高中数学苏教版选修23教学案15　二项式定理

1.5二项式定理

第1课时二项式定理

预

习

导入门答辩——辨析问题解疑惑

引

区新知自解——自读教材找关键

〃〃//入门答料"〃//

问题1：我们在初中学习了(a+»2=a2+2a6+〃，试用多项式的乘法推导g+b)3,g+b)4的展开式.

提示：(a+b)3=a3+3a1b+3ab2+b5,(a+b')4—ai+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

问题2：上述两个等式的右侧有何特点？

提示：展开式中的项数是w+l项，每一项的次数为".

问题3：你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗？

提示：因(a+6)4=(a+6)(a+b)(a+6)(a+6).由多项式乘法法则知，从四个a+6中选a或选6是任意

的.若有一个选仇则其余三个都选。，其方法有CZ种，式子为若有两个选b,则其余两个选a,

其方法有C?种,式子为C勿2".

问题4：能用类比方法写出(a+ZO"(wGN*)的展开式吗？

提示：能，(。+3"=一能+C〃L%+…+C".

//////a1^//////

1.二项式定理

公式公+""=C%"+C%"—%+…+CZ"r〃+…+3〃("GN*),叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a

+6)"的二项展开式，它一共有w+1项.

2.二项展开式的通项

C就2区叫做二项展开式的第厂+1项(也称通项)，用。+1表示，即4+1=C赳二史.

3.二项式系数

C£(r=O,1,2,…，而叫做第r+1项的二项式系数.

［归纳•升华•领悟］一

1.(a+b)"中，"eN*,a,b为任意实数.

2.二项展开式中各项之间用“+”连接.

3.二项式系数依次为组合数c9，G，…，3，…，C；：.

4.(a+b)〃的二项展开式中，字母a的事指数按降幕排列，从第一项开始，次数由〃逐次减1直到0；

字母6的幕指数按升累排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到a.

课

堂

突破考点总结规律

互

II动

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟区

考点1二项式的展开

［例1］求

下列各式的展开式：

⑴(a+26)%(2)(2x-崇).

［思路点拨］可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开.

［精解详析］(1)根据二项式定理

(a+b)n=C°a"+Chan~lbH---1-C^an~rbr-\---bC»",

得(a+26)4=CV+C|a32Z?+CV(2*)2+Ch(2b)3+C1(2Z?)4

=/+8/6+24/〃+32b3+16见

法二：a=-32xio-=32X14C?(4/)5+

小(4/)4.(—3)+…+0(4/).(—3)4+©•(—3>]

=^TO(102435—3840X12+5760X9-4320X6+1620?-243)

180135,405243

=32^—120X21

尤三十诙L耘即

［一点通］形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一

个字母是降幕，后一个字母是升幕.含负号的二项展开式形如(a—6)”的展开式中会出现正负间隔的情况.

〃〃/.•&城桑利勿”

1.写出(1+2x)4的展开式.

解：(1+2%)4=c2x14X(2x)°+C]X13X(2尤)1+C?X12X(2尤)2+clX11X(2x)3+C才X1。X("了

02/15

=1+8x+24/+32x3+16尤2

2.求盅)的展开式.

解:法一:(而-A"一)】&(©•击+而亚)2•(第f—c阿4

9.31.1

=J*一套+而

,一,31,1

=J无+不+而

求二项展开式的特定项

已知二项式。2】

[例2]

⑴求展开式中的第5项;

(2)求展开式中的常数项.

［思路点拨］(1)直接利用通项公式求解；

(2)利用通项公式。+1=3/丁，,=尤2,%=4)，设第r+1项为常数项，令X的指数等于0即可求出

r.

的展开式的第5项为

410

(2)设第r+1项为常数项，

则.+尸Q。•(/严'•(壶)’

=Cfo•x20一|厂•(，(r=0,1,2,…，10),

令20-|r=0,得厂=8,所以T9=Cfo,g)=悬，

即第9项为常数项，其值为良45.

ZJO

［一点通］

(1)二项展开式的通项。+1=表示二项展开式中的任意项，只要W与厂确定，该项也随之确定.对

于一个具体的二项式，通项.+1依赖于广，公式中的二项式的第一个量。与第二个量6的位置不能随便交

换，且它们的指数和一定为".

(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见

的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等.其通常解法就是根据通项公式确定。

+1中厂的值或取值范围以满足题设的条件.

3.(x—2y)6展开式中的第4项为.

解析：由二项展开式的通项得，(x—2y)6展开式中的第4项为C靓6F•(-2y)3=-i60%y.

答案：一IGO%3?

4.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数”的最小值为.

3n3r2r3n5r

解析：二项展开式的通项是Tr+l=ax~x~=C^x~,令3”-5r=0,得7i=y(r=0,1,2,

n),故当厂=3时，〃有最小值5.

答案：5

'l-_1

5.求Y'一工的展开式中的有理项.

I2W

_1

解:名的展开式的通项为

<—1\

T；+1=G(")

为使Tr+1为有理项，厂必须是4的倍数，所以r=0,4,8,故共有3个有理项，分别是71=(一，C以4

二项式系数与项的系数

［例3］已

(1)求展开式中第4项的二项式系数;

⑵求展开式中第4项的系数.

［思路点拨］利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数.

04/15

［精解详析］(3#—的二项展开式的通项是

10-rzQ、厂

7；+i=Cio(35)(―W('=3L…，10)-

⑴第4项的二项式系数为C?o=12O.

⑵第4项的系数为Co37(—|)=-77760.

［一点通］要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，

与二项式无关，它是一个组合数CQ后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关.

题世典钝，

6.(x—l)—(x—l)2+(x—1)3—(X—1)4+(%—1)5的展开式中，X2的系数等于.

解析：x2的系数是四个二项展开式中4个含x2的系数和，则有

-c§(-1)°+C1(-1)1-Ci(-l)2+c^(-1)3

=-(cHd+ci+d)=-2o.

答案：一20

7.在二项式(1—/)2。的展开式中，第4r项和第厂+2项的二项式系数相等，则厂=.

解析：第4r项与第r+2项的二项式系数分别为C%r和CJo1,由题设得C簿1=©礼

由组合数性质得4r-1=r+1或4r-1=20—(厂+1).

4r-l=r+l没有整数解.

由4厂一1=20—(厂+1),得厂=4.

答案：4

8.求(2x2+；)的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数.

解：通项公式为O+i=C5(2f)9r•=29-r•C，8-3r,故第3项的二项式系数为C§=36,第4项的

系数为26cs=5376.

［方法•规律•小结］

1.求二项展开式特定项的一般步骤

2.求二项展开式的特定项应注意的问题

通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含以或城产）的项；③

求常数项；④求有理项.其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是

整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数

的整除性来求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数塞，以减少计算中的错误.

3.二项式系数与项的系数的区别

二项式系数就与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负.

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练

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能

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课下能力提升（八）

一、填空题

1.（a+2b严展开式中第3项的二项式系数为

10!

解析：第3项的二项式系数为C彳0=不｛—乂°〕=45.

O：AZ1

答案：45

2.（四川高考改编）在x（l+x）6的展开式中，含好项的系数为.

解析：只需求（l+x）6的展开式中含X2项的系数即可，而含X2项的系数为CV=15.

答案：15

3.二项式,一步/的展开式中的常数项为.

解析：•.•0+i=C§（—1）穴-5「，令15—5厂=0,二厂=3.

故展开式中的常数项为c^（—1）3=—10.

答案：一10

4.若(x+l)"=_x"H------尤+I(/GN*),且。：b=31,那么n=

解析：a=CT3,b=C'^~2,又,：a：6=3：1,

.cr3_a_3n(7i_1)(/7-2)-2»„

•,cr2-crP即一就互H—=3,解得“二n.

答案：11

9

5.eq的展开式中有理项共有项.（用数作答）

06/15

解析：由Tr+inCSCpy-tJ=CR8f依题意需使18—3厂为整数，故18—3r'o,/<6,即r=0,1,

2,3,4,5,6共7项.

答案：7

二、解答题

_7

6.求(5—2y3)的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？

解：：北=C%5)(-2y3)3=c#(-2)3/=-280xV,

.•.第四项的二项式系数为G=35,第四项的系数为-280.

7.若Q—gf展开式的常数项为60,则常数。的值.

解：二项式Q-gf展开式的通项公式是

rr

0+1=C&X6r(-g)x-2,=C女6-3r(一g).

当厂=2时，4+1为常数项，即常数项是C勿，

根据已知C粉=60,解得。=4.

8.已知(5+盅f的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数.

解：卜区+式)展开式的通项公式为

n—r/1\rzixr〃一2r

，+i=C；•(犯)(立J=。

由题意知，c9,成等差数列，

则C,!=C9+；e,即n2-9n+8=o,

解得〃=8或〃=1(舍去).

.•.。+1=自€^47令4一r=1,得r=3.

.,.含x项的系数为(；)Cg=7,二项式系数为Cg=56.

第2课时二项式系数的性质及应用

预

习

导

引

区

zizku)cueK.ishutizhugan自主学习梳理主干

〃人口各界

(a+bf的展开式的二次式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式:

zX

<+»1

\aD7

z6\

ra+|2

xl7

zX

(+»J?

\aD.

z\

(+6/6

\a/

f\

+6i>1

xa/

f6x

la+)

yz20.

.

问题1:你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？

提示：在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以

外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？

提示:2,4,8,16,32,64,其系数和为2".

问题3：二项式系数最大值有何规律？

提示："=2,4,6时，中间一项最大，n=3,5时中间两项最大.

勿力新知an^7///

二项式系数的性质

一般地，m+b)"展开式的二项式系数c%&,•••,c；有如下性质：

⑴―；

十。〃一与11;

(3)当「＜丁时，或＜2；

当厂＞宁■时，W＜c;；

(4)C9+G+C计…+G="

［归纳.升华.领悟］-----------------------------

1.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

n〃一［〃+］

2.当〃为偶数时，二项式系数中，以C5最大；当〃为奇数时，二项式系数中以Ch“和c'“(两者

相等)最大.

3.二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等.

课

堂

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互

动II

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师生共研突破重难sftisficnggongyantupozftongnan

08/15

考点1.二项展开式中系数的和

［例1］已

知(1—2%)7=。()+〃1%+〃靖-|----求：

2H-----H〃7；(2)〃1+〃3+。5+。7；

(3)〃()+。2+〃4+〃6；

(4)|闻+同+㈤4---卜|加.

［思路点拨］根据展开式的特点，对X合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解.

［精解详析］令X=l,则〃o+〃l+42H-----b〃7=—1①

令X=-1,贝U〃0—〃1+〃2+…一。7=3’②

(1)令％=0,则。0=1,.\ai+a2~\----F〃7=-2.

(2)(①一②)：2,

/—1—37

得“1+43+45+47=2=-1094.

(3)(①+②^2,

/1］+37

得〃0+〃2+〃4+〃6=2=］093.

(4)|〃o|++㈤T---卜囱

=〃0—。1+〃2—6+…一〃7

=37=2187.

［一点通］

(1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或

几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.

(2)一般地，二项式展开式犬助的各项系数和为五1),奇次项系数和为3★1)—八-1)］,偶次项系数和为:

贝)+DL

小〃做集钝〃^

5

1.设(2x—1)6=〃/+Q5XH----b〃ix+〃o，则|〃o|+|〃i|+|a2|H----H〃6|=.

解析：­/7>+i=CR2x)6r(-iy=(—1)。6飞红6丁，

・・・小=(一1)嗟一一禺.

工|的I+1+|。2|4----卜|%|

=。0—。1+。2—〃3+〃4—Q5+〃6=［2X(—1)-1］6=36.

答案：36

2.二项式(%2—y的展开式中各项系数的和为.

解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为

答案：0

3.已知(2%—

(1)求〃o+〃i+〃2H---H%;

(2)求|〃o|+|+㈤H----H㈤；

(3)求为+的+的.

角翠：(1)令X=l,贝I〃0+41+〃2+的+a4+45=1.①

(2)令x=-1,则一的+QI一念+俏—〃4+〃5=-243.(2)

:|〃o|+1a1|+㈤+|词+㈤+1〃5|

=〃0—〃1+。2-的+。4—。5

=—（—〃o+〃l—奥+的一。4+。5）,

二・|仅）|++㈤+|的|+㈤+1恁|=243.

121.

二项式系数的性质

[例2]（1

+2x)"的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

［思路点拨］求(。+法)"的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为

(Ar+l^Ar,

Ai,AT.,•••,A„+i,再设第r+1项系数最大，由不等式组"j«确定，的值.

出+1与Ar+2,

［精解详析］公=G(2X)5,T7=C£(2X)6,依题意有

C^25=d26?n=8.

...(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为

石=C?(2x)4=l120x4.

设第r+1项系数最大，则有

C”•2厂1,

解得5WrW6.

C8•2，》C时•2r+i

r—5或r—6.

，系数最大的项为介=17922,77=1792x6.

10/15

［一点通］

(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同.当n

为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当“为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数

相同.

(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.

(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般

采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得.

/////^.a<^/////

4.已知(a+b)”的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则”=.

解析：：(a+b)"的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，，二项展开式共有9项，即〃+1=9,

n=8.

答案：8

5.在二项式Q6+U的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为3,且A+B=72,则

展开式中常数项的值为.

解析：令x=1,得各项系数的和为4”,

而各项的二项式系数的和等于2〃，

根据已知，得方程4〃+2〃=72,解得〃=3.

所以二项展开式的通项7；+1=0(5)匕)=3(西一.，显然当厂=1时，4+1是常数项，值为3Cj=

9.

答案:9

6.在(x=+3f)5的展开式中,求：

(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项.

解：(1)：〃=5,展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，

2222

6T

r?=Cg(/)3(3x2)2=90x,I4=Cg(/)2(3/)3=270X.

(2)设展开式中第r+1项系数最大，

25—r10+4r

则4+i=C《j)(3/)「=39笈=,

J3-C会3L廿，.7£，—

,•1303,+1最+1,,•殍"

226

即展开式中第5项系数最大，T5=0(4)(3/尸=405/.

利用二项式定理解决整除问题

［例3］求

证:2"+2-3"+5〃—4(〃dN*)能被25整除.

［思路点拨］将2k2•3'+5w—4=46+5w—4转化为25的倍数即可证明.

［精解详析］原式=4-6"+5〃一4

=4-(5+1)"+5〃一4

=4(秘•5"+C1••5"-2H------^0)+5〃-4=4(€：八5"+C!•5"rH------FC；f2••51)

+4C2+5w—4

=4(C9•5"+C1•5n-14------HC；r2•52)+20n+4+5n-4

=4(C9•5"+C!•------1-er2•52)+25”.

以上各项均为25的整数倍，故2•2•3"+5〃-4能被25整除.

［一点通］利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，

往往是将赛底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有

除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数.

题做桑利小〃

7.求证：5151—1能被7整除.

证明：5151—1=(49+2产-1

=C§i•4951+Ch•4950•2+…+C「•49•250+dl•251-1.

易知除C灯・251—1以外各项都能被7整除.

又251-1=(23)17—1=(7+1)"—1

17

=C?77+C!7-716H——FCf>7+CB-l

=7-(C?7•716+Clt•74+…+C再).

显然能被7整除，

所以5151-1能被7整除.

8.求证：对任何非负整数“，33"-26〃-1可被676整除.

证明：当〃=0时，原式=0,可被676整除.

当”=1时，原式=0,也可被676整除.

当心2时，

原式=27"—26/7-1=(26+1)”—26”一1

=(26"+Ci26,,-1H----FC-2•262+Q-1•26+1)—26〃-1

12/15

=26"+Ci26"-1+•••+C；f2•262.

每一项都含26?这个因数，故可被262=676整除.

综上所述，对一切非负整数”33,!-26H-1可被676整除.

［方法•规律•小结］

1.用赋值法求多项式系数和

求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开

式系数和特征来确定.一般对字母赋的值为1或一1,但在解决具体问题时要灵活掌握.

2.二项式系数的性质

(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，”为奇数时，中间两项的二项式系数最大，”为

偶数时，中间一项的二项式系数最大.

\Tr+i^Tr,

(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r+1项的系数。+i最大，则满足不等式、由

7Tr+2,

不等式组解出r的值.

3.余数及整除问题

(1)求余数问题

求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析.若最后一项是一个小

于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生.

(2)整除问题

整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路.

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分层练习

课下能力提升(九)

一、填空题

1.已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为

解析：由题设，得C9+；XCK=2XTXG,

即〃2-9W+8=0,解得〃=8或”=1(不合题意，舍去),

则0+；)的展开式的通项为

0+1=(2鼠8-，(£),

令厂+1=4,得厂=3,

则第四项为〃=c舐5自=伍

答案：1X5

2.若卜市一卡J的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为.

解析：令x=l,2"=64?九=6.

6~r

由4+1=C€•36r.x~(-iy.X-；

=(-l)'Cg36rx3丁，令3一厂=0?厂=3.

所以常数项为一C?33=