专题02 实数的运算（三大题型50题）（解析版）

专题02实数的运算（三大题型，50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、用数轴上的点表示实数，中档题20题，难度三星1．如图，若，则表示的值的点落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【分析】首先对原式进行化简，然后代入x的值，最后根据即可判断．【详解】原式===当时，原式=∵∴故选C．【点睛】本题考查了分式的乘除法化简，无理数的估算，无理数的估算是难点，关键是要熟记一些常用的完全平方数，和一些常用无理数的近似值．2．若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则绝对值最小的数是（

）A．p B．q C．m D．n【答案】C【分析】根据，并结合数轴可知原点在q和m之间，且离m点最近，即可求解．【详解】解：∵结合数轴可得：，即原点在q和m之间，且离m点最近，∴绝对值最小的数是m，故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．3．如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（

）．A．线段AB上 B．线段BC上C．线段CD上 D．线段DE上【答案】C【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．【详解】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，∵数轴上的点C，D分别对应的数是3，4，∴表示的点应在线段CD上，故选：C．【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．4．下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④．【详解】解：①无理数的倒数还是无理数，正确；②当时，无意义，故若互为相反数，则说法错误；③若a为任意有理数，则，正确；④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误．综上可知正确的有①③共两个．故选B．【点睛】本题考查无理数的定义，倒数的定义，相反数的定义，0不能做分母，绝对值的性质，有理数的大小比较．熟练掌握上述知识是解题关键．5．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据得到的值，即可得到答案．【详解】解：，，，，，.故答案为：B.6．若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，绝对值得意义，由数轴得，，，，然后逐项判断即可．【详解】解：由数轴得，，，，，，，故选：D．7．与最接近的整数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据平方运算，先估算出的值，即可解答．【详解】解：，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．8．若（a，b为连续的整数），则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】A【分析】先求出的范围，即可求出a、b的值，最后代入求出即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值的应用，能根据的范围求出a、b的值是解此题的关键．9．如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（）A．π B． C． D．【答案】B【分析】根据数轴与实数的一一对应关系解答即可．【详解】解：∵直径为1的圆的周长为π，A点在数轴上表示的数是1，∴A点沿数轴向右滚动一周后到达点B，点B表示的数为．故选：B．【点睛】本题考查实数与数轴上的点的关系，解答时需要用到圆的周长的计算．10．已知三个实数在数轴上对应的点如图所示，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数轴可得，，进而化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解．【详解】解：根据数轴可得，，∴，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，数形结合是解题的关键．11．如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是．（结果保留π）

【答案】【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．【详解】解：由题意得：圆的周长为，∴点表示的数是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识，理解数与数轴上的点的对应关系是解题的关键．12．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值．【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：a＜﹣，0＜b＜，故|﹣b|+|a+|+＝﹣b﹣（a+）﹣a＝﹣b﹣a﹣﹣a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．13．的小数部分是．【答案】/【分析】先估算出的范围，再用减去整数部分即可得到小数部分．【详解】解：∵，∴，∴的小数部分为，∵和小数部分相同，∴的小数部分为，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．14．若的整数部分为，小数部分为，则，．【答案】4【分析】本题考查无理数估算，涉及算术平方根性质，估算出的范围是解决问题的关键．【详解】解：，，即，的整数部分为，小数部分为，，，故答案为：；．15．如图，将正方形置于数轴上，点A表示的数为3，点B表示的数为4，将正方形绕点A旋转，使得点C落在数轴上的点处，则点所表示的实数为；【答案】或【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵点A表示的数为3，点B表示的数为4，∴，∵四边形是正方形，∴，当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图：此时表示的数为：；当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图：此时表示的数为：；综上：表示的数为：或；故答案为：或．【点睛】本题考查旋转的性质，实数与数轴．解题的关键是熟练掌握旋转的性质，用数形结合和分类讨论的思想进行求解．16．大于小于的整数是．【答案】2【分析】估算出与的整数部分，求出所求整数即可．【详解】解：∵，∴则的整数是2，故答案为：2【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．17．如图，半径为1的圆放在数轴上，点A表示的数是2，将圆沿数轴向右转动一周，点A转动后表示的数是．【答案】【分析】先求出圆的周长为，再利用数轴的性质求解即可得．【详解】解：由题意可知，将圆沿数轴向右转动一周，转动的距离为，∴点向右移动了个单位长度，∵点转动前表示的数是2，∴点转动后表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．18．如图，面积为5的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．将正方形绕顶点沿数轴向右进行无滑动翻滚，则当点A第2023次落在数轴上时，点A所表示的数为．

【答案】/【分析】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律：第1次落在数轴上，相当于开始向右移动个单位，从第2次落在数轴上开始，比上一次又向右多移动了个单位．【详解】面积5，则边长，A第1次落在数轴上，相当于开始向右移动个单位，对应的数字是；A第2次落在数轴上，和第1次相比又额外向右多移动了个单位，对应的数字是；A第3次落在数轴上，和第1次相比向右移动了个单位，对应的数字是；……那么A第2023次落在数轴上，对应的数字是．19．如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1．(1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________；(2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由．(3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示，的点，并简洁地说明理由．【答案】(1)10(2)见解析(3)见解析【分析】（1）用大正方形的面积减去三角形的面积即可；（2）找到阴影部分面积为的正方形即可得到答案；（3）找到阴影部分面积为的正方形即可得到答案．【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为：；故答案为：10．（2）解：图1中的正方形面积为10，它的边长为，在数轴取，则点A表示的数分别为，（3）解：如图，阴影部分为正方形，面积为5；所以，其边长为，在数轴上截取，（数轴的1个单位长度），则点K表示的数为，点D表示的数．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及网格，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．20．阅读下面的文字，解答问题．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．(1)求出的整数部分和小数部分．(2)若其中是整数．且，请求出的相反数．(3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为(2)(3)1【分析】（1）先估算，得到的小数部分1，代入所求代数式计算即可；（2）先估算，得到的整数与小数部分，从而得到的结果，求出、的值，代入计算即可求得其相反数；（3）由，根据不等式的性质可得，，从而得到，的值，代入计算即可．【详解】（1）解：，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为3，小数部分为；（2）解：，的整数部分为2，小数部分为，，是整数，且，，，，相反数为；（3）解：，，，，，．【点睛】此题考查的是估算无理数及求代数式的值，能够得到一个无理数的整数部分与小数部分是解决此题的关键．二、实数的大小比较，中档题15题，难度三星21．，，，，且a、b、c、d为正数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，又由，则，，从而得，，又，则，由，则，从而得出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，a为正数，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题比较实数的大小，熟练掌握实数的大小比较汉则是解题的关键．22．下列实数中，比0小的数是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据负数小于0即可得．【详解】解：A、，则此项符合题意；B、，则此项不符合题意；C、，则此项不符合题意；D、，则此项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较法则：正数大于负数，正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的反而小．23．下列各数：，，0，，，其中比小的数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】首先求出，，，，然后根据实数大小比较的方法，判断出比小的数有几个即可．【详解】解：，，，∵，，，，∴，，，，∵，，，∴，∴，，0，，这些数中比小的数有个：，故选：A．【点睛】此题主要考查了算术平方根、立方根的含义和求法，以及实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数大于零，零大于负实数，两个负实数绝对值大的反而小．24．比较大小：．（填“>”或“<”号）【答案】【分析】先估算，再进行比较即可．【详解】∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了实数比较大小，熟练掌握估算知识是解本题的关键．25．比较大小：（填“”、“”或“”）【答案】【分析】根据无理数的估算可得，，由此即可得．【详解】解：，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算、算术平方根、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．26．当时，a，，，之间的大小关系是（用“＞”连接）．【答案】【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，，∴，即，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．27．比较大小：填“>”，“<”或“=”）．【答案】<【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数平方，根据正数平方越大，原实数就越大即可得．【详解】解：∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握用作差法比较实数大小是解题的关键．28．若，，，则，，的大小关系为（用“＜”连接）．【答案】【分析】根据，，，比较即可．【详解】∵，，，∴，故，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键．29．在实数，，，中，最小的数是．【答案】【分析】先估算出，的大小，然后进行比较，即可解答．【详解】解：，，，，，，，在实数，，，中，最小的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，算术平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．30．比较下列各组数的大小：；5；；；【答案】【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．【详解】解：；∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴；故答案为：；；；．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．31．实数，，，中最小的数是．【答案】【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．【详解】解：∵，，，,且，∴，∴实数，，，中最小的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握比较大小的方法．32．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．，，，．【答案】数轴见解析，．【分析】本题考查了用数轴表示实数及利用数轴比较实数的大小，根据用数轴表示实数的方法表示出实数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示实数的方法及数轴上点的特点是解题的关键．【详解】解：如数轴，根据数轴上点的特点可得：．33．在数轴上表示数，，，，比较它们的大小，用“＜”连接．【答案】画数轴表示见解析，【分析】在数轴上用点表示出各个数，再比较大小即可．【详解】解：如图所示，

．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，能利用数轴比较实数的大小是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．34．比较大小：________；________；________；________．【答案】【分析】分别计算的值即可得出；利用作差法即可得出；判断，，即可得出；得到，即可得出．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握解答的方法是关键．35．若，，且，用“”把，，，连接起来．【答案】【分析】根据题意，，，可得为正数，为负数，为负数，为正数，又因为，可得，根据两个负数，绝对值大的反而小，可得，所以；也可以先把表示，，，的点根据条件在数轴上大致表示出来，比较大小．【详解】解法一：∵，，∴

为正数，为负数，为负数，为正数．又∵

正数大于一切负数，且，∴

．解法二：因为，且，把，，，表示在数轴上，如图所示．∵

数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴．【点睛】本题考查了实数的比较大小，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，任意两个负数比较大小，绝对值大的反而小，借助数轴和绝对值等概念是解题的关键．三、实数的混合运算，中档题15题，难度三星36．已知、、为实数，则．【答案】4或0或【分析】本题考查了实数的除法，解决本题的关键是根据绝对值的性质进行分类讨论．根据绝对值的性质按照负数的个数进行分类讨论即可解答．【详解】解：①a，b，c均大于0时，原式；②a，b，c中有两个大于0，不妨设，，则原式；③a，b，c中只有一个大于0，不妨设，则，，原式；④a，b，c均小于0时，原式．故答案为：4或0或．37．计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键．（1）根据算术平方根，立方根和绝对值的性质计算即可；（1）根据乘方，算术平方根，立方根和绝对值的性质计算即可．【详解】（1）解：；（2）．38．计算：(1)；(2)．【答案】(1)120(2)【分析】（1）首先进行乘方运算、算术平方根运算和立方根运算，然后再进行乘除运算即可；（2）首先进行立方根运算、算术平方根运算以及乘方运算，然后相加减即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了实数混合运算、乘方运算、平方根、立方根、负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．39．计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查实数的混合运算能力，（1）先将原式化简，再进行加减运算；（2）先计算有理数的乘除法，再计算加减运算；（3）先计算立方、变除法为乘法，再运用乘法分配律计算乘法，最后计算加减运算；（4）先计算绝对值、算术平方根和立方根，再进行加法运算；解题的关键是能准确确定运算顺序和运算法则，并能进行正确地计算．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．40．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】略41．计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了实数的运算，涉及到了零指数幂、负整指数幂、平方根、立方根定义，化简绝对值．（1）原式利用算术平方根及立方根的定义，化简绝对值计算即可得到结果；（2）原式利用算术平方根的定义，化简绝对值，零指数幂、负整指数幂计算即可得到结果．熟练掌握法则是解题的关键．【详解】（1）解：．（2）．42．计算(1)(2)已知的平方根是，b的算术平方根是3，求的立方根．【答案】(1)9(2)3【分析】（1）分别进行开平方、开立方的运算，然后合并即可；（2）根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行运算即可．【详解】（1）解：；（2）∵的平方根是，∴，∴，∵b的算术平方根是3，∴，∴，∴的立方根为3．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了平方根、立方根、倒数及相反数的知识，属于基础题．43．计算：【答案】【分析】先计算开方和去括号、化简绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查实数的混合运算，绝对值，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．44．计算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据算术平方根，乘方，立方根等知识将原式进行化简，进而得出答案；（2