2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练56离散型随机变量的数字特征

课时规范练56离散型随机变量的数字特征基础巩固组1.设随机变量X的分布列如下:X0123P0.1α0.30.4则方差D(X)=()A.0 B.1C.2 D.32.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形态完全相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为()A.13 B.C.2 D.83.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,则D(3Y+1)=(A.2 B.3C.6 D.74.随机变量ξ的分布列如下表,则p在(0,0.5)上增大时,D(ξ)的变更状况是()ξ1234Pp0.5-p0.5-ppA.始终增大 B.始终减小C.先增大后减小 D.先减小后增大5.(多选)袋内有形态、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则下列说法正确的是 ()A.抽取2次后停止取球的概率为3B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为9C.取球次数ξ的期望为2D.取球次数ξ的方差为96.某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23,假如甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(A.3 B.83C.2 D.57.已知5台机器中有2台存在故障,现须要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元,则所需检测费的均值为()A.3200 B.3400C.3500 D.36008.随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)=.

9.已知随机变量X听从二项分布B(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,则p=,P(X=1)=.

综合提升组10.(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a2+a3+a4+a5,则下列说法正确的是(A.X听从二项分布 B.P(X=1)=881C.X的期望E(X)=83D.X的方差D(X)=811.一个袋中放有大小、形态均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则下列式子正确的是()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)12.(多选)已知随机变量ξ的分布列是ξ-101P11p随机变量η的分布列是η123P11p则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是()A.E(ξ)=E(η) B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大 D.D(η)先增大后减小13.如表是随机变量ξ0<a<12的分布列,E(ξ)=,D(ξ012Pa1-2aa创新应用组14.已知随机变量X,Y的分布列如下表所示,其中a,b∈(0,1).X-11Pa1-aY-11Pb1-b若D(XY)=1,则()A.E(X)·E(Y)>0 B.E(X)·E(Y)<0C.D(X)+D(Y)>1 D.D(X)+D(Y)<115.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司送餐员的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望E(X);②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,假如仅从日平均工资的角度考虑,请利用所学的统计学学问为小王作出选择,并说明理由.参考答案课时规范练56离散型随机变量的数字特征1.Ba=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故选B.2.D因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形态完全相同的小球,从中任取2个,所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3,所以P(X=2)=1C32=13,P(X=3)=C21C113.C∵随机变量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得p=13,p=53舍去,∴D(Y)=3×13×23=23,∴D(3Y+4.A由题意可得E(ξ)=1×p+2×(0.5-p)+3×(0.5-p)+4×p=2.5,D(ξ)=(1-2.5)2×p+(2-2.5)2×(0.5-p)+(3-2.5)2×(0.5-p)+(4-2.5)2×p=4p+14,则D(ξ)在(0,0.5)上单调递增,故p在(0,0.5)上增大时,D(ξ)的变更状况是始终增大故选A.5.BD设取球次数为ξ,可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的期望为6.B在一轮投篮中,甲通过的概率为P=2×13×23+23×23=89,未通过的概率为197.C设检测的机器的台数为x,则x的全部可能取值为2,3,4.P(x=2)=A22A52=110,P(x=3)=A21C31A22+A33A53=310,P(x=8.1设P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8,可得出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)2×0.2+(x-0.2)2×(0.8-x)+(x-1.2)2×x=0.4,解得x=0.2,x=1.2舍去.因此,E(X)=0.2+0.8=1.9.132562187因为随机变量X听从二项分布B(n,p),若E(X)=3,D则np=3,np(1-p)=2,解得P(X=1)=C10.ABC由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0或1,且每个数位上的数字在填时互不影响,故A中后4位的全部结果有4类:①后4个数位上都出现0,X=0,记其概率为P(X=0)=134=181;②后4个数位只出现1个1,X=1,记其概率为P(X=1)=C4123133=881;③后4位数位出现2个1,X=2,记其概率为P(X=2)=C42232132=2481;④后4个数位上出现3个1,记其概率为P(X=3)=C4323313=3281;⑤后4个数位都出现1,X=4,记其概率为P(X=4)=∵X~B4,23,∴X的方差D(X)=4×23×11.Bξ1可能的取值为0,1,2;ξ2可能的取值为0,1,P(ξ1=0)=49,P(ξ1=2)=19,P(ξ1=1)=1-49-19=49,故E(ξ1)=23,D(ξ1)=0-232×49+1-232×49+2-232×19=49.P(ξ2=0)=2×13×2=13,P(ξ2=1)=2×1×23×2=23,故E(ξ2)=23,D(ξ2)=0-212.BC对于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D(ξ)=D(η),故B正确;对于C,∵E(ξ)=-12+12p,∴当p在(0,1)内增大时,E(ξ)增大,故C正确;对于D,∵E(η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D(η)=-12-p22×12+12-p221-13.1(0,4)由题意得,E(ξ)=0·a+1-2a+2a=1;E(ξ4)=04·a+14·(1-2a)+24·a=1+14a,E(ξ2)=02·a+12·(1-2a)+22·a=1+2a,则D(ξ2)=E(ξ4)-[E(ξ2)]2=1+14a-(1+2a)2=-4a2+10a,a∈0令f(a)=-4a2+10a,a∈0,12,则f(a)在a∈0,12递增,得f(a)∈(0,4),故14.C由分布列知,E(X)=-1×a+1×(1-a)=1-2a,E(Y)=-1×b+1×(1-b)=1-2b,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=a+(1-a)-(1-2a)2=4a(1-a),D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=b+(1-b)-(1-2b)2=4b(1-b),∵D(X)=∑[Xi-E(X)]2Pi=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2,∴D(XY)=E[XY-E(XY)]2=E[X2Y2-2XYE(XY)+E2(XY)]=E(X)2E(Y)2-2E2(X)E2(Y)+E2(X)E2(Y)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-[E(X)]2[E(Y)]2=1-(1-2a)·(1-2b)=1,即-(1-2a)(1-2b)=0,∴1-2a=1-2b=0,即a=b=12,所以E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=E(X)E(Y)=0,D(X)+D(Y)=2.15.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事务M,则P(M)=C(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a,当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254.所以X的全部可能取值