高中数学同步导学-(211)常用逻辑用语

1.1命题及其关系

学习要求：①理解命题的概念

②了解“若P,则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系

(-)基础知识梳理：

1.命题的定义：用、或表达的，可以判断的句，叫做命题。

其中判定为真的语句叫做,判定为假的语句叫做。

2.四种命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题

叫做,其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的;

如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个

命题叫做,其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的;

如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个

命题叫做,其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的.

3.四种命题的表示：若P为原命题条件，q为原命题结论。则下列命题分别表示为：

原命题：；逆命题：；否命题：；逆否命题：

4.四种命题的相互关系(如右图所示)：

(D两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

5.反正法：在直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通

过证明为真命题，来间接地证明原命题为真命

题，这种证明方法就叫做反正法。

(-)例题分析：

例1.(2011山东文)已知a,b,cGR,命题“若a+Z?+c=3,则/+〃+。2》3”的否命题是()

(A)若a+b+c/3,贝1]/+/+。2<3(B)若a+b+c=3,则a2+/+c2<3

(0)若a+b+c手3,则/+"2+。223(D)若cJ+〃+c*》？，则a+b+c=3

7F

例2.(2012湖南文、理)命题“若"一，则tana=1”的逆否命题是()

4

7171..71

A.若a#=一,tana*1B.若a=—,tana去1C.若tana1,a手一D.若tana丰1,a=一

4444

(三)基础训练：

1.下列命题中的真命题是.(只填序号)：

①“若mW1,则x2-2x+m=0有实根”的逆命题；②"若AHB=B,则A=B”的逆否命题；

③“在同一个三角形中，大边对大角”的否命题；④“正方形的四边相聚”的否命题。

2.(2010天津理)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是()

(A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数(B)若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

(O若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数(D)若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

3.(2009重庆文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()

A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

1.2充分条件与必要条件

学习要求：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义

（一）基础知识梳理：

1.充分条件与必要条件：如果“若P,则/为真命题,就说由0可推出g,记作,

并且说P是q的条件，q是P的条件.

2.充要条件：如果既有pnq,又有qnp,就记作,此时，我们就说。是q的

条件，简称条件.显然，此时。也是。的条件.

概括的说，如果poq,那么p与q互为条件

（-）例题分析：

例1.（2010山东理）设数列{4,}是等比数列，则"q<生<6”是数列{q}是递增数列的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例2.（2013山东文、理）给定两个命题p、q,若「p是q的必要而不充分条件，则p是「q的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2011全国大纲卷文、理）下面四个条件中，使。〉〃成立的充分而不必要的条件是（）

（A）d>b+\（B）a>b-\（C）a2>h2（D）a3>h3

（三）基础训练：

1.（2016上海文、理）设aeR,则“。>1"是“标>]”的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

2.（2015湖南理）设A,8是两个集合，贝I]"A5=A”是“AQB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2014北京文）设4、b是实数,则“a〉。”是“/>/，，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2013上海文）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

5.（2013上海理）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件

6.（2012山东理）设a>0a*1,则“函数f（x）=a*在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2-a）X3

在R上是增函数”的（）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

7.（2011天津文）设集合A=2>0},3={XGR|X<0},C={XG/?|x（x-2）>0},

贝ij“xeAuB”是“xeC”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

8.（2010福建文）若向量a=（x,3）（xWR）,则"x=4”是“|a|=5”的（）

A.充分而不必要B.必要而不充分C充要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2009安徽文）"a+ob+d"是''。>。且04”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1.3简单的逻辑联结词

学习要求：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义

（-）基础知识梳理：

1.逻辑联结词“或”、“且"、“非”分别用符号“"、""、"”来表示。

2.复合命题的真假一真值表：

复合命题p人q的真值表：当p,q都是真命题时，p^q是真命题；当p,q两个命题中有一个命题

是假命题时，pAq是假命题。简记为：都真才真，有假即假。

复合命题pvq的真值表：当p,q两个命题有—命题是真命题时，pvq是真命题；当p,q都是

假命题时，pvq是假命题。简记为：有真就真，都假才假。

复合命题「P的真值表：若P是真命题，则「p是假命题；若P是假命题，则「p是真命题。

简记为：韭真即假，非假即真。

（-）例题分析：

例1.（2011北京文）若p是真命题，“是假命题，则（）

（A）"人q是真命题（B）pvq是假命题（C）—是真命题（D）—>q是真命题

例2.（2012山东文）设命题0：函数y=sin2x的最小正周期为命题q：函数y=cosx的图象

关于直线》=代对称.则下列判断正确的是（）

2

（A）p为真⑻F为假（C）〃Aq为假⑹pvq为真

例3.（2008广东理）已知命题0；所有有理数都是实数，命题q；正数的对数都是负数，

则下列命题中为真命题的是（）

A.（-ip）vqB./?A<?C.（-1P）人（一D.（—>/?）v（―>^）

（三）基础训练：

1.如果命题“1P”为假，命题“PAq”为假，那么则有（）

（A）q为真（B）pVq为假（C）pVq为真（D）"p）A（"|q）为真

2.（2014重庆文'理）已知命题p:对任意XGR，总有2'>0;

q：“x〉1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）

（A）/?A<7（B）-ypA-1<7（0）-ip/\q（D）〃A—iq

3.（2014湖南理）已知命题p:若x>y,则一x<-y；命题/:若x<y,贝!h?>丁.在命题（）

①〃A</;②pvq;③pA（「幻;④中，真命题是（）

A①③B,①④C.②③D.②④

4.（2013全国新课标I文）已知命题p:VxeR,2'<3'命题q:IreR,x3=l-%2,则下列命题中

为真命题的是：（）

（A）pzq（B）—>pAq（C）pA—uy（D）—A—

5.如果p是q的充分条件，r是q的必要条件，那么（）

(A)—>〃=>—(B)-if―«p(C)~~\p<=>-\K(D)p<=>r

6.复合命题p”为假命题是复合命题“pVq”为真命题的条件。

1.4全称量词与存在量词

学习要求：

①理解全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定

（一）基础知识梳理：

1.全称量词：短语“所有的"、“"、""、""、“每一个”等，在逻辑中通常

叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做命题。

全称命题“对M中任意一个x,有p（x）成立"可用符号简记为“”.

2.存在量词：短语“存在一个"、“"、""、""、“有的”等，在逻辑中

通常叫做存在量词，并用符号“一”表示。含有存在量词的命题，叫做命题。

特称命题“存在M中的一个x,有p（x）成立"可用符号简记为“”.

3O含有一个量词的命题的否定：

全称命题p：VxeM,p（x）的否定为-1P:,它是一个命题;

特称命题P：3xGM,p（x）的否定为rp:,它是一个命题。

4.写出下表中各给定语的否定语：

若给定语为等于大于是都是至多有一个至少有一个至多有〃个

其否定语分别为

5.命题的否定与否命题：命题的否定与否命题是两个完全不同的概念。命题的否定是原命题的矛盾命

题，真假性与原命题相反。而否命题的真假与原命题的真假没有直接关系。

“P且q”的否定为“"，用符号语言表示为」（pAq）=;

"P或q”的否定为“”用符号语言表示为「（pvq）=.

（二）例题分析：

例1.（2010湖南理）下列命题中的假畲题是（）

A.VxeR,2r-l>0B.VXGN*,（X-1）2>0C.BxeR,lgx<lD.IreR,tanx=2

例2.（2007海南、宁夏文、理）已知命题〃：VxeR,sinxWl,贝I］（）

A.—I/?:eR,sinxNlB.—>/?:VxeR,sinx1

C.—i/7:GR,sinJC>1D.—«/?:VxeR,sinx>1

（三）基础训练：

1.（2013重庆文、理）命题“对任意*eR,都有的否定为（）

A.对任意x6R,都有f<0B.不存在xCR,都有

C.存在x°CR,使得/20D.存在x°eR,使得此<0

2.（2012湖北文）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数.

C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

3.（2016浙江理）命题“VxwR,3neN*,使得〃>丁”的否定形式是（）

A.VxeR,3nGN：,使得〃vx?B.VxeR,VneN：,使得〃vf

C.3%GR,3/2GN*,使得〃〈/D.3XGR,V/tGN",使得〃cf

4.（2010安徽文）命题“存在XER,使得炉+2%+5=0”的否定是

全国历届高考数学试题中的“常用逻辑用语”试题精选

常用逻辑用语（自我测试I）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件

2.（2016天津文）设x>0,ye/?,则“x>y”是“x>|y|”的（）

（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

3.（2015安徽理）设〃：1<%<2,4：2*>1,则〃是成立的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

4.（2014安徽理）“x<0”是“ln（x+l）<0”的（）

A充分而不必要条件B,必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2014湖北文）命题"VxeR,的否定是（）

A.\/x£/R,x^xB.VxER,x=xC.3Ab^/R,必力而D.2xo^R,xo=xo

6.（2013福建文）设点P（x,y）,则“1=2且y=—l”是“点尸在直线/:x+y+1=0上”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2009湖南理）对于非。向量3］，"3+办="'是工/〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2008山东文）给出命题：若函数），=/（x）是基函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限.

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

9.2008浙江文、理）已知a,b都是实数，那么>/,,是“a%’的（）

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2012安徽文）命题“存在实数1，使x>l”的否定是（）

（A）对任意实数X,都有x>l（B）不存在实数x,使X4I

（O对任意实数X,都有xWl（D）存在实数x,使xWl

11.（2007重庆理）命题“若，<1,则一1〈无<1”的逆否命题是（）

A,^x2>1,则xNl或-1B,若一则/<1

C.若x〉l或x<-l,则->1D.若xil或》《一1,则121

12.（2007海南、宁夏文'理）已知命题sinxWl,贝ij（）

A.—>/?:HxeR,sinx21B.r?:VxeR,sinx21

C.-n/?:3xGR,sinx>1D.-ip:VxGR,sinx>1

13.(2015全国新课标I卷理)设命题P：3neN,n2>T,则［P为()

(A)VneN,n2>2n(B)3neN,n22"(C)VnsN,n22"(D)3neN,n2=2"

14.（2011安徽理）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的百足是（）

（A）所有不能被2整除的数都是偶数（B）所有能被2整除的数都不是偶数

（O存在一个不能被2整除的数是偶数（D）存在一个能被2整除的数不是偶数

15.（2011陕西文、理）设a,3是向量，命题“若a=—则切”的逆命题是（）

（A）若"—b,则|a国切（B）若4=一。，则|a国切

（C）若|a罔切，则aw"（D）若则。=—。

16.（2010全国新课标理）已知命题

P,：函数y=2'-2一、在R为增函数，0：函数y=2'+27在R为减函数，

则在命题名：P1V〃2，%：P|八“2，%：（—〃1）V〃2和%：〃1人（一〃2）中，真命题是（）

（A）%,%（B）%，％（C）/，<74（D）%，%

17.（2008上海文、理）给定空间中的直线/及平面a,条件“直线/与平面a内无数条直线都垂直”

是“直线/与平面a垂直”的（）条件

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要

18.（2007天津文）“。=2”是"直线以+2y=0平行于直线x+y=l”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

19.（2004重庆文）一元二次方程a?+2》+1=0,（a=0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件（）

A.。<0B.a>0C.a<-\D.a>1

20.（2004重庆理）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。

那么P是q成立的：（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

全国历届高考数学试题中的“常用逻辑用语”试题精选

常用逻辑用语（自我测试II）

题号1234567891011121314151617181920得分

答案

1.（2016山东文、理）已知直线a,6分别在两个不同的平面a,匕内，则“直线a和直线6相交”

是“平面a和平面相交，，的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

2、（2015北京文）设a,匕是非零向量，“。/=时网”是11a//b''的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2014北京理）设{4}是公比为q的等比数列，则“q>l”是“{%}为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2013福建理）已知集合4={1同,4={1,2,3},则“。=3”是"A±8”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2012福建理）下列命题中，真命题是（）

2

A.3x0eR,e'o^OBVxeR,2*>z

C.a+b=O的充要条件是q=7D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

b

6.（2011湖南理）设集合{1,2},N={/},则“a=l”是“NqM”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件0.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

7.（2010江西文）对于实数。也c,“a>b”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2009重庆文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

9.（2012湖北理）命题T/CCRQ,x；eQ”的否定是（）

3333

A.3x0CRQ,x0eQB.3x0eCRQ,x0?QC.Vx0sECRQ,xGQD.Vx0eCRQ,xgQ

10.（2011辽宁文）已知命题"：H/7GN,2n>1000,则「。为（）

A.V〃GN,2"W1000B.2">1000C.BnFN,2"W1000D.3/JGN,2^1000

11.（2013北京理）“0=n”是“曲线y=sin（2x+0）过坐标原点”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.（2009上海春招）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件.

13.（2011全国大纲卷文、理）下面四个条件中，使a>力成立的充分而不必要的条件是（）

223

（A）a>b+\⑴）d>b-\（oa>b（D）a>b^

14.（2007湖南理）设N是两个集合，则“MN=0”是N手0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D,既不充分又不必要条件

15.（2015湖北文）命题“mx°e（0,+oo）,Inx。：%-1”的否定是（）

A.e（0,+oo）,In不。升）—1B.3^（0,+oo）,In%）=%）-1

C.Vxe（0,+oo）,lnx^x-1D.Vxe（0,+oo）,\nx=x-l

16.（2009天津理）命题“存在％eR,2*>40”的否定是（）

（A）不存在/eR,2X°>0（B）存在/eR,2X°>0

（C）对任意的xeR,2X<0（D）对任意的xeR,2'>0

17.（2004天津文）对任意实数a,。,c在下列命题中，真命题是（）

（A）"ac>儿"是“a>b”的必要条件（B）"ac=bc"是“a=b”的必要条件

（C）"ac>儿"是“a>»'的充分条件（D）"ac=历"是"a=»'的充分条件

18.（2004重庆文）一元二次方程ar?+2》+1=0,①工0）有一个正根和一个负根的

充分不必要条件是（）

Aa<0Ba>0Ca<-lDa>1

19.（2002全国文、理，天津文'理）函数y=x2+bx+c（e[0,+oo））是单调函数的充要条件是（）

（A）h>0（B）h<0（C）b>0（D）b<0

20.(2005湖北文'理)对任意实数a,b,c,给出下列命题：

①“。=匕”是"ac=Ac”充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

③“a>6’是的充分条件；④“京5”是“水3”的必要条件.

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

常用逻辑用语(补充练习题)

1.(2012重庆文)命题“若p,则q”的逆命题是()

(A)若q则p(B)若一ip则—1q(C)若—则［p(D)若p则—I4

2.(2012天津理)设eeH,则“0=0”是“/(x)=cos(x+°)(xeH)为偶函数”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件

3.(2008广东理)已知命题0；所有有理数都是实数，命题q；正数的对数都是负数，则下列命题中

为真命题的是()

A.(―ip)vqB.p八qC.(-7?)△(1g)D.(—./?)v(—>q)

4.(2015北京理)设c,夕是两个不同的平面，〃?是直线且mua."，"〃/?”是“a〃尸”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.(2015四川理)设a,6都是不等于1的正数，则"3">3">3”是"10g“3<10g〃3”的()

(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件

6.(2010天津理)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是()

(A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数(B)若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

(O若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数(D)若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

7.(2011浙江文)若。涉为实数，则“叱必N1”是“叱4的()

a

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

8、(2008海南、宁夏文、理)平面向量。，〃共线的充要条件是()

A.a,〃方向相同B.a,b两向量中至少有—1^为零向量

C./?,b=AaD.存在不全为零的实数4,4,A,a+A2b=0

9.(2006天津理)设集合M={x|()<x<3},N={x|0<xW2},那么“aeM”是“aeN”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2011山东理）对于函数丁=/（%）,xeR,“y=|/（x）|的图象关于y轴对称”是“y=/（x）是奇

函数”的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件

11.（2005北京文、理）“加=；”是“直线（w+2）x+3加y+l=O与直线g—2）x+（加+2）y—3=0相

互垂直”的（）

A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

12.（2012重庆理）已知/（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，贝IJ"/（无）为［0,1］上的增函数”

是“/（%）为［3,4］上的减函数”的（）

（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件

13.（2009山东文、理）已知a,B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“a_L"

是“/〃_L〃”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.（2014上海文、理）设a,力贝I］“a+b>4”是"以>2,且6>2”的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

2»2

15.（2006浙江理）“a>b>0”是“ab<的（）

2

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不允分也不必要条件

16.（2014安徽文）命题“VxeR,|x|+dzO”的否定是（）

A.VXG/?,|X|4-X2<0B.Vxe/?,|x|+x2<0

22

C.3AoeR,|Xo|+