2025届江苏省无锡市锡山区天一实验学校九上数学期末质量检测模拟试题含解析

2025届江苏省无锡市锡山区天一实验学校九上数学期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm2．若反比例函数的图象分布在二、四象限，则关于x的方程的根的情况是()A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋＝0 B．(x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1C．x＝x2 D．ax2＋bx＋c＝04．如图，中，．将绕点顺时针旋转得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（）A． B． C． D．5．要使根式有意义，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠1 C． D．6．已知是实数，则代数式的最小值等于（）A．-2 B．1 C． D．7．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是()A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率8．已知三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从地出发，向地匀速行驶.甲比乙早出发分钟；甲到达地并休息了分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从地以各自原速继续向地行驶.当乙到达地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向地行驶，到达地就停止.若甲、乙间的距离(米)与甲出发的时间(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙提速前的速度分别为米/分、米/分.B．两地相距米C．甲从地到地共用时分钟D．当甲到达地时，乙距地米9．若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为（）A．2 B．1 C．-0.5 D．0.510．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．23 B．32 C．611．对于反比例函数，下列说法错误的是（）A．它的图象分别位于第二、四象限B．它的图象关于成轴对称C．若点，在该函数图像上，则D．的值随值的增大而减小12．如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，小杨沿着有一定坡度的坡面前进了5米，这个坡面的坡度为1:2，此时他与水平地面的垂直距离为____米.14．当a=____时，关于x的方程式为一元二次方程15．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之比为________．16．如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为______．17．如图是小孔成像原理的示意图，点与物体的距离为，与像的距离是，.若物体的高度为，则像的高度是_________.18．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，将直线绕着点顺时针旋转的度数后与该抛物线交于两点（点在点的左侧），点是该抛物线上一点（1）若，求直线的函数表达式（2）若点将线段分成的两部分，求点的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点在轴左侧，过点作直线轴，点是直线上一点，且位于轴左侧，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的坐标20．（8分）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，2019年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2019年12月份猪肉价格比2019年年初上涨了30%，某市民2019年12月3日在某超市购买1千克猪肉花了52元．（1）问：2019年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）某超市将进货价为每千克39元的猪肉，按2019年12月3日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？21．（8分）某日，深圳高级中学（集团）南北校区初三学生参加东校区下午时的交流活动，南校区学生中午乘坐校车出发，沿正北方向行12公里到达北校区，然后南北校区一同前往东校区（等待时间不计）．如图所示，已知东校区在南校区北偏东方向，在北校区北偏东方向．校车行驶状态的平均速度为，途中一共经过30个红绿灯，平均每个红绿灯等待时间为30秒．（1）求北校区到东校区的距离；（2）通过计算，说明南北校区学生能否在前到达东校区．（本题参考数据：，）22．（10分）在平面直角坐标系中，已知，.（1）如图1，求的值.（2）把绕着点顺时针旋转，点、旋转后对应的点分别为、.①当恰好落在的延长线上时，如图2，求出点、的坐标.②若点是的中点，点是线段上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写出线段长的取值范围.23．（10分）如图，在直角坐标系中，，．借助网格，画出线段向右平移个单位长度后的对应线段，若直线平分四边形的面积，请求出实数的值．24．（10分）某景区平面图如图1所示，为边界上的点.已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离.以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.求边界所在抛物线的解析式;如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长.25．（12分）如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点.判断直线与的位置关系，并说明理由；若，求:①的半径，②的长.26．如图，港口位于港口的南偏西方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正东方向处，它沿正北方向航行到达处，侧得灯塔在北偏西方向上.求此时海轮距离港口有多远？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．2、A【分析】反比例函数的图象分布在二、四象限,则k小于0，再根据根的判别式判断根的情况.【详解】∵反比例函数的图象分布在二、四象限∴k＜0则则方程有两个不相等的实数根故答案为：A.【点睛】本题考查了一元二次方程方程根的情况，务必清楚时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根.3、C【详解】A.x2＋＝0，是分式方程，故错误；B.(x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1经过整理后为：3x-6=0，是一元一次方程，故错误；C.x＝x2，是一元二次方程，故正确；D.当a=0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程，故错误，故选C.4、D【分析】根据旋转的性质可得∠B′=∠B=30°，∠BOB′=52°，再由三角形外角的性质即可求得的度数.【详解】∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，∴∠B′=∠B=30°，∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，∴∠BOB′=52°，∵∠A′CO是△B′OC的外角，∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．故选D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解决问题的关键.5、D【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知当x-1≥0时，二次根式有意义．【详解】要使有意义，只需x-1≥0，解得x≥1．故选D．【点睛】本题考查二次根式定义中被开方数的取值范围．二次根式定义中要求被开方数是非负数，经常出现的问题是有的同学误认为是被开方数中的x是非负数，如中x的取值范围写为x≥0，因此学习二次根式时需特别注意．6、C【分析】将代数式配方，然后利用平方的非负性即可求出结论．【详解】解：====∵∴∴代数式的最小值等于故选C．【点睛】此题考查的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解决此题的关键．7、D【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率,所以D选项说法正确,故选D.8、C【分析】设出甲、乙提速前的速度，根据“乙到达Ｂ地追上甲”和“甲、乙同时从Ｂ出发，到相距900米”建立二元一次方程组求出速度即可判断A，然后根据乙到达C的时间求A、C之间的距离可判断B，根据乙到达C时甲距C的距离及此时速度可计算时间判断C，根据乙从C返回A时的速度和甲到达C时乙从C出发的时间即可计算路程判断出D．【详解】A.设甲提速前的速度为米/分，乙提速前的速度为米/分，由图象知，当乙到达B地追上甲时，有：，化简得：，当甲、乙同时从B地出发，甲、乙间的距离为900米时，有：，化简得：，解方程组：，得：，故甲提速前的速度为300米/分，乙提速前的速度为400米/分，故选项A正确；B.由图象知，甲出发23分钟后，乙到达C地，则A、C两地相距为：（米），故选项B正确；C.由图象知，乙到达C地时，甲距C地900米，这时，甲提速为（米/分），则甲到达C地还需要时间为：（分钟），所以，甲从A地到C地共用时为：（分钟），故选项C错误；D.由题意知，乙从C返回A时，速度为：（米/分钟），当甲到达C地时，乙从C出发了2.25分钟，此时，乙距A地距离为：（米），故选项D正确．故选：C．【点睛】本题为方程与函数图象的综合应用，正确分析函数图象，明确特殊点的意义是解题的关键．9、D【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程得到，然后求出a即可．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，∴，∴；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．10、D【分析】首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．【详解】在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠CDA．∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，∴∠B=∠DAC．∴△ABD∽△CAD．∴DB：AD=AD：DC．∵BD：CD=3：2，∴设BD=3x，CD=2x．∴AD=∴tanB=故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．11、D【分析】根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可.【详解】解：反比例函数，，图像在二、四象限，故A正确.反比例函数，当时，图像关于对称；当时，图像关于对称，故B正确当，的值随值的增大而增大，，则，故C正确在第二象限或者第四象限，的值随值的增大而增大，故D错误故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质.12、D【分析】观察图形可知阴影部分小长方形的长为，再根据去除阴影部分的面积为950，列一元二次方程求解即可．【详解】解：由图可得出，整理，得，解得，（不合题意，舍去）．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】设BC＝x，则AB＝2x，再根据勾股定理得到x2+（2x）2=52，再方程的解即可．【详解】如图所示：设BC＝x，则AB＝2x，依题意得：x2+（2x）2=52解得x=或x=-（舍去）．故答案为：．【点睛】考查了解直角三角形，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．14、≠±1【分析】方程是一元二次方程的条件是二次项次数不等于0，据此即可求得a的范围．【详解】根据题意得：a1-4≠0，解得：a≠±1．故答案是：≠±1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．15、4：1【解析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=4：1．故答案为：4：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．16、【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出．【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，点A、B分别在反比例函数，的图象上，，，，，，∽，，．故答案为．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．17、7【分析】根据三角形相似对应线段成比例即可得出答案.【详解】作OE⊥AB与点E，OF⊥CD于点F根据题意可得：△ABO∽△DCO，OE=30cm，OF=14cm∴即解得：CD=7cm故答案为7.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，注意两三角形相似不仅对应边成比例，对应中线和对应高线也成比例，周长同样成比例，均等于相似比.18、（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是1cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）或；（3），，，【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）分和两种情况根据点A、点B在直线y=x+2上列式求解即可；（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质列式求解即可.【详解】（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．

∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即M（-2，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（-2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，

解得，．

故直线AB的解析式为y=x+2；（2）①设（a＞0）∵点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，∴，∴，∴解得，，（舍去）②设（a＞0）∵点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，∴，∴，∴解得：，（舍去）综上或（3），，①此时，关于轴对称，为等腰直角三角形②此时满足，左侧还有也满足，，，四点共圆，易得圆心为中点设，∵且不与重合，为正三角形，过作，则，∵∴∴解得，∴∵∴∴解得，∴综上所述，满足条件的点M的坐标为：，，，.【点睛】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，方程思想，难度比较大．另外，解答（2）、（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．20、（3）今年年初猪肉的价格为每千克3元；（3）猪肉的售价应该下降3元．【分析】（3）设3039年年初猪肉的价格为每千克x元，根据题意列出方程，解方程即可；（3）根据题意利用利润=每千克的利润×数量列出方程，解方程即可解决问题．【详解】解：（3）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：（3+30%）x＝53，解得：x＝3．答：今年年初猪肉的价格为每千克3元．（3）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（300+30y）千克，依题意，得：（53﹣39﹣y）（300+30y）＝3330，整理，得：y3﹣3y+3＝0，解得：y3＝3，y3＝3．∵让顾客得到实惠，∴y＝3．答：猪肉的售价应该下降3元．【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．21、（1）；（2）能.【分析】（1）过点作于点，然后在两个直角三角形中通过三角函数分别计算出AE、AC即可；（2）算出总路程求出汽车行驶的时间，加上等红绿灯的时间即为总时间，即可作出判断.【详解】解：（1）过点作于点.依题意有：，，，则，∵，∴，∴（2）总用时为：分钟分钟，∴能规定时间前到达.【点睛】本题考查了三角函数的应用，把非直角三角形的问题通过作辅助线化为直角三角形的问题是解题关键.22、（1）;（2）①，②;（3）【解析】（1）作AH⊥OB，根据正弦的定义即可求解；（2）作MC⊥OB，先求出直线AB解析式，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义求出M点坐标，根据MN∥OB，求出N点坐标；（3）由于点C是定点，点P随△ABO旋转时的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆，故根据点和圆的位置关系可知，当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长．又因为BP的长因点D运动而改变，可先求BP长度的范围．由垂线段最短可知，当BP垂直MN时，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以点P与M重合时，BP=BM最长，代入CP=BP+BC求CP的最大值．【详解】（1）作AH⊥OB，∵，.∴H（3,5）∴AH=3,AH=∴==（2）由（1）得A（3,4），又求得直线AB的解析式为：y=∵旋转，∴MB=OB=6,作MC⊥OB，∵AO=BO，∴∠AOB=∠ABO∴MC=MBsin∠ABO=6×=即M点的纵坐标为，代入直线AB得x=∴，∵∠NMB=∠AOB=∠ABO∴MN∥OB，又MN=AB=5，则+5=∴（3）连接BP∵点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN∴点P为线段MN上的动点∴点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆∵C在OB上,且CB=OB=3∴当点P在线段OB上时,CP=BP−BC最短;当点P在线段OB延长线上时,CP=BP+BC最长如图3，当BP⊥MN时，BP最短∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5∴MN⋅BP=OB⋅yA∴BP===∴CP最小值=−3=当点P与M重合时，BP最大，BP=BM=OB=6∴CP最大值=6+3=9∴线段CP长的取值范围为.【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运