上海初三数学自招教学案5：整式

整式

知识梳理：

1、余式定理：多项式/(%)除以x-a所得的商式为Q(x),余式为/(〃)，即/(x)=°(x)(x—〃)+/(〃)°

2、因式定理：如果多项式/(x)含有因式x-。，那么f(a)=0,反之亦然。我们称。为多项式/(元)的零点。

3、乘法公式：

(1)立方和公式：+一+〃卜

(2)立方差公式：(〃一/?)(〃2+〃6+。2)="3一户

(3)三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2{ab+bc+ac)

(4)两数和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+/

(5)两数差立方公式：(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

4、拆添项法：把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，

后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分件分解法进行因式分解。

5、试根法：整系数多项式ax"+—+”％+〃，若'是它的有理根(八s互素)，那么s整除a，厂整除a。

n10-n0

S

一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决(试根法使用于整系数多项式的因式分解)

6、常见数学思想与方法：整体思想、降次法、消元法、待定系数法、赋值法等。除了常规的因式分解法，还有拆

添项法、双十字相乘法、待定系数法、试根法等。

例题精讲：

例1：已知a2+a-l=0,求/+2a2+2014的值。

例2：已知/'(x)=4x'+5f-3x-8,求/(x)除以g(x)=三+2x+l的商式Q(x)和余式R(x)。

例3：若/(X)除以2%-3的余数为4,试求多项式(产+1>(6+7除以2x-3的余数。

例4：若％+2整除多项式—+6x2+kx+k-8,则左=

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例5：求一个二次多项式/(%),使它满足：/(1)=/(3)=0且/(2)=-4o

例6：已知/(%)=%3+2冗2+/+6含有因式。一3)(冗一1),试求〃、夕的值及/(x)的另一个因式。

例7：分解因式：6Z3+fe3+c3-3abc

例8：分解因式：x2(j-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

例9:若〃、b、C满足〃2+/^+°2=9,那么代数式(〃—»2+@—0)2+(c—〃)2的最大值是多少？

例10：分解因式：X3+2X-3

例11：分解因式：213-6工2+3%+2

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例12：已知12+2%+5是x4+ax2+b的一个因式，求〃的值。

同步练习：

练习1：已知％2—X—1=0,那么代数式/一3/+3炉+2014的值是

练习2：若对于多项式g(x)有g(-l)=1,g(4)=ll,试求g(x)除以(x+l)(x-4)所得的余式。

练习3：若/(%)=2/一幺+奴+人被(%+2)。一4)整除，试求常数。、。的值。

练习4：已知g(-l)=g(-4)=0,g(-2)=2,g(-3)=1,试求三次多项式g(x)的表达式。

2

练习5：已知〃尤)=3炉+如2+依.含有因式3x-2,且/(-1)=-20,试求小、”的值及/(x)的另一个因

式。

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练习6：已知a+b+c=3m,求代数式(冽-«)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a){m-b)(m-c)的值。

练习7：分解因式2X3-X2-5X-2

练习8：分解因式4?+8x2-15x-9

练习9：分解因式：x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)

练习10：分解因式：X4-2X2-400X-9999

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参考答案

例1：答案：2015

解析：解法一,(整体代入)：由a?+a—1=0得a'+a?—a=0

所以a3+2a2+2014=a3+a"-a+a2+a+2014=a2+a-l+2015=2015

解法二(降次)：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

由。一+。—1—0《导(2~—1—。，

所以a3+2a2+2014=a2-a+2a2+2014=(1-a)-a+2a2+2014=a2+a+2014=a2+a-l+2015=2015

揭发三(降次、消元)：a2+a=l(消元、减项)

+2a~+2014=/+。~+。~+2014="+a)+。~+2014=。+。~+2014—1+2014=2015

说明：本题常用的方法是降次法，通过降次最后使/+2a2+2014化为一个常数，但是用降次法，变形过程

较为复杂且容易出错，而用零代换只要掌握变形的技巧，计算比较简便。

例2：答案：Q(x)=4x—3,R(x)=—x—5

4x-3Q(x)

解析：(长除法)：g(x).......x2+2x+1)4?+5X2-3X-8……-f(x)

-)4x3+8X2+4X

-Sx2-7x-8

-)-3f—6x-8

—x—5.......R(x)

所以/(x)除以g(x)的商式为Q(x)=4x-3，余式为R(x)=-x-5。

例3：答案：203

-FG

A)-4设-

解析：由余式定理可知，

213-则F(x＞除以2尤一3的余数为

742o

+-X+7=

I刃")I刃不

例4：答案：8

解析：设/(x)=/+6苫2+近+6-8,由题意得/(-2)=-8+24-2左+左-8=0,所以上=8

例5：答案：f(x)=4r-16x+12

解析：设/(无)=。(尤-l)(x-3),由于/'(2)=-4,则a=4所以/(X)=4(x-l)(x-3)=4x2-16x+12

例6：答案：x+2

解析：解法一：设/'(X)=(x-3)(x-l)(ar+匕)，于是/+6=。-3)(x-l)(ax+b),

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整理得：x3+px1+qx+6=ax1+(~4a+Z?)x2+(3a-b)x+3b

由待定系数法可求得：a=\,b=2,p=—2,q=-5

所以fix)的另一个因式为x+2o

解法二：设/(x)=a—3)(x—1)(依+力，由因式定理得/(l)=l+p+q+6=0,/(3)=27+9p+3q+6=0,

解得p=—2,q=5o因为当％=0时，6=3。，所以》=2。

当x=—1时，—1—2+5+6=8(—〃+2),所以a=lo

说明：根据因式定理可求出原多项式，再代入不同的数值，可求得剩下的未知数。

例7：答案：(«+/?+c)(^a1+b2+c2-ab-be-

解析：因为(〃+b)3=/+/+3ab(a+b),所以+Z?3=(a+Z?)3-3ab(a+b)

于是原式=(a+b)3一3〃万(〃+6)+/-3Mc=+c3]-3ab(a+b+c)

(a+b+c).2+Z?2+c2-ab-be-ca

说明：该因式分解应用很广泛，用它可以推出很多有用的公式和结论。例如:

a3+b3+c3-3abc=~(a+b+c^a-Z?)2+(Z?-c)2+(c-tz)2］；

2

当〃+b+c=O时，tz3+Z?3+c3=3abc。

例，分解因式：(工一1)。(九一2)3+(3—2x)3。由于(4一1)+(%-2)+。一24)=0,所以由上结论得

(x-1)3+(%-2)3+(3-2x)3=3(x-l)(x-2)(3-2x)

例8：答案:(y-z)(z-x)(y-x)

解析：原式=x2(y-z)+y2(z-x)+z2[-(z-x)-(y-z)]=x2(y-z)+y2(z-x)-z2(z-x)-z2(y-z)

=(y-z)(x2-z2)+(z-x)(y2一z之)=(y—z)(z-x)(-z-x+y+z)=(y-z)(z—x)(y-x)

说明：(x-y)、(y-z)、(z-x)三个形式比较像且之间有和为0的关系，所以经常用两个替代另一个的做法。

比如X_y=_(z—j—(y—Z),这种变形比较常见。

例9：答案：27

解析：(a-b)2+(/?-c)2+(c—a)1=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2

—3(〃2+廿+c2)—2+》2+c2+2ab+2bc+2QC)=27-(a+Z?+c)2-27

所以当a+Z?+c=O时，原式取得最大值为27.

例10：答案：(%-1)(?+x+3)

解析：解法一(余项)：

3331222

%+2x-3=3x-3-2x+2x=3(<x-l)(x+x+l)-2x(x-l)(x+l)=(x-l)(^3x+3x+3-2x-2x)=(x-l)(^x+兀+3)

解法二(添项)：+2x-3=储一12+x2+2x—3=X2(%一1)+(X一1)(1+3)=(X一1)(九2+%+3)

说明：此题无法用常规方法分解，需拆添项。观察多项式发现当尤=1时，它的值为0,这就意味着1-1是

Y+2X-3的一个因式，因此变形的目的是凑x-1这个因式。至于如何拆项、添项并无一定规律可行。拆添

项法也是分解因式的一种常见方法，这道题拆一次项和常数项也是比较容易。

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（＞11：答案：2bc-l

解析：设/G）=2f-6x2+3x+2,最高次系数的因数为土1,±2；常数项的因数为土1,±2,则可能的根

有±1,±2,±1,代入得了（2）=0,所以X-2是/（X）的一个因式，根据长除法可得，

2

1-5

f(x)=(x-2)(2x2)(>2x-l

=2工

丁.

说明：此题不能用常规方法，也很难看出它的一个因式，这时需用试根法。试出一个根，从而得到原式的一个

因式,再用长除法降次得到原式的另一个因式，再分解彻底。若原式很长，可能要试好几次。

例12：答案：31

解析：解法一（待定系数法）：设%4+〃冗2+8=（%2++5）（%2+如+〃），去括号整理得

x4+ax2+b=x4+(2+m)x3+(2m+〃+5)x2+(5m+2n)+5n

2+m=0m=-2

2m+n+5=a解得『二5

比较对应各项系数可知<

5m+2H=0a=6

5n=b0=25

所以a+b=31

解法二（双十字相乘、赋值法）：设X4+QX2+》=（%2+2%+5）（工2+g+〃）

可得2x3+mx3=0,5nvc+2nx=0,根据系数为零可得m--2,n=5

所以九4+ax2+匕=(%2++5)(12一2%+5),当x=l时，l+〃+0=8x4,所以〃+b=31

同步练习:

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练习1：答案：2016

解析：用降次、消元法：由了2—%—1=0得x2-x=l

所以%4-3?+3X2+2014=X4-X3-2X3+2X2+X2+2014=.X2(X2-X)-2X(X2-X)+X2+2014

=X2-2X+X2+2014=2(X2-X)+2014=2+2014=2016

练习2：答案：2x+3

Ir-a+b=l\a=2

解析：设g(x)=Qa)a+l)(x—4)+ax+。，由于g(—1)=1,g(4)=11,所以＜,廨得＜,。

[4a+b=11[b=3

所以g(x)除以(九+1)(%-4)所得的余式为2x+3

练习3：答案：a=-22,b=-24

|-2a+b=20(Q=-22

解析：由因式定理得"-2)/4)=。，所以囚+-解得…

练习4：答案：g(x)=J(%+1)(%+2)。x+10)

4

解析：设g(x)=(x+l)a+4)(QX+。)，由题设条件得

3

—2(—2a+b)=24〃-2b=2a=—

1即1,解得54

-2(-36/+/?)=6a-2b=

2

2[b2

所以g(x)=(x+l)(x+2)(-1X-£-2(x+1)(%+2)(3%+10)

424

练习5：答案：(x-I)2

z2“2、r2Y＜2?2

解析：由因式定理得不1中0,又/(-1)=-20,所以丫%刊=3[刊+,八加2=0

卜？[/(-l)=-3+m-«-2=-20

f4m+6n—10=0fm=-8

即《，解得＜

[m-n+15=0[〃=7

利用长除法可求出/(尤)=3^—"2+7x-2除以3%-2的商式是X2-2X+1=(X-1)2,所以

3222

/(x)=3x-8X+1X-2=(3X-2)(X-I)，另一个因式为(x-l)0

练习6：答案：0

解析：通过观察发现，若把方程〃+b+c=3相变形为(加-〃)+(加-。)+(m-c)=0,不妨设

m-a=x,m-b=y,m-c=z,则x+y+z=0,则原代数式可变形为d++z?一3孙z

由例7结论可知x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)Qc2+y2+z2-xy-yz-xz)=0

练习7：答案：G+l)(x—2)(2x+l)

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IWf：原式=2J?+2x2—3x2-5x-2=2x2(x+l)-(x+l)(3x+2)=(x+l)(2r2-3x-2)=(x+l)(x-2)(2x+l)

说明：直接分组分解不好做，所以用拆添法做。观察多项式发现当犬=-1时，它的值为0,这就意味着尤-1

是2d-三-5工-2的一个因式，因此变形的目的是凑尤+1这个因式。这是四次三项式，不缺某一项，不适

合用添项，至于拆项，试试拆其他项应该也是可以的，方法不唯一。

练习8：答案：(x+3)(2x+l)(2x-3)

解析：设/(；0=4;?+8--15苫一9,最高次系数的因数为±1,±2,±4；常数项的因数为±1,±3,±9,

11QQQQ

则可能的根有±1,±3,土;，土;，±〉±3±〉士代入得了(一3)=0,所以无+3是/(X)的一

个因式，根据长除法可得，/(X)=(X+3)(4X2-4X-3)=(X+3)(2JC+1)(2X-3)

说明：此题不能用常规方法，也很难看出它的一个因式,这时需用试根法。

练习9：答案：(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)

解析：由例8方法可得，

原式=/(y―)+/(z-X)+z3[-(z-x)-(y-z)]=x3(y-z)+y3(z-x)-z3(z-x)-z3(y-z)

3333

=(y-z)(x-z)+(z-x)(y-z)=(