高中数学坚持学习

复习要点

第一章函数

一、内容提要

1、函数

(1)定义：设有两个变量X与y。当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变

量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，

记作y=f(x).

(2)定义中两要素：定义域与对应法则。

定义域：自变量x的取值范围。

对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。

(3)注意两点：

①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数而不是

几个函数。

2、反函数

(1)定义：设已知y是x的函数y=f(x),如保将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)

所确定的函数x=0(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x,函数记作y,

因此习惯上称y=°(x)为函数f(x)的反函数，记作f-1x),而f(x)叫做直接函数。

(2)附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。

3隐函数

定义:凡能够由方程F(x,y)=O确定的函数关系，称为隐函数。

4、函数的简单性质

有界性，奇偶性，单调性与周期性。

5、复合函数

(1)定义：设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=°(x),而且当x在某一区间I

取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作

y=f【e(x)］。

(2)儿个注意的问题：

①复合函数可以简单地理解为函数的函数。有了复合函数的概念，可以把•个较复杂的函数

分解成几个简单的函数。例如，函数y=sinx2可以看作由函数丫=$12和u=x2复合运算而产

生的。

②要使复合函数y=f［°(x)］有意义，必须满足函数u=q(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域

中。

6、基本初等函数与初等函数

(1)基本初等函数

幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

(2)初等函数

由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的

函数称为初等函数。

二、考试要求

1.理解函数的概念，理解函数的两个要素：函数的定义域与函数的对应法则

2.理解函数的奇偶性和单调性，了解函数的有界性和周期性。

3.了解反函数的概念，会求单调函数的反函数

4.理解和掌握函数的四则运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

5.掌握基本初等函数的简单性质及其图象，了解初等函数的概念。

第二章极限与连续

一、内容提要

1、函数的极限

(1)函数f(x)在X。处的极限

如果当X无限地接近Xo(但不等于Xo)时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常

数A,则称A为函数f(x)当x趋于Xo时的极限。记为

limf(x)=A

(2)函数f(x)当尤f8时的极限

如果当x的绝对值无限增大时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A,则称A

为函数f(x)当x趋于无穷大时的极限，记为limf(x)=A

X->OO

(3)单侧极限

如果当x从右的左侧无限趋于xo时，对应的函数值无限地接近于某一个确定的常数A,

则称A为函数f(x)在Xo处的左极限。记为由!1")=人或limf(x)=A或f(xa-0)=A

XT垢X->Xo-O

如果当x从Xo的右侧无限地接近Xo时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A,

则称A为f(x)在X。处的右极限，记

为limf(x)=A或limf(x)=A

.if.4+0

(4)极限存在的条件

函数f(x)当x->X。时极限存在的充分必要条件是f(x)在Xo处的左、右极限均存在且相

等，即

limf(x)=Aolimf(x)=limf(x)=A

X->XQ

2、极限的四则运算法则

设limf(x)=A,limg(x)=B,那么

0A—>xo

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

XTX。A—XTX0

lim[f(x)«g(x)]=limf(x)•limg(x)=A-B,limkf(x)=KA;

XTXoXT,%刀~>与XT与

lim=4(8/0)

fog(x)B

上述法则对Xf00也成立。

3、两个重要极限

sinx

(1)lim-----=1

x

-1

(2)lim(1+x)J=e或lim(1+—)'=e

XTOxfoox

4、无穷小量与无穷大量

(1)无穷小量的定义

若limf(x)=O(或limf(x)=O),则称函数f(x)为x—>%(或x-»8)时的无穷小量,

XTXQXT8

简称无穷小.

(2)无穷大量的定义

若当x无限接近于&时(或x的绝对值无限增大时)，函数的绝对值能大于任意给定

的正数M,则称f(x)是当X-X。(或X-8)时的无穷大量，简称无穷大，且简记为

limf(x)=oo或(limf(x)=oo)0

XT殉KTCO

(3)性质与关系

①有限个无穷小的和仍是无穷小；

②有界量与无穷小的积仍是无穷小；

③在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大，则」一为无穷小；如果f(x)

/(x)

为无穷小且f(x)/O,则」一为无穷大。

/(x)

5、函数的连续性与间断性

(1)函数的连续性定义

设函数y=f(x)在点％的某个邻域内有定义,如果limf(x)=f(x()),则称函数y=f(x)在点X。

XT.”

处连续，点Xo称为函数的连续点。

(2)函数连续性等价定义

limf(x)=f(x())olimAy=0(其中Ay=/(/+Ax)—/(x。)).

(3)单侧连续

若limf(x)=f(xo),则称f(x)在Xo处左连续；

若limf(x)=f(x0),则称f(x)在xo处右连续;

函数f(x)在点Xo处连续的充分必要条件是f(x)在Xo处既左连续旦右连续。

(4)区间上连续

若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)内连续。若f(x)在(a,b)

内连续，且在区间的左端点a处右连续，在区间右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间

［a,b］上连续。

(5)间断点

若函数f(x)在点X。处不连续，则称f(x)在点均处间断，点X。称为函数的间断点。

(6)初等函数的连续性

初等函数在其定义域内的每一点都是连续的，由此可得初等函数的定义域就是该函数的

连续区间。

6、闭区间上连续函数的性质

(1)最大值和最小值定理

如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则它在［a,b］上必能取到最大值和最小值。

(2)介值定理

如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则它在［a,b］上必能取到最大值M和最小值m之间

的任何一个中间值C(m<C<M)«

二、考试要求

1.了解函数极限的直观概念。理解函数在点X。处的极限。理解函数在X78时的极限

2.理解函数在点与处左、右极限的概念，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件

3.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法

4.掌握极限的四则运算法则

5.理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌握无穷小量性质。了解无穷小量的阶的概念。

6.理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数(含分段函数)在一点连续的方

法

7.了解在闭区间上连续函数的性质

8.理解初等函数在其定义区间上性质。并会利用函数连续性求极限。

第三章导数与微分

一、内容提要

1、导数的定义

设函数y=f(x)在点X。的某一领域内有定义，如果极限lim'=lim

-ArAx->oAr

存在，则称函数f(x)在点Xo处可导，并称此极限值为函数丫=f(x)在点X。处的导数,记为了'%)

或@或y'。

dxI。x=x0

如果极限lim”不存在，则称函数f(x)在点xo处不可导。

Ax

导数的另一种表达形式为/'%)=lim"6""。)。

7。j-x0

2、导数的几何意义

函数y=f(x)在点沏处的导数/％)表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜

率。

如果曲线y=f(x)在点xo处可导，则曲线y=f(x)在点(xo,f(x0))处的切线方程为

y—f(xo)=/'(x())(x-xo).

3、求导方法

(1)基本初等函数的导数公式

(c)'=0(c为常数)；

(xa)'=axa1(a为任意实数);

(ax)'=axlna,(ex)'=ex；

(log„x)'=-log„e=-^—>(lnx)'=-;

xxlnax

21

(sinx)*=cosx;(cosx)'=一sinx;(tanx)1=secx=---------

cosx

1

(cotx)1=—esc？x=——;(secx)'=secxtanx;

sin-x

(cscx)'=—cscxcotx;

(arcsinx)1=.(-1<X<1)；

Vl-x2

(arccosx)1=

(arctanx)1=--------;

1+x

(arccotx)'=------二

1+x

(2)导数的四则运算法则

若u=u(x),v=v(x)均为可导函数，则有:

(U士v)'=u'±V'；

(uv)'=u'v+wv';

(cu)'=cu,(C为常数);

(3)复合函数的求导法则

设u=°(x)在点x处可导，y=f(u)在对应的u点可导，则复合函数y=f[°(x)]在点x处可

导，且虫=电.也或简化为=

dxdudxx"x

(4)隐函数的求导法则

设函数y=f(x)是由方程F(x,y)=O确定的可导函数，则其导数也可以由方程@F(x,y)=O

dxdx

求得,具体求法可分两步：

第一步:将方程F(x,y)=O两边对自变量x求导，视y为中间变量,得到一个关于y'的一次

方程；

第二步：解方程，求出了。

(5)高阶导数

设函数y=f(x)可导，如果/'(x)的导数存在，则称它为函数y=f(x)的二阶导数，记为

广(x)或片或y".

如果二阶导数的导数存在，则称它为三阶导数，如果y=f(x)的(n-1)阶导数的导数存在，则

称它为f(x)的n阶导数，记为f⑻(x)或F或严。

dx

4、函数的微分

设函数y=f(x)在点x处有导数/'(x),臼变量x的增量为Ac,则称乘积/'(x)Ax

为函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy=/'(x)Ax。此时、称函数在点x处可微。

二、考试要求

1.理解导数的概念及其儿何意义。

2.会求曲线上一点处的切线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法。

5.了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数。

6.理解微分的概念。会求函数的一阶微分。

第四章导数的应用

一、内容提要

1、罗必达法则

(1)罗必达法则一：求9型未定式的极限

O

条件:函数f(x),g(x)满足

①limf(x)=limg(x)=O；

XTX。X->X0

②在Xo的某一邻域内(Xo除外，f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)HO；

③lim/O)=4(或oo)。

1与g'(x)

结论：lim小^=1加U^=A(或8).

XT%g(x)fog'(x)

(2)罗必达法则二：求艺型未定式的极限

00

条件：函数f(x),g(x)满足

①limf(x)=limg(x)=oo；

XT与XTX0

②在Xo的某一邻域内(Xo除外，f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)HO；

③lim'(X)=A(或oo)

』g'(x)

结论：lim£^=lim(或oo).

ifg(x)XfXog'(x)

(3)儿点附注

①法则一与法测二中xfXo可改为xf00,此时只需要把第二个条件改为当国充分大

时,f'(x),g'(x)都存在,且g'(x)wO,那末法则仍成立。

②对于其他0-8、00-8、r等末定型，可通过适当变换化为9型或艺型，再利用罗

000

必达法则求极限。

2、函数增减性

(1)函数单调性的判断定理

设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导，则

如果在(a,b)内_f(x)>0,则f(x)在［a,b］上单调增力n；如果在(a,b)内则f(x)在［a,b］

上单调减少；如果在(a,b)内，1nx)三0,则f(x)在［a,b］上为常数。

(2)单调区间的确定

求函数f(x)的单调区间的步骤：

求出f(x)的定义域，并求尸(X);

在定义域范围内求出使/'(x)=0和/'(x)不存在的点的全体(使/'(x)=0的点称为驻点)；

用上述各点作为分界点将定义域分成若干个小区间，并在每个小区间上确定了'(x)的符

号，同时确定函数f(x)在每个小区间的增减性，由此求得函数的单调区间。

3、函数的极值

(1)函数极值的定义

设函数f(x)在点X。的某邻域内有定义，如果对该邻域内任意一点X,恒有不等式f(x)Wf(x0)

成立,则称f(x)在点Xo处取得极大值f(Xo);如果对该邻域内任意一点X,恒有不等式f(x)>f(x0)

成立，则称f(x)在点Xo处取得极小值f(Xo),函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函

数取得极值的点称为函数的极值点。

(2)极值存在的必要条件

若f(x)在Xo处可导，且在Xo处取得极值，则/'(Xo)=O.

(3)极值存在的充分条件

第一充分条件：设函数f(x)在点沏的某邻域内可导，且/'(Xo)=O。

若当x<x。时/％)>0,而当x>Xo时/(沏)<0,则f(x0)是f(x)的一个极大值，沏是极大

值点；

若当x<Xo时/'(Xo)<O,而当x>Xo时r(Xo)>O,则f(Xo)是f(x)的一个极小值，Xo是极小

值点；

若在Xo的两侧/'(X)的符号相同，则f(Xo)不是极值。

第二充分条件:设函数f(x)在点Xo处具有二阶导数，且/'(Xo)=O,/〃(沏)。0：

若广'(Xo)<0,则f(Xo)是f(x)的一个极大值；若"(Xo)>0,则f(Xo)是f(x)是一个极小值;

若/"%)=0,不能判定为xo)是否为极值。

4、曲线的凹向与拐点

(1)曲线的凹向与拐点的概念

设函数f(x)在(a,b)内可导，如果在(a,b)内曲线y=f(x)都位于其每一点切线的上(或

下)方，则称曲线y=f(x)在(a,b)内上凹(或下凹)。曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐

点。

(2)曲线凹向的判别法

如果函数f(x)在(a,b)内二阶可导,且/"(xo)>0(或/〃(x)<0),则曲线y=f(x)在(a,b)内上

凹(或下凹).

5、函数的最值

求函数f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤为：

在(a,b)内求出所有的驻点和使导数不存在的点；

计算上述各点及两个端点处的函数值；

比较上述所有函数值，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。

注：如果函数在其定义域内只有一个驻点，且该点又是极值点，那末该点一定是最值点。

二、考试要求

1.熟练掌握用洛必达法则求“-"、“-"、"(boo\*-00-00"、“d”型未定式的极限方

000

法

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性

证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法。且会解简单的应用问

题。

4.会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

第五章不定积分

、内容提要

1、不定积分的概念

(1)定义：设函数f(x)是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x),对于

该区间上的每一点x都满足F'(x)=f(x),则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间的一个

原函数。函数可x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记作］7(x)dx.

(2)性质：一个函数如果有原函数存在，那末它就有无穷多个原函数，且若F(x)是f(x)

的一个原函数，则］7(x)dx=F(x)+C(C为任意常数)。

(jf(x)dx)'=f(x),^kf(x)dx=k

f（x）+c,J[/(x)±g(x)kx=J7(x)dx±Jg(x)dx

（3）基本积分表

^odx=C;\xadx=--—+c(aw-1);

Ja+1

f—dr=lnx+c;\axdx=———Fc;

JXJIn。

xx

^edx=e+c\jsinxdx=-cosx+c;

JcosxtZr=sinx+c;|tanxdx=-ln|cosx\+c;

jcotxdx=ln|sinx\+c;jsecxdx=ln|secx+tanx|+c;

jcscxdx=ln|cscx-cotx\+c;jsec2xdx=tanx+c;

r1,1x

=-cotx+c;-------z-dx=—arctan—+c;

Ja+xaa

1.I1a+xrdx1x-a

-z------yax=—In-------+c;-In+c；

a—x~2aa—xx2-a-2ax-\-a

2、换元积分法

换元积分法就是把积分变量作适当代换，使代换后的不定积分成为积分表中所列形式。

（1）第一类换元法

通过凑微分，把所给不定积分化为可积形式，常见的凑微分形式有：

1p1/-

dx=-d(ax+b);xdx=—d)c;—^=dx=2d7x;

a2y[x

-±dx=dl；

—dx=dlnx;cosxdx=dsinx;

xxx

sinxdx=-dcosx;sec2xdx=dtanx;csc2xdx=-dcotx;

/1.dx=darcsinx;—r-dx=darctanx等。

exdx=dex;

i+r

（2）第二类换元法

通过作变量代换x=°<t）化为可积形式。第二类换元法常作变量代换消去根式。

3、分部积分法

公式：\udv=UV-\vdii。利用分部积分公式可将原不易积分的形式\udv化为

可积分形式卜d”o

二、考试要求

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(仅限简单根式代换)。

4.掌握常见类型的不定积分分部积分法。

5.会求简单有理函数的不定积分。

第六章定积分及其应用

一、内容提要

1.定积分的概念

(1)定义：设函数y=/(x)在区间上有定义，如果和式极限lim£/(^)Ar,.存

/=1

在(其中d=maxAx,)，则称这个极限值为函数/(x)从a到b的定积分，记作(f(x)dx,

\<i<nL

即

[f\x)dx=Hm

/=l

(2)几何意义：当/(x)20时，f/(x)dx表示由x轴、直线x=a、x=b及曲线y=f(x)

所围成的曲边梯形的面积(如图)

2.定积分的基本性质

(1)f"(x)±8(x)]dx=f/(x)dx±fg(x)dx；

(2)kf(x)dx^k^f(x)dx(k为常数)；

(3)jf(x)dx-[f{x}dx+Jf(x)dx；

⑷f/(x)dx=-，/(x)dx；

3.积分上限函数及其性质

(1)定义

设函数/(x)在3。]上可积，则称函数①(x)=1/⑺小为函数/(x)在[。向上的积

分上限函数(其中

(2)性质

①如果/(X)在口,加上可积，则积分上限函数①(x)=f力在［a,加上连续；

②如果/(x)在［a,加上连续，则积分上限函数①(x)=［/«)力可导，且

①口)=£1/⑺力=/(x)。

4.牛顿——莱布尼兹公式

设/(x)在［a,切上连续，/(x)是/(x)的一个原函数，则

jf(x)dx=F(x)fa=F{h)-F(a)0

5.定积分的换元法

设f(x)在［a,b］上连续，x=夕⑺在［a,⑶上单值且有连续的导数，

(p(a)=a,夕(夕)=b,则

f/(x)dx=1/即⑺］*'⑺小

6.定积分的分部积分法

设〃(X),L>(X)在区间［。,加上都有连续导数，则

judu=

7.定积分的应用

平面图形的面积

S=1"(x)-g(x)］dx

S=J”(y)-以y)Mx

二、考试要求

1.理解定积分的概念与儿何意义

2.掌握定积分的基本性质

3.理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

4.掌握牛顿-莱布尼茨公式。

5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法

6.掌握直角坐标系卜用定积分计算平面图形的面积

第七章多元函数微积分

一、内容提要

1.二元函数

定义：设有变量x,y,z，当变量在一定范围内任取一组数值时，变量z按照一定的规

律总有确定的数值和它们对应，则称变量z为变量的二元函数，记作：

z=f(x,y)或z=z(x,y)

其中x,y称为自变量,z称为因变量，的取值范围D称为函数的定义域，二元函数

的定义域D是wy平面上的某一个区域。

2.偏导数

(1)偏导数的定义

定义：设二元函数z=在点(%,如)的某一邻域内有定义。如果极限：

A—。Ax

存在，则称此极限值为函数7=/(%,>)在点(%,%;)处对》的偏导数，记作：

,Qz

f.(x0,y0)或—

次(A-OO-O)

f(x0,y0+^y)-f(x0,y0)

如果极限呵------------7-------一一存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)

4x->oAy

在点(Xo，〉o)处对y的偏导数，记作：

f'(x0,y0)或—

办国为)

(2)偏导数的求法

设二元函数为z=/(x,y)

当求/(x,y)对x的偏导数时，只要将二元函数中的y看作常数，而对x求导数就行了，

同理，求/(x,y)对y的偏导数时，要将x看作常数，而对y求导数。

3.偏导数、全微分的计算公式