高中数学新课标人教B版必修一《函数》同步练习4试题

函数

1.已知在实数域R上.可导的函数y=/(x)对任意实数为,》2都行/(再+/)=/(再)・/。2)，

若存在实数〃，使/-00/'3)>0,

求证：(1)/(x)>0；(2)y=/a)在(—8,+8)上是单调函数

证明：⑴/。)=抬+卞=吗>吗)="(衬

又/(«)=/[|+(a-|)]=/(|)-/(«-|)丰0,.-./(|)^0..-.[/(1)]2>0即/(幻>0

⑵1)=lim”心=f(b)lim

心一°AxAS°XAx

即lim/Mj/(x)[/(Ax)-l]

•.・小)=妈

&f。Ax/(/?)AY

f(x)>OJ'S)>O,/0)>O:.fXx)>0f(x)在R上是单调递增函数.

2.已知抛物线C的方程为/=4x,E为焦点，门.线L:丘—y+k=0仅>0)与C交于A、B

两点，P为AB的中点，宜线4过P、F点。

(1)求直线乙的斜率关于女的解析式/(%)，并指出定义域；

(2)求函数/(%)的反函数/T(A)：(3)求L与4的夹角。的取值范围。

(4)解不等式log“xf~'(x)+^>l(a>O,a*l),

iy=4xb=16-16/>0

y=k(x+l)'[k>0

--0

=2A==-1=2,f(1,o)

yP4r^^^"⑹=2、=占(0小1)

乙A«v/\乙A[JL鼠

-p—1

⑵尸⑹=互手」(QO)

2k

(3)tge=fgi=k\-o<k<\,：.o<tg0<i,：.e&\o,-|

1+4(6I4j

(4)「I(x)+g="4r=J+g,...原不等式为logfx2+^>2(x>0)

当a>l时，x~ci^—，:.x>Ja~---；当0<a<l时，x~<.---,显然,

4V44

时，xe①；当!<a<l时,

22

已知二次函数/(/)=at2-4bt1

3.十方(reR)有最大值且最大值为止实数，集合

X—Z7

A={x\------<0},集合B={xlx2<匕2}

X

(1)求A和8；

(2)定义A与B的差集：A-8={xlxeAflxe8}.设a,b,x均为整数，且xeA。P(£)

2

为x取的概率，P(尸)为x取自AflB的概率，写出a与b的三组值，使P(E)=—，

3

P(F)=1,并分别写出所有满足上述条件的a(从大到小)、b(从小到大)依次构成的数

列{%}、{0}的通项公式(不必证明):

(3)若函数/⑺中，a=a„,b=b„

(理)设匕是方程FG)=0的两个根，判断-「2I是否存在最大值及最小值，若存在，

求出相应的值；若不存在，请说明理由。

(文)写出/⑴的最大值f(〃)，并判断“〃)是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应

的值；若不存在，请说明理由。

解：(1)；/(，)=aj-亚+±QeR)有最大值，；.”<0.配方得f(f)=a(-W)2+今，由

子>0nb>l.,A={xla<x<0},B={x]-b<x<b}<.

(2)要使P(E)=#P(F)=?可以使①A中有3个元素，A-B中有2个元素，ADB中有

1个元素.贝Ua=-4.b=2.②A中有6个元素，A-8中有4个元素，4nB中有2个元素。则

a=-7,6=3.③A中有9个元素，A-B中有6个元素，APIS中有3个元素.则

a=-10,b=4,an=一3〃-1,=/?+1.

⑶(理)/(/)=0,得△="-l>0.

g(”)=Ia-2』4+，2)2-4他=育='

•••9"++22拒曰=6,当且仅当“J时等号成立.

，g(〃)在N上单调递增。।“一21max=8⑴==•又”mg(〃)=0,故没有最小值。

“T8

(文)g⑹=詈=就彳=石rI。调递增,

T**1Z+—

•**/(«)min=/(1)=7»又Hm/(〃)==，・,•没有最大值。

〃T8I/

4.已知函数/(x)=log.-——是奇函数(a>0,aw1)。

x-1

(1)求m的值；

(2)判断/(x)在区间(1,+oo)上的单调性并加以证明；

(3)当a>(r,a—2)时,/(无)的值域是(1,+8),求a与r的值.

解：⑴m=-1

y--L1

(2)由(1),f(x)=loga----(a>0,a1).

x-1

任取再•无,£(l,+oo),设/<%二令”外=:^］则”为)=±二"(4))=々十;

x-1X,-1x2-1

X-f*1巧+12(巧-3)

?(%!)-?(%2)=—~-

玉-1X,-1(x,-l)(x2-l)

X］>l,x2>1,%,<x2,%1-1>0,x2-1>0yx2-x1>0,

X|+1x+1

心］)〉«工2)，n即tl‘--->---2---

X1-1%21

X4-IY-L1

当a>1时,log“———>log”———,/(%)在(1,+8)上是减函数；

X］—1x2-1

当0<a<l时，/(x)在(1,+00)上是增函数.

(2)当时，要使/(X)的值域是(1,+8),则log.Ml〉［,rq>。,即(l-a)x+a+l

“x-1x-1x-1

a+1

x--------

而d〉1,，上式化为---<0①

x-1

x+12

又/(x)=log,--=log.(1+―-),J当x>1时，/(X)〉0.当x<7时,f⑶<0.

x-1X-1

因而，欲使/(X)的值域是(1,+8),必须X>1,所以对不等式①，当且仅当1<X<3时

a-\

成立.

r=1

,vQ-2="+1,解之,得r=1,Q=2+

a-\

a>1

5.|AB|=|x「x』表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这

样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离：条件一,

非负性P(x,y)20,等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角

不等式p(x,z)这p(x,y)+p(y,z).

试确定运算s(x,y)=人一”是否为一个距离?是，证明；不是，举出反例。

1+lx-yl

解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可

s(x,y)=20等号成立当且仅当|x-y|=O,即x=y,第一条满足

1+1x-yI

s(x,y)=—~"―=__=s(y,x)，第二条也满足

1+lx-yI1+1y-xl

s(x,z)=•.•函数f(x)=」=l-(或/一)在x>0上单调增，且|x-z|W

l+lx-zll+xl+x!>+]

X

|x-y|+|y-z|(8分)As(x,z)7，，7^------------------

1+lx-yl+ly-zll+lx-yl+ly-zl

\y-z\,\x-y\ly-zl/、，/、…八、

+------------------W---------+t---------=s(x,y)+s(y,z)(10分)

1+1工一yl+ly-zl1+1x-yI1+ly-zl

总之，s(x,y)是距离

6.已知曲线L:y=〃/+cx+d与y轴相交于点A,以其上一动点P(x0,yo)为切点

的直线/与y轴相交于Q点.(I)求直线/的方程，并用刘表示Q点的坐标；

(II)求limsin-P。

式07+®sinZAQP

2

(I)解：A(O,d),y'=3a/+2bx+c,k=3ax0+2bxQ+c

22

y-ya=(3izx0+2bxQ+c)(无一无0),令x=0得=(3axQ+2bx0+c)(-x0)+y0

2

0(0,(3叫+2hx0+c)(-x0)+>o)

(ID由正弦定理得：

32

sinZAPQAQI-3axj-2bM—5+-dII-2ax0—bx01

sinNA。一"一Jx；+(%—d)2-斤瓦不砺罚7

sinZAPQ12ax^+bxJI12aI.

hm------=hm/==--=2

而fysin/AQP7^o2+(«xo3+hx^+cxo)2⑷

7.设a、b为常数，M={/(x)"(x)=acosx+/?sinx};F：把平面上任意--点(a,6)映

射为函数acosx+bsinx.(1)证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

(2)证明：当_/o(x)eM时，力(x)=/o(x+f)eM,这里£为常数；

(3)对于属于必的一个固定值人。)，得={/()(尤+f)/eR},在映射尸的作用下，

M作为象，求其原象，并说明它是什么图象？

答案：(1)假设有两个不同的点(a"),(c,d)对应同-函数，即“a,。)=acosx+/?sinx

与F(c,d)-ccosx+dsinx相同，

JI

即acosx+Z?sinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立。特别令A=0,得a=c；令x=—,

2

得b二d这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾，假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数。

(2)当/o(x)£M时，可得常数%，仄，使/o(x)=a。cosx+%sinx

j\(X)=/o(x+f)=&cos(x+r)+%sin(x+1)

=(a。cost+b()sin，)cosx+(b()cost-a()sint)sinx

由于&,%J为常数，设〃0cost+b()sint=m,b()cos/一a。sin/=则团，〃是常数.

从而fi(x)=mcosx+〃sinxwM。

(3)设/O(X)EM,由此得/0(x+Z)=mcosx+nsinx

(其目口加=aQcost+b()sinr，n=hQcost-aQsinr)

在映射/下，的原象是(m,n),则M的原象是

Im=a()COSE+》osint,n=dcost-aQsin/JeR}

消去t得苏+“2=访+环,即在映射F下,立的原象｛(m,“)|加2+〃2=4；+及｝是以

原点为圆心，J4；+可为半径的圆。

8.试构造一个函数/(X),X€。，使得对一切XG。有l/(—X)l="(X)l恒成立，但是/(X)

x2,(\x\<1)

既不是奇函数又不是偶函数,则/(X)可以是/(x)=<

X,(|x[>1)

9.设AUBUO｛1,2,3,4,5｝，且ACB」｛1,3｝,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为

不同组)(A)A.500组B.75组C.972组D.125组

10.电信局为了配合客户的不同需要，设有A,B两种优惠方案.这两种方案应付电话费(元)

与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(.注：图中MN〃CD)试问：

(I)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？黑「⑺

(II)方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？耀卜…-5%，，

(III)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？1\~7\

解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数；

关系分别为/A(X),/B(X),则由已知及图象可得

98,(0<x<60),168,(0<x<500)

f(x)=<3()3

A京x+80,(x>60);/BX="—x+18;(x>500).

(I)通话时间2小时，按方案A,B各付话费116元和168元；

(II)因为//+If(”)=：=0.3(元明>500)，所以方案B从500分钟后，每分钟收费0.3元;

(III)由图象知，当0<x460时，由/A(X)</B(X),

88()

当x>500时,/4(x)>fB(x),在60<x<500时，由力(x)>fB(x),可得x>亍.

QQA

即当通话时间在(宁,+00),方案B比方案A优惠.

10.已知函数/(x)=asin?x+bsinx+c,其中.a,b,c是非零实数，甲，乙两人做一种游戏：

他们轮流确定系数a,b,c(比如甲令b=l,乙令。=-2,甲再令c=3)后，如果对于任意实数

X,/(X)*0,那末甲得胜；如果存在实数X,使y(x)=0,那么乙得胜.甲先选数，他是否有必

胜的策略？为什么？如果a,b,c是任意实数,结论如何?为什么？

11、(04河南)若aeR求函数/(x)=x2e"x的单调区间.

ax2ax2ajc

解：f'(x)=2xe+axe=(2x++ax)e.

(I)当a=0时，若x<0,则/'(x)<0,若x>0,则r(x)>0.所以当a=0时，函数f(x)在区间

(—°°.0)内为减函数，在区间(0,+°°)内为增函数.

2

(II)当a>0日寸，由2x+ax2>0,角单得x<---或x>0,

a

2

由2x+〃/<0,解得——<x<0.

a

22

所以，当a>0时，函数F(x)在区间(-8,--)内为增函数，在区间(一一，0)内为减

aa

函数，在区间(0,+8)内为增函数；

22

(III)当水0U寸，由2x+aV>0,解得0〈水一一，由2户/<0,解得x<0或x>——.

aa

2

所以当水0时，函数F(x)在区间(—8,0)内为减函数，在区间(0,内为增函数，

a

2

在区间(一一，+8)内为减函数.

a

12、(04河南文)一知/(%)=al+3/一次+1在R|二是减函数，求。的取值范围.

解：*.，/'(X)=3ax2+6x-L

(I)当f'(x)<0(xcR)时，f(x)是减函数.

3ax2+6x—1<0(xER)<=>a<0且A=36+12a<0=a<-3.

所以，当a<一3时，由尸(x)<0,知/*(%)(%GR)是减函数;

(II)当。=一3时，/(x)=-3x3+3x2-x+1=-3(x——下+—，

39

由函数y=x3在R上的单调性，可知

当a=—3时，/(x)(xeR)是减函数;

(Ill)当a>—3时，在R上存在一个区间，其上有f\x)>0,

所以，当a>—3时，函数/(x)(xeR)不是减函数.

综上，所求a的取值范围是(-8,-3].

13、若函数/(x)=；/—JaV+m-Dx+l在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+8)上为

增函数，试求实数a的取值范围.

解：函数/(x)的导数f'(x)=x2-ax+a-l.令r(x)=0,解得

x=1或x=a-1.

当a-141即a42吐函数/"(x)在(1,+8)上是增函数,不合题意

当a-1>1即a>2吐函数/(x)在(-8,1)上为增函数，在(1,。-1)内为减函数，在(a-1,+8)

为增函数.

依题意应有当xe(1,4)时,/'(x)<0,当xe(6,+oo)时,小)>0.

所以4<a-l<6.解得54a47.

所以a的取值范围是[5,7].

14、已知函数/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.(i)求函数/(x)的最大值；

(ii)设0<a<b,证明:0<g(a)+g®-2g("；")<(6-a)In2.

(I)解：函数/(x)的定义域为(一1,+8).

/'(x)=」--1.令/'(》)=0,解得户0.

1+x

当—l<x<0时,/'(x)>0,当x>0吐/'(x)<0.又/(0)=0,

故当且仅当产0时,/(x)取得最大值，最大值为0.

g(a)+g(b)-2g(^4^a+b

(II)证法一:)=aIn〃+〃Inb—(a+。)In

2

2a2h

a\n+Z?ln

a+ba+b

由(I)结论知ln(l+x)-x<0(x>一1,且xw0),

b-a

由题设0<a<6,得

2a

h-ah-a.2h，八a-ha-h

因止匕In-----=-ln(l+)>------,In--------ln(l+x------)>--------

a+b2a2aa+b2b2b

2bh-aa-h八

所以a\n------+&ln----->----------------=0.

a+ba+b22

2aa+b

乂----<-----,a\n-^-+b\n-^-<a\n^-+b\n^-=(b-a)\n-^-<(b-a)\n2.

a+b2ba+ba+b2ba+ba+b

综上0cg(a)+g(b)-2g("；".)<(/?-tz)ln2.

✓7+r

证法二：g(x)=xInx,g'(x)=Inx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g(^—),

Z7-4-Y/7-I-Y

则F'(x)=g'M-2[g(^-)](=Inx-In

当0<x<a时，尸(x)<0,在此尸(x)在(0,a)内为减函数.

当x>a时,尸(x)>0,因此歹(x)在(a,+8)上为增函数.

从而,当x=a时，尸(x)有极小值尸(a).

因此*4)=0,6〉。,所以产3)〉0,即0<g(a)+g3)—2g(q1^).

✓7+r

设G(x)=F(x)—(x—a)ln2,则Gr(x)=Inx-In-----In2=Inx-ln(a+x).

当x>0吐CM<0.因此G(x)在(0,+8)上为减函数.

因为6(。)=0力>。,所以63)<0,

即g⑷+gS)-2g<(b-a)ln2.

15、求函数f(x)=ln(l+x)一一x2在[0,2]上的最小值.

4

解：/'(x)=—1——-x,

1+x2

令-----x=0,

1+x2

化简为-+X—2=0,解得*=—2(舍去),々=L

当0“<1时,/'(X)>0,f(x)单调增加;

当1<xV2时，/(x)<0,“X)单调减少.

所以/(l)=ln2—,为函数/(x)的极大值.

4

又因为/(O)=O,/(2)=ln3-l>O,/(l)>/(2),

所以/(O)=O为函数/(尤)在［0,2］上的最小值，/(l)=ln2—1为函数/(x)

4

在［0,2］上的最大值.

16、已知函数/(x)=ax3+笈2-3%在％=±1处取得极值.

(1)讨论/⑴和/(-I)是函数/(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(O,16)作曲线y=/(x)的切线，求此切线方程.

(1)解：f'(x)=3ax2+2bx-3,依题意，/«)==0,即

［3。+28—3=0,”，

《解得a=l,b=0。

3a—2b—3=0.

，f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1)。

令/'(x)=0，得x=-l,x=1o

若xe(—8,-1)U(1,+8)，则/'(x)>0，故/(x)在(—8,-1)上是增函数，

/(X)在(1,+8)上是增函数。

若X€(-1,1),则尸(x)<0,故/(X)在(一1,1)上是减函数。

所以，/(—1)=2是极大值；/(1)=-2是极小值。

(2)解：曲线方程为y=/-3x,点A(0,16)不在曲线上。

设切点为A/(x(),%),则点M的坐标满足凡=X；-3%。

因/(%)=3«-1),故切线的方程为=3(x；T)(x—x())

注意到点A(0,16)在切线上，有16-(只一34)=3(其一1)(0-/)

化简得x；=—8,解得X。——2o

所以，切点为“(—2,-2),切线方程为9x—y+16=0。

17、10、已知函数/(x)=ax3+cx+d(a工0)是R上的奇函数，当x=1时/(x)取得极值

-2.(1)求/(x)的单调区间和极大值;

(2)证明对任意玉，x2不等式|/区)一/区)|<4恒成立.

(1)解：由奇函数的定义，应有/(—x)=—/(x),xeR

即一ax3—cx+d--ax3—cx—d/.d=0

因此，f(x)=ax3+ex/'(尤)=3ax2+c

a+c=—2

由条件/⑴=一2为/(x)的极值，必有/'(1)=0,故4

3a+c=0

解得a=l,c=—3

因此，f(x)-x3-3x,f'(x)-3x2-3=3(x+l)(x-1)

/(T)=/⑴=0

当xw(—00,-1)时，/'(x)>0,故/(x)在单调区间(一8,-1)上是增函数

当时，f'(x)<0,故/(x)在单调区间(一1,1)上是减函数

当xe(l,+8)时，f'(x)>0,故/(x)在单调区间(1,+8)上是增函数

所以，/(x)在x=—1处取得极大值，极大值为/(—1)=2

(2)解：由(1)知，/(幻=》3一3%*6［—1,1］)是减函数，且

/(X)在上的最大值M=/(—1)=2

f(x)在［-1,1］上的最小值m=/(I)=-2

所以，对任意的修，/6(-1，1)，恒有|/5)一/02)|<加一机=2-(一2)=4

18、(04重庆)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元

/吨)之间的关系式为：p=24200—J/,且生产x