第2节 动量定理

第2节动量定理1教材解读2物理与生活3如图8—12所示，跳高运动员要落到厚海绵垫上，跳远运动员要跳到沙堆上，鸡蛋掉到水泥地上会打破，而掉到泡沫垫上不易打破．

思考讨论 你能解释上述物理现象吗?4知识详解5知识点161.由牛顿第二定律推导出动量定理．(1)设一个物体的质量为m，初速度为v，初动量为p=mv，在与速度方向一致的合力F的作用下，经过一段时间t，速度变为v′，动量变为p′=mv′，物体加速 度为 根据牛顿第二定律，物体运动的加速度为 整理得 此式表明合外力的冲量等于物体动量的变化．7(2)由式 可得 此式说明作用力F等于物体动量的变化率．即 是牛顿第二定律的另一种表示形式．82.动量定理的内容．动量定理的内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化．即 ，或93.对动量定理的理解(重点)．

(1)动量定理的表达式是一个矢量式，应用动量定理时需要规定正方向．

(2)动量定理中Ft是合外力的冲量，是使研究对象的动量发生变化的原因，并非产生动量的原因，不能认为合外力的冲量就是动量的变化．合外力的冲量是引起研究对象状态变化的外在因素，而动量的变化是 合外力冲量作用后导致的必然结果．10(3)动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量．在所研究的物理过程中，如果作用在物体上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间，也可以先求每个外力作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和．如果作用在物体上各外力的时间不同，就只能先求每一个外力在其时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和．

(4)动量定理不但适用于恒力，也适用于变力．对于变力的情况，动量定理中的F应理解为在变力 作用的这段时间内的平均作用力．11例如：一只鸡蛋从h=0.8m高处自由落下，第一次让鸡蛋落在水泥地面上，蛋壳与水泥地面的作用时间是t1=0.01s，第二次让鸡蛋落在泡沫垫上，蛋壳与泡沫垫的作用时间是1s，设两次鸡蛋的质量都是m=50g，比较两次蛋壳受到的平均冲力的大小．分析蛋壳与地的作用时间是指蛋壳与地接触到完全静止的这段时间．第一次鸡蛋下落到与地开始接 触前瞬间的速度 动量12作用后的动量为零，设平均作用力为F，以向下为正，由动量定理可得 则 ，负号表示方向向上．同理第二次落到泡沫垫上有 这说明鸡蛋落到泡沫垫上所受到的平均冲力比落到水泥地面上所受到的平均冲力 要 小得多，因而鸡蛋不易破．13又如：一质量为m=100g的网球，以10m／s的速度垂直射到网球拍上，与球拍的作用时间为0.01s，后又以45m／s的速度反射出去，则球拍对球的平均作用力为多大?分析以球入射速度方向为正，球的初动量 反射速度方向为负，则末动量 14设拍对球的平均作用力为F，由动量定理有Ft=△p，得 负号表示与球的入射方向相反．小结

以上两例都是变力对物体发生作用，因此所求出的力是相互作用的这段时间内的平均作用力．15

(5)动量定理中的研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统．例如：质量为m1的木块和质量为m2的铁块通过细线系在一起，从静止开始以加速度a在足够深的水中加速下沉(木块在上，铁块在下)，经时间t，线断了，木块与铁块分离，再经时间t′，木块停止下沉，此时铁块的速度多大?分析此题若用牛顿定律和运动学公式求解 将很复杂，若把木块和铁块整体作为研 究对象，就容易得多了．16

以木块和铁块整体为研究对象，系统所受的合外力 设木块停止运动时，铁块速度为可v′，从开始运动到木块停止运动这段时间内应用动量定理有 解得小结

对系统应用动量定理时系统内 物体的内力不予考虑．17(6)动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观现象和高速运动仍然适用．动量定理和动能定理的区别和联系184.动量定理反映的是合外力的冲量与物体的动量变化的规律，是两个矢量之间的关系．动能定理反映的是合外力做功与物体动能变化的关系，是两个标量之间的关系．有外力作用(合外力不为零)，这个外力对物体一定有冲量，物体的动量一定会发生变化．有外力作用(合外力不为零)，这个外力对物体有可能不做功，物体的动能不一定发生变化．例如：做匀速圆周运动的物体受到向心力的作用，在一段时间t(t不等于其运动周期的整数倍) 内，物体的动量一定变化，而向心力对物 体却不做功，物体的动能不发生变化．19知识点2应用动量定理的几个典型问题201.应用动量定理定性地解释一些现象．由Ft=△p知，当△p一定时，t越大F越小，为了减小作用力，则应尽量延缓作用时间，这就是我们所说的“缓冲现象”．例如：为了减少鸡蛋在运输途中的破损，必须用泡沫塑料格盘装蛋或在蛋与蛋之间用碎纸屑等充塞．因为在运输途中由于车速的变化而引起鸡蛋的动量变化△p是一定的，不用泡沫塑料格盘装时，蛋与蛋之间的相互作用时间短，导致作用力大而易使蛋破碎，当借用这类物质盛装时，就延长了它们相互作用的时间 而使作用力减小．21又如：为了防止车祸中的人员伤亡，车在高速公路上行驶，车内人员必须系好安全带．当发生车祸时，人体的动量改变△p是一定的，这时人体由与车体保持相对静止到人体与静止的车体发生作用，这个作用的时间很短，则人体受到车体的冲力就很大，车祸中的人员伤亡就是这样发生的．如果人系好安全带，人体在车开始发生车祸时就通过安全带与人体发生作用，从而延缓了人体与车体作用的时间，大大减小了人体受到的冲力(再因安全带与人 体的接触面积较大，人体受到作用力的压强就 更小了)，保护了人体的安全．22

再如：一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车相撞后连为一体，两车车身因相互挤压，皆缩短了约0．5m，据测算两车相撞前速度约为30m／s，则：

(1)车祸中车内质量约60kg的人受到的平均冲力是多大?(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1s，求这时人体受到的平均冲力为多大?分析

(1)两车相撞时认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0．5m．设运动时间为t，根据 得23根据动量定理所以(2)若人系有安全带，则24

2.求变力的冲量或求变力在某段时间内的平均作用力时，不能用I=Ft，一定要用动量定理(这是上节提到的问题)．例如：如图8—13所示，光滑水 平面上一轻弹簧，左端固定在竖 直挡板上，自然伸长，其劲度系数为k，一质量为m的小球以速度v0由右向左运动与弹簧接触并压缩弹簧，最后被弹簧向右反弹出去，小球与弹簧接触的时间为t，则这段时间内弹簧弹力的冲量和平均 弹力各为多大?25分析弹簧对小球的作用力是变力，只能用动量定理求弹力的冲量和这段时间内的平均弹力．以向左为正方向，初速度v0方向向左，故p1=mv0．根据机械能守恒定律，小球被反弹后的动能与初动能相同，即方向向右，为负值，故p2=－mv0．设弹力冲量为I，这段时间内的平均弹力为F， 则根据动量定理有26由Ft=△p得 ，负号表示方向向右．小结

求变力的冲量只能用动量定理，用动量定理求出的是变力在这段时间内的平均作用力．27

3.在恒力作用下做曲线运动的物体其速度方向不断地变化，用△p=mvt－mv0求动量的变化比较复杂，用动量定理求这段时间内的冲量就比较简单．例如：如图8—14所示，在平面直角坐标系的原点O，有一质量为m的物体，沿x轴方向以速度v，离开原点开始运动，物体受到与x轴方向成45°的大小恒定的力F作用，求经过时间t物体动量的变化．28分析如果要求t时刻物体运动的速度大小和方向再用矢量运算的法则求△p=p2－p1是很困难的(高中一般不要求用平行四边形定则进行定量运算)，但用动量定理能很容易求出这段时间内物体动量的变化．根据动量定理Ft=△p，可知这段时间内物体动量变化的大小为Ft，方向．与x轴成45°角．29知识点3应用动量定理解题的步骤301.明确研究对象，选定正方向，确定相互作用的始末时刻及这两时刻的动量及变化．2.分析整个这段时间内物体的受力情况和合力的冲量．3.由动量定理列式求解．

说明在分析物体的动量及其变化和受力情况及力的冲量时，一定要按“应用动量定理的注意事项”中的原则进行．在确定了研究对象后，始、末时刻的确定也非常重要，这两时刻选定的是否恰当能影 响解题的繁简．31

例如：质量为m=1kg的小球从5m高处自由落到泥潭中，小球整个运动过程所用时间为l．8s，求泥潭中的淤泥对小球的平均作用力．(g取10m／s2)

解法l：以小球为研究对象，它做自由落体运动的时间为与淤泥作用的时间t2=t－t1=0．8s．以小球接触淤泥为初时刻，以向下方向为正，则小球的速度 初动量 静止时为末时刻，末动量p2=0．32

在与淤泥相互作用过程中，小球受到向下的重力mg和淤泥对小球的作用力F的作用，其合冲量为(mg+F)t2．(mg为正，F为未知量，“+”号是运算符号，表示重力和F之和)由动量定理Ft=△p有解得 ，负号表示方向向上．33解法2：若以小球开始自由下落为初时刻，这时动量p1=0，以刚静止在泥中为末时刻，p2=0．则这段时间内小球受到的合冲量是小球重力的 冲量和淤泥对小球作用力的冲量之和，由动量定理有得 ，负号表示 与重力方向相反．

34注意 小球与淤泥作用时，不能忽略重力对小球的冲量，小球的动量变化是小球所受合外力冲量的结果。35典例剖析361．力、冲量和功的区别例l若物体在运动过程中所受到的合外力不为零，则()A．物体的动能不可能总是不变的

B．物体的动量不可能总是不变的

C．物体的速度不可能总是不变的

D．物体的加速度一定变化37

解析根据动能定理，力的方向与运动方向垂直时,有力存在但力不做功，动能不改变．例如在匀速圆周运动中，物体所受到的合外力不为零，物体运动的速度大小不变，其动能也不变，选项A错误．根据动量定理，有力存在，这个力就有作用时间，就有冲量，因而物体的动量就一定发生变化，选项B正确。力是产生加速度的原因，有力才有加速度，有加速度物体的速度就一定会发生变化，选项C正确．根据牛顿第二定律，如果合外力恒定，质量一定，则物体的加速度恒定，选项D错.

答案BC

点拨物理中有许多物理量“形似而质异”、含义相 近，应善于辨析．382．用动量定理计算变力的冲量例2长为L的细线一端固定，另一端系一个质量为m的小球，在光滑的水平面上以速率v做匀速圆周运动．在半个周期的时闻内，细绳对小球拉力的冲量大小为() B．0 C．2mv D．mv39解析细绳拉力提供了小球做匀速圆周运动所需要的向心力．虽然细绳对小球拉力大小为 ，半个周期的时间 都可求得，但由于拉力F的方向是不断变化的，不能用冲量的定义I=Ft求拉力F的冲量．根据动量定理I=△p，可用小球动量的变化量求拉力，的冲量．在半个周期的时间内，小球动量的变化量的大小为： 所以细绳对小球拉力 的冲量大小为2mv.40答案C点拨有些问题直接解决比较困难，运用“逆向思维”、“等效思想”有时会峰回路转，找到有效而简单的方法．用动量定理求变力的冲量是一种很好的方法，一定要掌握．413．用动量定理解释物理现象例3跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全。这是由于()A．人跳在沙坑里的动量比跳在水泥地上小B．人跳在沙坑里的动量变化比跳在水泥地上小C．人跳在沙坑里受到的冲力比跳在水泥地上小D．人跳在沙坑里受到的冲量比跳在水泥地上小42解析人跳远时，落地前的速度一定，初动量一定；落地后静止，末动量也一定，所以人落地过程的动量变化量△p一定．因落在沙坑上的作用时间长、落在水泥地上的作用时间短，根据动量定理 一定，t大，则F小，故选项C正确．答案C点拨此类问题的似是而非的解释很多，应认 真分析，认清实质．43例4如图8—2—1所示，把重物压在纸带上，用一水平力缓缓拉动纸带，重物跟着一起运动；若迅速拉动纸带，纸带将会从重物下面抽出，解释这一现象的正确说法是()A．在缓缓拉动时，重物和纸带间的摩擦力大

B．在迅速拉动时，重物和纸带间的摩擦力小

C．在缓缓拉动时，纸带给重物的冲量大

D．在迅速拉动时，纸带给 重物的冲量小44

解析在缓缓拉动时，两物体之间的作用力是静摩擦力，在迅速拉动时，它们之间的作用力是滑动摩擦力．所以缓拉，摩擦力小；快拉，摩擦力大，故选项A、B都错．缓拉纸带时，摩擦力虽小些，但作用时间可以很长，故重物获得的冲量，即动量的改变可以很大，所以能把重物带动．快拉时，摩擦力虽大些，但作用时间很短，故冲量小，所以重物动量改变很小，纸带能从重物下面抽出．选项C、D正确．答案CD

点拨 解释现象时，应认真分析现象本身，找出 合理解释现象的概念及规律，有针对性地进行准 确判断和解释．454．用动量定理求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化例5 做平抛运动的物体，在相等的时间内，物体的动量变化量()A．大小相等，方向相同 B．大小相等，方向不同

C．大小不等，方向相同D．大小不等，方向不同46解析本题如果根据平抛运动的知识，直接判断在相等时间内物体的动量变化量，是比较麻烦的．由于做平抛运动的物体，只受到重力(恒力)的作用，根据动量定理△p=F·△t可知，平抛运动的物体的动量变化量等于它受到的重力的冲量，若时间相等，则动量变化量大小相等、方向相同，选项A正确．答案A

点拨有些变力作用或曲线运动的问题，用牛顿第二定律无法解决，而应用动量可以化

难为易、化繁为简．47的比较例6如图8-2-2所示中四个图象是竖直上抛物体的动量增量随时间变化的图线和动量变化率随时间变化的图线，若不计空气阻力，取竖直向上为正方向，则()48A．动量增量随时间变化的图线是甲图B．动量变化率随时间变化的图线是乙图C．动量增量随时间变化的图线是丙图D．动量变化率随时间变化的图线是丁图解析设物体的质量为m，根据动量定理，动量增量等于重力的冲量－mgt，所以动量增量随时间变化的图线是丙图；动量变化率， 所以动量变化率随时间变化的图线是丁图．答案CD点拨用图象来描述物理规律是物理学中常用的方法， 解决图象问题的关键是要理解图象的物理意义，特 别是图象的斜率、面积等所表示的物理量．49易错点和易忽略点导析50易忽略点：动量定理和矢量性51易忽略点导析：动量定理公式中的冲量Ft，动量P、P'，动量变化△P都是矢量，都具有方向性，因此在解题时要注意矢量运算的方法，避免出错．例 3kg的物体以5m/s的初速度做斜抛运动，3s后速度变为4m／s，求这3s内物体动量的增量．52错解：根据 ，可得错解分析：动量是矢量，把不知方向的两个时刻的动量的代数差看成动量的增量是错误的。正确解法：物体抛出后只受重力作用，而且重力是恒力，由动量定理 有， ，方向竖直向下。53创新讲解54一、学科综合思维专题点拨学科综合思维导析：动量定理通常和力学、运动学、能量等知识点综合．有些题可用动量定理求解，也可用运动学结合牛顿运动定律来求解．由于动量定理未涉及加速度和位移，所以有关曲线问题和变力问题，应用动量定理比用牛顿第二定律解决要简单得多．当求解相互作用时间极短，不发生位移的碰撞、爆炸问题时，牛顿运动定律无法直接应 用，而应用动量定理则可、解决．55【例1】某物体由静止开始在牵引力的作用下做匀加速直线运动，作用时间为t1，接着又在阻力作用下做匀减速直线运动，经时间t2速度为零．若物体一直在同样的水平面上运动，则前一段的牵引力与后一段的阻力大小之比为

．解： 点拨：研究对象经历两个过程，受力情况不同，但都遵循动量定理．选择不同 的运动过程，可有不同的解题方法．56法一：物体加速运动时，水平方向受两个力作用，设运动方向为正方向，末速度为v1，有：物体减速运动时，水平方向受一个力作用，末速度为0，有： ，解得57法二：虽然各个力作用时间长短不一，仍可将全过程作为一个整体，由动量定理可得： 解得

本题也可用牛顿第二定律和运动学公式求解，同学们可以试一试．运用动量定理解题的优点是：(1)只需考虑始末状态，不考虑复杂的过程．可以是分过程，也可以是全过程．(2)在不涉及位移、加速度的情况下，用 动量定理求解更为方便．58二、实际应用思维专题点拨 实际应用思维导析：由动量定理Ft=△p可知，在动量变化相同时，作用时间越长，作用力就越小．因此在物体发生运动状态变化时，为了减小作用力，常用延长作用时间的方法，这叫缓冲．在碰撞、爆炸等作用时间短、作用力大的问题中，也可用动量定理计 算平均作用力．59【例2】“蹦床”已成为奥运会的比赛项目．质量为m的运动员从床垫正上方h1高处自由落下，落到垫上后被反弹的高度为h2，设运动员每次与床垫接触的时间为t，求在运动员与床垫接触的时间内运动员对床垫的平均作用力．(空气阻力不计，重力加速度为g)60

某同学给出了如下解答：设在时间t内，床垫对运动员的平均作用力大小为F，运动员刚接触床垫时的速率为v1，刚离开床垫时的速率为让，则由动量定理可知：由机械能守恒定律分别有：即 即 联立①②③④式可得61该同学的解答过程是否正确？若不正确，请指出该同学解答过程中所有的不妥之处，并加以改正。解：该同学的解答过程有如下四个错误：(1)原解法中②式中未注意动量的矢量性，规定竖直向上方向为正，正确的表达式为：△P= ；(2)①式中冲量应为合外力的冲量，即垫对运动员的作用力和重力的合力的冲量，正确的表达式为： ，解得62(3)上述解答中所求F为床