la+a+l

(2)(〃+2)--=-------------=--------=----------.

八'l-al-al-aa-1

2

由于a2+a^l=(a+：)+7>^>0,

所以当a>l时,贮金>0,即o+2>—;

a-1l-a

当a<l时，出％<0,即a+2<—.

a-1l-a

故当a>\时,a+2>^;当6F<1时,"+2<2.

四、小结生学生根据课堂

学习，自主总结知识

1.不等式与不等关系

要点，及运用的思想

(1)不等式的定义所含的两个要点.方法。注意总结自己

在学习中的易错点；

G不等符号>,<〈》或太

②所表示的关系是不等关系.

(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.

2.比较两个实数“、b大小的依据

文字语言符号表示

如果a>b,那么a~b是______；

a>b=________巩固今天所学内

如果a<b,那么a—。是______；容题培养学生的自

a<bo________

如果a=b,那么a—b_______,学能力，.也为下一节

a=b=_________

学习不等式性质做

反之亦然

准备

五、作业

1.习题2.11,2,3,4题

2.预习下节课内容

教学过程教学设计意图

核心素养目标

（一）、温故知新

你能回忆起等式的基本性质吗？通过学生熟悉的等

性质1若a=b，则b=a;式性质出发，设问，

性质2若a=b,b=c,则a=c;

引导学生类比发现

性质3若a=b,则a±c=b±c;

不等的性质，培养学

性质4若a=b,则ac=bc;

生数学抽象和逻辑

性质5若2加，C10，则

CC推理的核心素养；

类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？

（二）、探索新知

2.1等式性质与不等式性质

（第2课时）

不等式的性质

⑴对称性

不等式两边互换后，再将不等号改变方向，

文字语言

所得不等式与原不等式等价

符号语言a>b=b<a

作用写出与原不等式等价且异向的不等式

证明："."a>b,-'-a-b>0.

由正数的相反数是负数，得

即b-a<O,.".b<a.

同理可证，如果那么a>b.

跟踪训练.1.与论(〃-2)2等价的是().用数学语言表

22C.(n-2)2<nt2

A.W<(H-2)B.(«-2)>WD.(M-2)<W示不等式的性质。

答案:C

⑵传递性

文字语如果第一个量大于第二个量，第二个量大于第三个量，

那么第一个量大于第三个量

符号语

a>b.b>c=>a>c

言

变形a>b,b>c=>a>c\a<b,b<c^>a<c\a<byb<c=>ct<c

作用比较大小或证明不等式

你能证明吗？

(3)加法法则由不等式七个性质

不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式的分析与证明，体会

文字语言

与原不等式同向.证明不等式的基本

符号语言a>b=>a+c>b±c方法；培养和发展数

a<b=^a+c<b+c学抽象和逻辑推理

变形a<b=>a+c<h^-c的核心素养

a>b=>a-^c>b^-c

作用不等式的移项，等价变形

".\a+c)-(b+c)=a-h>O,.'.a+c>h+c.

(4)乘法法则

文字不等式的两边都乘同一个正数时，不等号的方向丕

语言都乘同一个负数时，不等号的方向一定要昼.

符号a>b,c>0=>ac>bc

语言a>b,c<0=^ac<bc

a>h,c>0=^ac>bc；a>h,c<0=>ac<hc

变形a<b,c>0=>ac<bc；a<b,c<Q=>ac>bc

a<h,c>0^ac<hc；a<h,c<0=>ac>hc

作用不等式的同解变形

证明:ac-6c=m-6)c.：Z>6,.：a-6>0.根据同号相乘得正，异号相乘得负,

得当c>0时,(“-6)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-6)c<0,即ac<bc.

归纳总结：L该性质不能逆推，如a>b.

2.ac>bc=a>b,c>0或a<b,c<0.

3.不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数.

(5)加法单调性

文字语言两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式幽.

符号语言a>b,c>d=a+c>b+d

ci〈b、c<dna+c<b+d

变形ci>b,c>d=>a^-c>b+d

a<b,c<d=>a+c<b+d

作用由已知同向不等式推出其他不等式

证明:a*屋[cD

c>dnb+c>b+dJ

归纳总结：1.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相

加，即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不

等式同向.

2.两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两边同时分别相减.

3.该性质不能逆推，如a+c>b+d彳ra>b,c>d.

(6)乘法单调性

两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的

文字语言

不等式与原不等式同向.

符号语言a>b>0,c>d>0=^ac>bd

作用两个不等式相乘的变形

证明："."a>b>0,c>0,.,.ac>bc.及时归纳总结，引

g/c>d>0,b>0,/.bc>bd..,.ac>bd.导学生准确理解和

归纳总结：L这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向运用不等式的性质，

不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向不培养思维的严谨性；

等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

2.a>b>0,c<cl<0=>ac<bcl;

a<h<O,c<d<O^>ac>hd.

3.该性质不能逆推，如ac>bda>b,c>d.

⑺正值不等式可乘方

当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时

文字语言

乘方所得的不等式与原不等式回回.

符号语言a>b>0^a">b"（nGN,且心1）

作用不等式两边的乘方变形

性质(7)可看作性质(6)的推广：

当〃是正奇数时，由a>b可得an>bn.

跟踪训练：1.给出下列结论：

①若则；②若贝!]；

ac>bc,a>bac2c6c2

③若贝Ia>b-,④若a>b,c>d,则a—c>b—d-.

⑤若a>b,c>d,则ac>bd.

其中正确结论的序号是③.

通过练习巩固不

解析①当c>0时，由ac>hc=>a>b,当c<0时，由ac>bc=>a<b,故

①错.②当今时，由2当时，由力等式的性质，发展学

0avbna&bc,c=0ac2vbe2,

故②错.③ZxO,.,.ah>0,.'.~ab<^ab,即b<a,生逻辑推理，提高思

.,.a>b,故③正确.维的灵活性和速度。

④，；c>d,又a>b,两不等式不等号的方向不同，不能相

力口，.,.“一c>〃一d错误.

a>b>Q\0>a>b\

⑤\^ac>bd,八,\=>ac<bd,

c>d>0)0>c>d]

a>/»010>a>6]

但人/4ac>bd,、c(力ac>hd.

0>c>dJc>J>Oj

反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法：

(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，

尤其是不能凭想象捏造性质.

(2)特殊值法.取特殊值时，要遵循如下原则:一是满足题设条件；

二是取值要简单，便于验证计算.

典例解析：用不等式的性质证明不等式

例1已知a>b>0,c<d<0,e<0,

求证：e>J

a-cb-d

解析Vc<J<0,・,•一c>一d>0,

又••・〃+(—c)>8+(—d)>0,

即。一(・・0<----<,

c>/>0,a-cb—d

通过典型例题的

又,e<0,..>,

a-cb—ar

解析和跟踪练习，让

跟踪训练：1.若机•一〃应0,bd>0,求证：.

d学生明确问题模型，

解析：bc-ad>().\ad<bc

Vff发展数学建模核心

/.ad+bd<bc+bd,

素养。

1ad+bdbc-Vbd

•W>0,/0,">6“'

c+J

b-d-

归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题

一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵

活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的

条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

典例解析：利用不等式的性质求取值范围

例2已知一生a<4埼，求W，号’的范围.

解析•；一行〈怨去；•一定<£,一*令两式相加，

_四g±N三.._匹&£

付22**4〈二4'

,,4s24',,2-2^2.-

—OL—B兀a—B

又.a<£,..°<0...—2<2

规律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性

质，是否使范围扩大或缩小.

跟踪训练1.已知1<。<2,3<6<4,求下列各式的取值范围：

(l)2a+6：(2)«—/>；(3)今

解析(l)Vl<a<2,：.2<2a<4,V3<Z><4,，5<2a+从8；

(2)V3<Z><4,：.-4<~b<-3,XVl<a<2,

-3<a—b<-1；

(3)*.*3</><4,,，,4<^<3>又

三、达标检测

1.已知〃〈从0,c<d<0,那么下列判断中正确的是()

A.a-c<b-dB.ac>bd

b——

D.ad>bc

ac

解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确.

答案：B

2.若。、b、cWR,且则下列不等式中一定成立的是()

A.a+b>b~cB.ac>hc

d

C.,>0D.(a—b)cr>0

a—h

解析：•:a>b,；・a—b>0.选项A中,当c=0时，(a+b)—(b—c)=a

通过练习巩固本节

+c,由于则选项A不成立；选项B中，ac—hc=c(a—b),

所学知识，提高学生

由于ceR,则选项B不成立：选项C中，由于cSR,则/加，二,

a-b解决问题的能力，感

>0,则选项C不成立；选项D中，a-b>0,<?>0,则悟其中蕴含的数学

选项成立.

D思想，增强学生的逻

答案：D

辑推理和数学运算

3.设2<a<3,则2a-b的范围是________.

素养。

解析：4<2a<6,-2<b<-l,

l<-b<2,由同向不等式相加得到5<2a-b<8

答案：5<2a-b<8

4已.知a>fr>0,c<d<0.求证：

解析c<d<0,，—c>—d>0.，0<—

...近>沪,即一潴Y

两边同乘以一1,得《上<非.

四、小结生学生根据课堂

不等式的性质学习，自主总结知识

要点，及运用的思想

性质别名性质内容注意

方法。注意总结自己

1对称性a>b=___Q在学习中的易错点；

2传递性a>h,b>c=_____=>

3可加性a>b<=>a+c__b+c可逆

a>b\

=>ac__he

c>0jc的

4可乘性

a>b\符号

=>ac__be

c<0J

同向a>b

5'=〃+c___b+d同向

可加性0d.

同向同正a>b>CI

6(^>ac__bd

可乘性c>d>0J一同向

7可乘方性

(77.GN*,n>2)

同正

8可开方性a>b>g如>狙

(“GN*,n>2)

五、作业

1.习题2.15,6,7,9,10题

2.预习下节课内容

【新教材】2.1等式性质与不等式性质

教学设计（人教A版）

教材分析

等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现

实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时

等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.

教学目标与核心素养

课程目标

i.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.

2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小.

3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养

1.数学抽象：不等式的基本性质；

2.逻辑推理：不等式的证明；

3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；

4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化

为加法，将除法转化为乘法）；

5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

教学重难点

重点：掌握不等式性质及其应用.

难点：不等式性质的应用.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、情景导入

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、

轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进•步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本37-42页，思考并完成以下问题

1.不等式的基本性质是？

2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？

3.重要不等式是？

4.等式的基本性质？

5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、两个实数比较大小的方法

a—b>O<=^a>b

作差法a—b=O<=^>a=b

a—b<O^>a<b

£>1oa>b

£=10a=b

{£<l=a<b

2.不等式的基本性质

①、对称性：a>bo1<a传递性:a>b,b>c=a>c

②、a>b,ceR,a+c>b+c（可加性）

③、a>b.c>0,那么ac>bc；（可乘性）

a>b.C<0,那么ac<bc

④、a>b>0,c>d>0那么,ac>bd（乘法法则）

⑤、a>b>0,那么aobl（条件nwN,nN2）（乘方性）

⑥、a>b>0那么标>加（条件）（开方性）

3.重要不等式

22

一般的，\fa,beR,有a+b>lab

当且仅当a=6时，等号成立.

a2+»2

一般的，eR,有abM——-——

当且仅当a=b时，等号成立.

四、典例分析、举一反三

题型一不等式性质应用

例1判断下列命题是否正确:

(1)a>b,c>b=a>c()(2)>Z?=>ac1>be2()

,、ah，/、

⑶a>b,c>d=ac>hd()(4)—>—=>6?>Z7()

c1c1

(5)a>b=>a2>b~()(6)a>\l\=>a2>b2()

(7)a>h>0,c>d>0=>—>—()

cd

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X(6)V(7)X

解题技巧：（不等式性质应用）

可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.

跟踪训练一

1、用不等号“〉”或填空：

(1)如果a>b,c<d,那么a-cb-d；

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac______bd；

(3)如果a>b>0,那么之言

(4)如果a>b>c>0,那么£

aIb

【答案】(1)>(2)<(3)<(4)<

题型二比较大小

例2(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小

(2).已知a>b>0,c>0,求£>:。

ab

【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】(1)因为(x+2)(x+3)-(x+D(x+4)

=x2+5x+6-(x2+5x+4)

=2>0,

所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4)

(2)证明：因为a>b〉O,所以ab>0,々>0,

ab

于是a<：>b二，即:>士

ababba

由c>0,得;>

解题技巧：（比较法的基本步骤）

1、作差（或作商）2.变形3.定号（与0比较或与1比较）.

跟踪训练二

1.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.

2.已知Ia>b,证明a>半>b.

【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】⑴解:(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=X?+10x+21-(x2+10x+24)o

=-3<0

所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6)

(2)证明

a+b2a-(a+b)a—bv«a+b.a+b-2ba-b、八

a----二------二—/(J；---------b=-----=—/U

222222

所以a>史史》b.

2

题型三综合应用

例3(1)已知2<a<3,-2<b<-1,求2a+b的取值范围.

(2)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例，

而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜

边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于.

【答案】(1)见解析(2)当

4

【解析】：(1)4<2a<6,-2<b<-l,2<2a+b<5.

22

(2)设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a+b=25,则三角形的面积

22

S=1ab,：25=a+b^2ab,：.ab^,则三角形的面积S=；abW；x§=即这个直角三角形面积的最

222224

大值等于今.

4

解题技巧：(重要不等式的应用及多项式的取值范围)

1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解决相应的问题。(注意等于号满

足的条件)

2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.(将减法转化为加法，将除

法转化为乘法)

跟踪训练三

1.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4

只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所

需费用为B元，则A,B的大小关系是()

A.A>B

B.A<B

C.A=B

D.A,B的大小关系不确定

【答案】A

【解析】由题意得［上/弓:'2x=A,3y=B,

lqX"TDy乙乙、

(B

ARAd—>8,

整理得x^y*,煮

232A+—<22,

<3

将A+|>8乘-2与2A+|B<22相加,解得B<6,将B<6代入A>8哥,解得A>6,故A>B.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

2.1等式性质与不等式性质

1.不等式性质例1例2例3

2.重要不等式

3.空集

七、作业

课本42页习题2.1

教学反思

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持''以学生为主体，以教师为主导”的原

则，通过类比的思想使学生逐步掌握不等式的基本性质及其应用，为后面学习基本不等式打下理论

基础.

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.2基本不等式（共2课时）

（第1课时）

教材分析

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等

式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形

相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导

学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与

代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理

等数学核心素养。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

.数学抽象：将问题转化为基本不等式；

A.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不a

b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明

等式的几何意义，并掌握定理中的不等号2"

基本不等