专题03 新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）

专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星1．规定一种新运算．（1）；（2）若，则的化简结果为．【答案】【分析】本题考查了新定义的计算，解题关键是能熟练运用新定义中的计算规律结合实数的运算法则求解．（1）根据新定义运算法则即可求解；（2）根据新定义运算法则化简即可求解．【详解】解：（1）原式．（2）由题意得：．2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B，令，若四位数M的千位数为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，如果为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，，所以4是完全平方数），那么M的最小值为．【答案】；1122．【分析】根据题意得出A、B的值，代入计算即可解答；由题意可知，，，代入计算得到，根据为完全平方数且取M的最小值，可得，进而求出的值，即可解答．本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据间位等和数的定义正确表示出A、B，再结合完全平方数解答即可．【详解】解：，根据题意，，，，；由题意得，，，，为完全平方数，且M的值最小，，且时，可使M的最小，，，，四位数M的各个数位的数字均不为零，当，时，可使M的最小，的最小值是1122．故答案为：；1122．3．若表示大于的最小整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写所有正确结论的序号）；的最小值是；的最大值是；成立．【答案】【分析】此题考查了实数的运算，利用题中的新定义结合各项进行判断即可得出答案，仔细审题，理解表示大于的最小整数是解题的关键．【详解】解：，该选项正确；，该选项错误；，即最大值为，该选项错误；不一成立，该选项错误；故答案为：．4．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：的值；(3)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求相异数y．【答案】(1)51(2)11(3)相异数y是35【分析】本题考查了新定义整数的整除问题，根据定义计算是解题的关键．（1）先确定各数位上的数字，不同的才是“相异数”．（2）根据的定义计算即可．（3）用幂乘的方式表示相异数，再根据的定义计算即可．【详解】（1）∵40中有数字0，不符合定义，不是“相异数”，51中十位数字是5，个位数字是1，不同，是“相异数”，77中，十位数字和个位数字都是7，相同，不符合题意，故不是“相异数”．故答案为：51．（2）根据题意，得，，故．（3）由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且得，，解得，∴，∴相异数y是35．5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算：…(1)观察，归纳“※”运算法则：两数进行“※”运算时，同号，异号，再把；特别地，0与任何数进行“※”运算，或任何数与0进行“※”运算，结果为．(2)计算：；(3)已知，，，试判断A与B大小关系？并说明理由．【答案】(1)得正，得负，绝对值相加，它本身的绝对值(2)(3)，理由见解析【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确归纳定义的运算法则是解题的关键．(1)从运算符号，运算因数的符号，运算结果的符号，运算结果与运算因数的关系，特别是绝对值的应用，是解题的关键．(2)根据定义，先计算括号里的，依次计算即可．(3)先根据定义化简，后作差比较即可．【详解】（1）仔细观察，阅读材料，得同号得正，异号得负，再把绝对值相加；特别地，0与任何数进行“※”运算，或任何数与0进行“※”运算，结果为本身的绝对值．故答案为：得正，得负，绝对值相加，它本身的绝对值．（2）．（3）∵，∴，∴，，∵∴．6．规定一种运算法则：.例如：.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】本题考查了实数的新定义计算，正确理解新定义运算是解题的关键．(1)根据新定义法则计算即可．(2)根据新定义法则，列出方程求得t，再应用定义计算即可．【详解】（1）．（2）依题意得：，解得：，∴.7．定义一种新运算：，例如：．若，求x的值．【答案】【分析】根据新运算的运算法则可得，由此可得方程，解此一元一次方程即可求得x的值．本题主要考查了定义新运算和解一元一次方程，解题的关键是读懂新运算的法则．【详解】根据题意可知，，∵，所以，去分母，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．8．现定义运算“*”，满足：．(1)求的值．(2)先化简：，再求出当，时的值．【答案】(1)(2)【分析】本题以新定义的运算规则为背景，考查了整式的化简求值及有理数的运算．（1）利用新运算的定义即可求解；（2）根据新定义的运算可得，化简后，再代值计算即可．【详解】（1）由题意得．（2）．当，时，原式．9．阅读：定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①；②（﹣4）；③；④；⑤；⑥．问题：(1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则：两数进行运算时，；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得．(2)【理解运用】计算：；【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值(2)【分析】（1）本题考查新运算的计算，根据题意得到新运算的规律直接求解即可得到答案；（2）本题考查新运算的计算，根据（1）的规律代入求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，新运算的规则是：同号得正，异号得负，并把绝对值相加，0与任何数的新运算都得这个数的绝对值，故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）解：由（1）得，原式．10．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“差积连续有理数对”，记为，如数对，，都是“差积连续有理数对”．(1)判断数对是否为“差积连续有理数对”，并说明理由；(2)若是“差积连续有理数对”，则当时，是“差积连续有理数对”吗？请说明理由．【答案】(1)数对是“差积连续有理数对”，理由见解析(2)数对不是“差积连续有理数对”，理由见解析【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答，需要较好的运算能力．（1）根据定义使等式成立的一对有理数、为“差积连续有理数对”，代入即可．（2）首先根据条件算出，再根据定义算出左边和右边，让他们相等，得出，，和已知产生矛盾，所以不成立．【详解】（1）解：是，理由如下：，，满足，数对是“差积连续有理数对”；（2）解：不是，理由如下：是“差积连续有理数对”，，即，，，若，则，，不是“差积连续有理数对”．11．已知，为实数，现规定一种新运算※，满足．(1)求的值；(2)任意选择两个实数，，分别计算和，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？(3)对于实数、、，这种运算※是否满足结合律，请通过计算判断．【答案】(1)(2)此运算满足交换律(3)这种运算※不满足结合律【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义的运算法则．（1）根据新定义的运算法则即可求出答案；（2）选择两个实数分别运算，比较其结果，即可判断；（3）分步计算求出和的值，再做出判断即可．【详解】（1）解：；（2）此运算满足交换律，，，，，此运算满足交换律；（3）这种运算※不满足结合律，、、，，，这种运算※不满足结合律．12．如果一个两位数的个位数字和十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位是为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和，和与的商，所以．根据以上定义，回答下列问题：(1)_________．(2)若一个“跟斗数”“”的十位数字为，个位数字为，且．求“跟斗数”的值．(3)若，都是“跟斗数”，且，则是否为定值？若是，写出该值并用所学代数式知识说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，定值为；理由见解析．【分析】（）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出的值；（）根据题意，可以得到关于的方程，从而可以求得的值，然后即可得到的值；（）根据题意，可以表示出，然后即可计算出的值；本题考查了整式的混合运算，新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：由题意得，，整理得，，解得，∴，∴；（3）解：是定值，定值为．理由：∵，都是“跟斗数”，且，设，则，∴，，，．13．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”．记作，读作“的圈4次方”．(1)直接写出计算结果：__________，__________．(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈次方等于__________．(3)计算．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查新定义计算，有理数的混合运算．（1）根据新定义计算即可求解；（2）归纳总结得到规律即可解答；（3）利用得出的结论计算即可解答．【详解】（1），．故答案为：，（2）故答案为：（3）∵∴．14．对于任意实数a、b、c，定义关于“”的一种运算如下：．如．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查定义新运算，整式加减中的化简求值，理解并掌握新运算的法则，是解题的关键．（1）根据定义新运算的法则，计算即可；（2）根据定义新运算的法则，得到，整体代入到化简后的整式中求值即可．【详解】（1）解：；（2）；．15．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．解决问题：（1）下列各数中，“完美数”有（填序号）．①29；②48；③13；④28．探究问题：（2）若可配方成（，为常数），则的值；（3）已知实数，满足，求的最小值．【答案】（1）①③；（2）；（3）的最小值为【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算：（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）利用配方法和非负数的性质求得最小值；仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键．【详解】解：（1）∵，∴29是“完美数”，∵，∴13是“完美数”，故答案为：①③；（2）∵，又∵，∴，，∴，故答案为：；（3）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为．16．小明是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念，他规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，小明把记作记作．请你根据小明的规定解决下列问题：(1)_______，_______．(2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是_______（填序号）．①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有．(3)计算：．【答案】(1)8；(2)③(3)【分析】本题考查有理数的除法，是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．（1）根据题意计算即可；（2）①要考虑为奇数和偶数的两种情况；②分别计算和的结果进行比较即可；③正确④为偶数，偶数个相除，结果应为正．（3）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来，再计算即可．【详解】（1）解：，；（2）解：①对于任何正整数，当为偶数时，有，为奇数时，，故①错误；②；，，故②错误；③，故③正确；④对于任何正整数，都有，而不是，故④错误；故答案为③．（3）解：．17．阅读材料：我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：；；则称数对，是“差商等数对”．根据上述材料，解决下列问题：(1)下列数对中，“差商等数对”是_________（填序号）；①②③；(2)如果是“差商等数对”，请求出的值；(3)在（2）的条件下，先化简再求值：．【答案】(1)①③(2)(3)，【分析】本题主要考查了新定义下，整式的化简求值，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键．（1）分别计算出各数对中两个实数的差和这两个实数的商即可得到答案；（2）根据“差商等数对”的定义建立方程，解方程即可得到答案；（3）先去括号，然后合并同类项化简，再代入进行求解即可．【详解】（1）解：①，∴，∴是“差商等数对”；②，∴不是“差商等数对”；③，∴，∴是“差商等数对”，故答案为：①③；（2）解：∵是“差商等数对”，∴，解得；（3）解：，当时，原式18．定义一种新运算：．(1)计算：；(2)若，求x的值；(3)化简：，若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【答案】(1)(2)2(3)【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程，（1）根据新定义运算法则做有理数的计算即可；（2）根据新定义运算法则进行去括号、合并同类项和系数化为1即可；（3）根据新定义运算法则进行去括号和合并同类项，结合题意得即可解得答案；【详解】（1）解：∵，∴；（2）由题意得：，，，；（3）∵，∴，∵化简后代数式的值与x的取值无关，∴，∴．19．定义运算．观察下列运算：，，，，，，，．(1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号两数运算_______，异号两数运算_______．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数．(2)计算：_______，______．(3)若，，求的值．【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值(2)35，(3)的值为【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，仔细观察题目，总结出运算法则是解题的关键．（1）观察题目所给式子，总结其运算法则即可；（2）根据（1）中得出的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）中得出的运算法则得出a和同号，且，b和1异号，且，求出a和b的值即可解答．【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加；异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；（2）解：，，故答案为：35，；（3）解：∵，∴a和同号，且，∴；∵，∴b和1异号，且，∴，∴原式．20．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，．(1)若，求x的取值范围；(2)已知关于x的方程的解满足，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根据新定义列出关于x的不等式，正确的解一元一次不等式、一元一次方程是解题的关键．（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可；（2）先解关于x的方程得出，再将代入由列出的关于a的不等式中，计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得，；（2）解：，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，，∵，关于x的方程的解满足，∴，解得，．21．已知为有理数，如果规定一种运算“@”，即，试根据这种运算完成下列各题．(1)求；(2)任意选择两个有理数，分别计算和，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？(3)求【答案】(1)14(2),交换律(3)【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可；（2）根据定义的新运算分别计算后比较结果即可；（3）根据定义的运算列式计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：，，则，此运算满足交换律；（3）解：原式．【点睛】本题考查实数的运算，根据定义的新运算列得正确的算式是解题的关键．22．用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，计算：的值；【答案】【分析】根据题意列出算式，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查新定义，有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．二、新定义下的实数运算，压轴小题20题，难度五星23．定义一种对正整数的“F”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示，若，则第201次“F”的运算的结果是（

）A．1 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】据提供的“F”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行F①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F”运算，得到的结果为8．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：第一次：，第二次：，，即，第三次：，第四次：，即，计算结果为1，第五次：，第六次：，，即，计算结果为1，此后计算结果为8和1循环，∵201是奇数，∴第201次运算结果是8．故选：D．24．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．【详解】解：，，解得：，故①正确；若，，则，故②正确；，解得：，故③错误；，当时，有最小值，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．25．一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“凤鸣数”，此时，规定例如，中，，是“凤鸣数”，：又如，中，，不是“凤鸣数”，（1）；（2）对于一个“凤鸣数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“凤鸣数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“凤鸣数”为．【答案】593168，8514【分析】（1）根据题干仿写即可得出答案；（2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，，根据“凤鸣数”的定义可得，结合为9的倍数，且均不为0，找到符合条件的、的值，即可获得答案．【详解】解：（1）中，，是“凤鸣数”，；故答案为：59；（2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，，∴，∵为9的倍数，且均不为0，又∵，在中选择，则当时，满足条件，此时为3168；当时，满足条件，此时为7623（N为偶数，故舍去）；当时，满足条件，此时为8514．综上所述，为3168，8514．故答案为：3168，8514．【点睛】本题主要考查了新定义“凤鸣数”、整式运算等知识，理解题目中“凤鸣数”的定义是解题关键．26．任意一个正整数都可以分解成：（且均为正整数），在的所有这种分解中，两数的乘积最大，称是的最佳分解，．例如：可以分解成，，，是最佳分解，．若两位正整数（，，均为整数），正整数的十位数字等于的十位数字与个位数字之和，的个位数字等于的十位数字与个位数字之差，若，且能被整除，则两位正整数．【答案】【分析】先把用含的式子表示出来，然后根据列出和的关系式，再根据最佳分解的定义和能被整除找出满足条件的即可确定的值．【详解】解：，若是三位数，设的百位上数字是，，此时假设，，都为最小值，，与题意不符，故不是三位数，只能是两位数．，，，，，，均为整数，，或，，或，∵两个正整数的和一定时，当这两个正整数的差越小时，这两个数的乘积越大，是的最佳分解，是的最佳分解，或，能被整除，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义的最佳分解的概念，关键是要读懂最佳分解的含义．27．若一个四位自然数（其中m，n，p，q均为整数，）满足，则称M为“等和数”，并规定．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，且，）是“等和数”，且被7除余数为1，则满足条件的的最小值为．【答案】【分析】根据“等和数”的定义求解即可，分,两种情况，结合题意，分别讨论求得的最小值，即可．【详解】解：∵，且被7除余数为1，∴被7除余数为1，当时，的千位是，百位是，十位是，个位是，∵是“等和数”，∴，∴，∴，∵被7除余数为1，∴被7除余数为1，∵，即，∴或或或，∴或或或，又∵c为整数，∴，此时，∴当最小时，有最小值，∴当时，，即的最小值；当时，的千位是，百位是，十位是，个位是，∵是“等和数”，∴，∴，，∴，∵被7除余数为1，∴被7除余数为1，∵，∴，∴或或或或，∴或或或或，又∵c为整数，∴或，当时，此时，∴当最小时，有最小值，∴当时，，即有最小值；当时，此时，∴当最小时，有最小值，∴当时，，即有最小值；综上所述，满足条件的的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解“等和数”的定义，并根据整除求出的值．28．阅读材料：一个四位自然数（为数位上的数字且均不为0），把这个四位数分成两个两位数和，若，则称该数为“60”数．例如：四位数4218，把它分成两个两位数42和18，因为，所以4218为“60”数．四位数5324，把它分成两个两位数53和24，因为，所以5324不是“60”数．根据材料，最小的“60”数是．已知是一个“60”数，去掉它的千位数字后得到一个三位数，去掉它的个位数字后得到一个三位数，若与的和能被11整除，则满足条件的的最大值为．【答案】11494317【分析】本题考查了新定义，根据题目所给“60数”的定义，即可得出最小的“60”数；根据“60数”的定义得出，整理得，根据两个两位数相加为整十数，则个位相加必为10得出，进而得出，则a最大为4，此时，求出，根据与的和能被11整除，得出能被11整除，则，即可求出d的值，进而得出b的值．【详解】解：∵为数位上的数字且均不为0，∴最小的“60”数是1149，，∵是一个“60”数，∴，∴，，∴，∴，整理得：，则a最大为4，此时，∵，，∴，∵与的和能被11整除，∴能被11整除，∵，∴，∴，∴，∴，∴满足条件的的最大值为4317．故答案为：1149，4317．29．对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为．若，，（，，m，n均为自然数）．当时，则的值为．【答案】或或【分析】结合题意求得，代入整理得，结合题意找到符合条件的解即可．【详解】解：，，，，，，化简整理得：，，，m，n均为自然数，故满足条件的解有：，此时；，此时；，此时；综上所述，故答案为：或或．【点睛】本题考查了新定义下实数的运算，二元一次方程的解；解题的关键是理解题意正确求得并正确计算．30．对于一个三位数m，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的数为“快乐数”．将“快乐数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为．例如，．记，则，若“快乐数”m满足百位上的数字是个位上数字的2倍，且能被7整除，求满足条件的“快乐数”m的最大值为．【答案】9894【分析】根据运算的定义进行计算可得的值；设任意“快乐数”，且，，，，，，为整数，得，，由题意可知，可得，，由能被7整除，可得或14或21，由且为整数，可知，2，3，4，则，4，6，8，要使得的值最大，则百位越大即可，可知当时，，则，此时或，而，即可求得最大值．【详解】解：由题意可知135是“快乐数”，则，∴，设任意“快乐数”，且，，，，，，为整数，则，∴，∵若“快乐数”满足百位上的数字是个位上数字的2倍，即：，∴，∵，，，，∴，则，∴∴能被7整除，∴或14或21，∵且为整数，∴，2，3，4，则，4，6，8，要使得的值最大，则百位越大即可，∴当时，，则，此时或，而，∴满足条件的“快乐数”的最大值为894，故答案为：9，894．【点睛】题主要考查了新定义，不定方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程．31．对于千位数字是a、百位数字是b、十位数字是c、个位数字是d的四位正整数M，若，则称这个四位正整数M为“平衡数”，并记，．例如：对于四位正整数2497，∵，∴2497是“平衡数”，且，．若四位正整数M是一个“平衡数”，且满足，，是7的整数倍，则．【答案】【分析】根据新定义列方程计算即可．【详解】解：∵千位数字是a、百位数字是b、十位数字是c、个位数字是d的四位正整数M，是一个“平衡数”，∴，，∵把整理得，∴把代入得，把代入得：，可得，，∵，∴，∵是7的整数倍，∴，联立，解得，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的问题，解题的关键是理解题目中给出新定义的含义，并灵活运用新定义的意义解题．32．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为，所以234是“尚美数”；材料二：若（且a，b，c均为整数），记，若是“尚美数”，则m的值为，已知，是两个不同的“尚美数”（且y，z，m，n均为整数），且能被13整除，则的值为．【答案】【分析】（1）运用“尚美数”的定义可得出结论；（2）根据，是两个不同的“尚美数”，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被13整除进行分类讨论，即可得答案．【详解】∵是“尚美数”，∴，解得，，∴；∵，是不同的尚美数，∴，得．∴，∴．∵，∴．∵能被13整除，∴（其中）．①当时，即，当时，；时，不符，∴．由，得，∴．当时，；，由，得．∴；．∵，∴（舍去）．②当时，即，∵，∴，∴．当，不符，当，不符当，不符③当时，即时，∵，∴．∵，∴．当，不符．当，不符．综上所述，．故答案为：；．【点睛】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，解本题的关键在于将一个代数式进行分组再分别讨论能否被13整除，结合了方程思想，分类讨论思想，综合性较强．33．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为．【答案】301【分析】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的意义及新定义的意义是解题的关键；根据的意义，对每个无理数进行估算即可．【详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；∴．故答案为：301．34．两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：；．若一个两位数，两位数（，，x，y是整数），交换两位数p的十位数字和个位数字得到新数，当与q的个位数字的6倍的和能被13整除时，称这样的两个数p和q为“美好数对”，求所有“美好数对”中的最大值．【答案】184【分析】根据给定条件求出x和y的值，可以找出两对“美好数”，分别求出的值，即可找出最大值．【详解】解：根据题意可得：，，∵，，∴，∴数p的个数为，十位为；数q的个位为，十位为，∴，∵p和q为“美好数对”，∴能被13整除，∵，∴能被13整除，∵，，∴，∵或，①当时，∵，，∴，∴，，∴，②当时，∵，，∴，∴，，∴，∴最大值为184．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解和新定义，正确理解题目所给新定义，求出x和y的值是解题的关键．35．对于一个四位数，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数为“等合数”．例如：数3465，∵3，∴3465是“等合数”，数2364，∵，，∴，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为；若“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若为完全平方数，则满足条件的的最小值为．【答案】99991265【分析】根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为；设“等合数”为，根据“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若为完全平方数，得到，再根据完全平方数的定义得到或，依此分析即可求解．【详解】解：根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为；设“等合数”为，则，即，为，∴∵，∴，故原式∵为完全平方数，即的值为1或4，∵“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，∴或若使的值最小，即的值最小为1，当时，d的值为2，则的值最小取3，的值为4，此时“等合数”为；当，d的值为5，则的值最小取2，的值为6，此时“等合数”为；∵，故满足条件的的最小值为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了完全平方数，用字母表示数字，理解新定义的运算是解题的关键．36．已知是各位数字都不为零的三位自然数，从的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数的“关联数”．数的所有“关联数”之和与22的商记为，例如，．（1）若，则．（2）数x，y分别是两个各位数字都不为零的三位自然数，它们都有“关联数”，已知（，），（），若，则在所有满足条件的对应x，y的值中，的最大值是．【答案】【分析】（1）根据新定义运算法则即可；（2）先根据，百位，十位，个位数字依次是，百位，十位，个位数字依次是，再求出，得再求出的取值范围，代入消元即可．【详解】解：（1）．故答案为：；（2），百位，十位，个位数字依次是，百位，十位，个位数字依次是，，，，，，，，，且为整数，故，即或2或3，，把代入，得，，当时，有最大值．故答案为：．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，理解新定义运算法则是本题的关键．37．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：．(1)___________．(2)若，求的值；(3)①若，则的最小值为___________；②已知点，当最小时，求点的坐标．【答案】(1)(2)或；(3)①；②点【分析】（1）找出中最大数即可求解；（2）根据题意分和两种情况讨论，即可求解；（3）①根据题意分和两种情况讨论，得到，据此即可求解；②根据题意得当时，才能取最小，据此即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，故答案为：；（2）解：当时，∴或，当时，，满足条件；当时，，不满足条件，舍去；当时，；∴或，当时，，满足条件；当时，，不满足条件，舍去；综上所述，或；（3）解：①当时，；当时，；综上所述，；∴的最小值为；②当时，才能取最小，∴或；当时，；当时，；而，因此时，最小，则点．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集、理解新定义列出不等式组是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．38．观察下列式子，定义一种新运算：；；．(1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）：(2)若，，试比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)，理由见解析．【分析】（）由给出的式子得出运算的方法即可；（）分别求出两种运算的结果，然后求出即可判断；此题考查了定义新运算的方法，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】（1）解：由式子规律可得，，故答案为：；（2）解：，理由如下：∵，，∴，∴．39．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”．例如：，∵，∴1514是“和差数”．又如：，∵，∴2526不是“和差数”．(1)判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由；(2)一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，来出所有满足条作的M．【答案】(1)是，理由见详解(2)1224,，2736，4848，6318【分析】（1）根据定义，分别代入判断即可；（2）表示出，然后根据为“和差数”、均是整数等条件，求出的可能数值即可．【详解】（1）解：，∵，∴2022不是“和差数”，，∵，∴2046是“和差数”．（2）解：“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，，，，，，均是整数，设，，，，，均为整数，可得：或或（舍），或，当时，即：，，解得：，，，的数值为：1224,，2736，4848，当时，即：，，解得：，，的数值为：6318，综上，的数值为：1224,，2736，4848，6318．【点睛】本题考查了新定义、分式的化简、分类思想等知识点，理解定义的本质是解题关键．40．对于任意一个四位自然数m，若满足百位上的数字与十位上的数字之和等于千位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这个数为“富贵数”．将“富贵数”m的千位上的数字与个位上的数字交换位置，百位上的数字与十位上的数字交换位置，得到新数，记．如：满足，则是一个“富贵数”，．(1)判断和是不是“富贵数”；(2)证明：对