浙江省绍兴市皋埠镇中学2025届九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

浙江省绍兴市皋埠镇中学2025届九年级数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．把二次函数化成的形式是下列中的()A． B．C． D．2．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A． B． C． D．3．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．如图，⊙是的外接圆，，则的度数为()A．60° B．65° C．70° D．75°6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（）A． B．C． D．7．二次函数的图象如右图所示，若，，则（）A．， B．， C．， D．，8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝3159．如图，在RtΔABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值（）A． B． C． D．10．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10

次，若共有

x

人参加聚会，则根据题意，可列方程（）A． B． C． D．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条 B．4条C．5条 D．6条12．下列事件属于必然事件的是（）A．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球B．抛掷一枚硬币2次都是正面朝上C．在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为__________秒．15．如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm．16．如图所示，点为平分线上一点，以点为顶点的两边分别与射线，相交于点，，如果在绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的关联角.如果，是的关联角，那么的度数为______.17．如图，⊙O与直线相离，圆心到直线的距离，，将直线绕点逆时针旋转后得到的直线刚好与⊙O相切于点，则⊙O的半径=．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）20．（8分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（-2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO，若．（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求的面积．（3）在第一象限内，求当一次函数值大于反比例函数值时的反比例函数值取值范围．21．（8分）江华瑶族自治县香草源景区2016年旅游收入500万元，由于政府的重视和开发，近两年旅游收入逐年递增，到今年2018年收入已达720万元．（1）求这两年香草源旅游收入的年平均增长率．（2）如果香草源旅游景区的收入一直保持这样的平均年增长率，从2018年算起，请直接写出n年后的收入表达式．22．（10分）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、.（1）求的长.（2）若点是线段的中点，求的值.（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得?23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值＞反比例函数的值的x的取值范围．24．（10分）二次函数图象过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，求二次函数的表达式.25．（12分）如图，在菱形ABCD中，作于E，BF⊥CD于F，求证：．26．如图，在中，，点是中点.连接.作，垂足为，的外接圆交于点，连接.（1）求证：；（2）过点作圆的切线，交于点.若，求的值；（3）在（2）的条件下，当时，求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】先提取二次项系数，然后再进行配方即可．【详解】．故选：C．【点睛】考查了将一元二次函数化成y=a（x-h）2+k的形式，解题关键是正确配方．2、C【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=3.5m，同理可证出AF=EF=3.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=3.5（m），同理可证：AF=EF=3.5（m）∴AB=BG+GF+AF=3.5×3=10.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4=42（m），故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．3、B【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】解∵1．又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．故选B．【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．4、C【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得,推出，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【详解】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴，∴，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5、C【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】连接OB，∵OC＝OB，∠BCO＝20，∴∠OBC＝20，∴∠BOC＝180−20−20＝140，∴∠A＝140×＝70，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．6、D【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，根据题意可列方程为．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．7、A【分析】由于当x=2.5时，，再根据对称轴得出b=-2a，即可得出5a+4c＞0，因此可以判断M的符号；由于当x=1时，y=a+b+c＞0，因此可以判断N的符号；【详解】解：∵当x=2.5时，y=，∴25a+10b+4c＞0，，∴b=-2a，

∴25a-20a+4c＞0，即5a+4c＞0，

∴M＞0，

∵当x=1时，y=a+b+c＞0，

∴N＞0，

故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8、B【解析】试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为x，可列方程为560（1-x）²=315.故选B9、B【分析】由勾股定理可求得AB的长度，再根据锐角三角函数的定义式求得sin∠A的值．【详解】∵AC=6，BC=8，∴AB==，∴sin∠A=．故选B．【点睛】本题考查勾股定理和锐角三角函数的综合应用，根据求得的直角三角形的边长利用锐角三角函数的定义求值是解题关键．10、C【分析】如果人参加了这次聚会，则每个人需握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手次.【详解】设人参加了这次聚会，则每个人需握手次，依题意，可列方程.故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.11、D【详解】解：∵在矩形ABCD中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO=×16=1．∵AO=BO，∠AOB=60°，∴AB=AO=1，∴CD=AB=1，∴共有6条线段为1．故选D．12、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，据此逐一判断即可.【详解】A.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意，B.抛掷一枚硬币2次都是正面朝上，可能朝上，也可能朝下，是随机事件，不符合题意，C.在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水，是必然事件，符合题意．D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，可能是正品，也可能是次品，是随机事件，不符合题意，故选：C.【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．解：如图所示，在RtABC中，tan∠ACB=，∴BC=，同理：BD=，∵两次测量的影长相差8米，∴=8，∴x=4，故答案为4．“点睛”本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．14、3【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．【详解】解：设运动时间为t秒，如图，则CP=12-3t，BQ=t，四边形PQBC为平行四边形12-3t=t，解得：t=3，故答案为【点睛】本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大．15、1.1【分析】证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出CD即可．【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=1cm，∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴，即，∴CD=1.1，即对应位置的E的高CD为1.1cm．故答案为1.1．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．16、【分析】由已知条件得到，结合∠AOP=∠BOP，可判定△AOP∽△POB，再根据相似三角形的性质得到∠OPA=∠OBP，利用三角形内角和180°与等量代换即可求出∠APB的度数.【详解】∵∴∵OP平分∠MON∴∠AOP=∠BOP∴△AOP∽△POB∴∠OPA=∠OBP在△OBP中，∠BOP=∠MON=25°∴∠OBP+∠OPB=∴∠OPA+∠OPB=155°即∠APB=155°故答案为：155°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.17、1．【解析】试题分析：∵OB⊥AB，OB=，OA=4，∴在直角△ABO中，sin∠OAB=，则∠OAB=60°；又∵∠CAB=30°，∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°，∵直线刚好与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°，∴在直角△AOC中，OC=OA=1．故答案是1．考点：①解直角三角形；②切线的性质；③含30°角直角三角形的性质．18、22015π【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可知为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．【详解】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…，∵P1是⊙O1上的点，∴P1O1＝OO1，∵直线l解析式为y＝x，∴∠P1OO1＝45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，同理，PnOn垂直于x轴，∴为圆的周长，∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…，∴OOn＝，∴，∴，故答案为：22015π．【点睛】本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定与性质3.三角函数.20、（1）反比例函数的解析式为，直线AB的解析式为；（2）2；（3）．【分析】（1）先根据可求出点B的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）先根据直线AB的解析式求出点C的坐标，从而可得OC的长，再根据点B的坐标可得OC边上的高，然后根据三角形的面积公式即可；（3）结合点B的坐标，利用函数图象法即可得．【详解】（1），且点B位于第一象限，，的OA边上的高为，，解得，，设反比例函数的解析式为，将点代入得：，解得，则反比例函数的解析式为，设直线AB的解析式为，将点代入得：，解得，则直线AB的解析式为；（2）对于，当时，，即点C的坐标为，则，，的OC边上的高为2，则的面积为；（3）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，则由函数图象得：此时反比例函数值取值范围为．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．21、（1）这两年香草源旅游收入的年平均增长率为20﹪；（2）【分析】（1）根据题意设这两年香草源旅游收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）由题意根据求出的增长率，以2018年收入为初始年求出n年后该县旅游收入即可．【详解】解：（1）设这两年香草源旅游收入的年平均增长率为x，依题意得，解得=20﹪；（舍去）．答.这两年香草源旅游收入的年平均增长率为20﹪．（2）由香草源旅游景区的收入一直保持这样的平均年增长率以及2018年收入为720万元可得，香草源旅游景区n年后的收入为：=．答：n年后的收入表达式是.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，弄清题意并根据题意找到等量关系列方程求解是解答本题的关键．22、（1）；（2）；（3）当或时，满足条件的点只有一个.【解析】（1）由角平分线定义得，在中，根据锐角三角函数正切定义即可求得长.（2）由题意易求得，，由全等三角形判定得，根据全等三角形性质得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质得，将代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当与相切时，结合题意画出图形，过点作，并延长与交于点，连结，，设半径为，由相似三角形的判定和性质即可求得长；②当经过点时，结合题意画出图形，过点作，设半径为，在中，根据勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性质即可求得长；③当经过点时，结合题意画出图形，此时点与点重合，且恰好在点处，由此可得长.【详解】（1）解：∵平分，，∴．在中，（2）解：易得，，．由，得，．∵，∴，∴．由，得，∴∴（3）解：∵，过，，作外接圆，圆心为，∴是顶角为120°的等腰三角形.①当与相切时，如图1，过点作，并延长与交于点，连结，设的半径则，，解得．∴，．易知，可得，则∴．②当经过点时，如图2，过点作，垂足为．设的半径，则．在中，，解得，∴易知，可得③当经过点时，如图3，此时点与点重合，且恰好在点处，可得．综上所述，当或时，满足条件的点只有一个.【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．23