24.1一元二次方程课件冀教版数学九年级上册

第二十四章一元二次方程24.1一元二次方程

一元二次方程的概念1.(2023·石家庄桥西区期中)下列方程中，是一元二次方程的是(

B

)A.4(

x

＋2)＝25B.2

x2＋3

x

－1＝0C.

x

＋

y

＝0D.

＝42.当

m

时，关于

x

的方程(

m

－2)

x2＋

x

－2＝0是一元二次方程.【解析】由一元二次方程的概念，易知

m

－2≠0，解得

m

≠2.B≠2

123456789101112131415161718193.关于

x

的方程

x｜

k－1｜＋5

x

－3＝0是一元二次方程，则

k

的值为

⁠

⁠.【解析】由一元二次方程的概念，易知｜

k

－1｜＝2，解得

k

＝－1或3.－1

或3

12345678910111213141516171819

一元二次方程的一般形式4.一元二次方程4

x2＋1＝6

x

的二次项系数，一次项系数，常数项分别

是(

C

)A.4，1，6B.4，6，1C.4，－6，1D.4，－6，－1【解析】4

x2＋1＝6

x

化为一般形式为4

x2－6

x

＋1＝0.∴一元二次方程4

x2＋1＝6

x

的二次项系数、一次项系数、常数项分别

是4，－6，1.C123456789101112131415161718195.(2023·唐山古冶区期中)一元二次方程(

x

＋3)(

x

－1)＝2

x

－4化为一般

形式是(

D

)A.

x2－1＝0B.

x2－7＝0C.

x2＋4

x

＋1＝0D.

x2＋1＝0【解析】(

x

＋3)(

x

－1)＝2

x

－4.去括号，得

x2＋2

x

－3＝2

x

－4.移项，得

x2＋2

x

－2

x

－3＋4＝0，合并同类项，得

x2＋1＝0.D123456789101112131415161718196.一个关于

x

的一元二次方程，它的二次项系数为3，一次项系数为2，

常数项为－3，则这个一元二次方程是

⁠.7.若一元二次方程2

x2－(

m

＋1)

x

＋1＝

x

(

x

－1)的一次项系数为－2，

则

m

的值为

⁠.【解析】2

x2－(

m

＋1)

x

＋1＝

x

(

x

－1).化为一般形式为

x2－

mx

＋1＝0.∵一次项系数为－2，∴－

m

＝－2，解得

m

＝2.3

x2＋2

x

－3＝0

2

12345678910111213141516171819

一元二次方程的根8.若关于

x

的一元二次方程

x2－2

x

＋

m

＝0有一个根为1，则

m

的值为

(

B

)A.－1B.1C.－3D.3【解析】把

x

＝1代入方程

x2－2

x

＋

m

＝0，得1－2＋

m

＝0，解得

m

＝1.B123456789101112131415161718199.

已知关于

x

的一元二次方程(

a

－1)

x2－2

x

＋｜

a

｜－1＝0有一

个根为

x

＝0，则

a

＝

⁠.【解析】将

x

＝0代入(

a

－1)

x2－2

x

＋｜

a

｜－1＝0，得｜

a

｜－1＝0，

解得

a

＝±1.∵一元二次方程

a

－1≠0，∴

a

≠1.∴

a

＝－1.－1

12345678910111213141516171819

注意题干隐含条件，“一元二次方程”隐含“

a

－1≠0”，不能忘

记这个条件.思路点拨1234567891011121314151617181910.若

a

是方程

x2＋2

x

－1＝0的一个根，则2

a2＋4

a

－2024的值为

(

D

)A.2023B.－2023C.2022D.－2022【解析】∵

a

是方程

x2＋2

x

－1＝0的一个根，∴

a2＋2

a

－1＝0.∴

a2＋2

a

＝1.∴2

a2＋4

a

－2024＝2(

a2＋2

a

)－2024＝2－2024＝－2022.D12345678910111213141516171819

列一元二次方程11.某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出

四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设

花带的宽度为

xm，则可列方程为(

C

)CA.(30－

x

)(20－

x

)＝

×20×30B.30

x

＋2×20

x

＝

×20×30C.(30－2

x

)(20－

x

)＝

×20×30D.(30－2

x

)(20－

x

)＝

×20×301234567891011121314151617181912.某班共有

x

名同学，每名同学都分别给其他同学发了一条消息，这

样一共产生272条消息.(1)列出关于

x

的方程；解：(1)由题意，得

x

(

x

－1)＝272.(2)将方程化为

ax2＋

bx

＋

c

＝0的形式，并指出

a

，

b

，

c

的值.解：(2)

x

(

x

－1)＝272.整理，得

x2－

x

－272＝0.则

a

＝1，

b

＝－1，

c

＝－272.12345678910111213141516171819

13.【教材第36页习题B组第1题改编】关于

x

的方程(

a

－3)

x｜

a－1｜＋2

x

－3＝0是一元二次方程，则

a

的值为

⁠.【解析】∵关于

x

的方程(

a

－3)

x｜

a－1｜＋2

x

－3＝0是一元二次方程，∴

a

－3≠0且｜

a

－1｜＝2，解得

a

＝－1.－1

1234567891011121314151617181914.若关于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)的其中一根为

x

＝2023，则关于

x

的方程

a

(

x

＋2)2＋

bx

＋2

b

＋

c

＝0的根为

⁠.【解析】

a

(

x

＋2)2＋

bx

＋2

b

＋

c

＝0整理，得

a

(

x

＋2)2＋

b

(

x

＋2)＋

c

＝0.∵关于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)的其中一根为

x

＝

2023，∴关于

x

的方程

a

(

x

＋2)2＋

b

(

x

＋2)＋

c

＝0，其中一根为

x

＋2＝

2023，解得

x

＝2021.x

＝2021

1234567891011121314151617181915.已知一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0).(1)如果方程有一个根是1，那么

a

，

b

，

c

之间有什么关系？解：(1)将

x

＝1代入原方程，得

a

×12＋

b

×1＋

c

＝0，即

a

＋

b

＋

c

＝0.(2)如果方程有一个根是－1，那么

a

，

b

，

c

之间有什么关系？解：(2)将

x

＝－1代入原方程，得

a

×(－1)2＋

b

×(－1)＋

c

＝0，即

a

－

b

＋

c

＝0.(3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？解：(3)将

x

＝0代入原方程，得

a

×0＋

b

×0＋

c

＝0，∴

c

＝0.12345678910111213141516171819思路点拨

此题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.解此题的关键

是要掌握一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)中几个特殊值的特殊形

式：当

x

＝1时，

a

＋

b

＋

c

＝0；当

x

＝－1时，

a

－

b

＋

c

＝0；当

x

＝0

时，

c

＝0.1234567891011121314151617181916.根据下列问题，列出关于

x

的方程，并将其化为一元二次方程的一

般形式.(1)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，

求它的两条直角边的长；

12345678910111213141516171819(2)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字

小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数.解：(2)设十位数字为

x

，则个位数字为

x

＋3，百位数字为

x

＋2，根据题意，得9[(

x

＋3)2＋

x2＋(

x

＋2)2]－[100(

x

＋2)＋10

x

＋(

x

＋3)]＝

－20，整理得27

x2－21

x

＋66＝0.1234567891011121314151617181917.一元二次方程

a

(

x2＋1)＋

b

(

x

＋2)＋

c

＝0化为一般式后为6

x2＋10

x

－1＝0，求以

a

，

b

为两条对角线长的菱形的面积.

12345678910111213141516171819

18.

定义：如果关于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)

满足

b

＝

a

＋

c

，那么我们称这个方程为“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是

.(填序号)①

x2－4

x

＋3＝0；②2

x2＋

x

＋3＝0；③2

x2－

x

－3＝0.【解析】①

x2－4

x

＋3＝0.∵

a

＝1，

b

＝－4，

c

＝3，∴

a

＋

c

＝4≠

b

，则方程

x2－4

x

＋3＝0不是“完美方程”.③

12345678910111213141516171819②2

x2＋

x

＋3＝0.∵

a

＝2，

b

＝1，

c

＝3，∴

a

＋

c

＝5≠

b

，则方程2

x2＋

x

＋3＝0不是“完美方程”.③2

x2－

x

－3＝0.∵

a

＝2，

b

＝－