圆（学案含解析）

2022年中考数学一轮复习学案

21圆

中考命期讹明

考点课标要求考查角度

①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆常以选择题、填空题、解答题

圆心角、圆

1心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关的形式考查圆心角、圆周角定

周角

系、直径所对圆周角的特征.理的简单运用.

常以选择题、填空题、解答题

探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及

2圆的对称性的形式考查垂径定理及其推论

其推论.

的综合运用.

①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关

常以选择题、填空题、解答题

点与圆、直系；②了解切线的概念，探索切线与过切

的形式考查直线与圆的位置关

3线与圆的位点的半径之间的关系；能判定一条直线是

系、圆的切线的性质、判定以

置关系否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切

及三角形的内心和外心.

线；③了解三角形的内心和外心.

圆与圆的位常以选择题、填空题的形式考

4探索并了解圆与圆的位置关系.

置关系查圆与圆的位置关系.

常以选择题、填空题的形式考

弧长和扇形会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的

5查弧长、扇形的面积和圆锥的

的面积侧面积和全面积.

侧面积、全面积.

知炊点It芍画k央的概念

<_______

知疚点梳理

1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随

之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如下图中的AB）.

3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

4.直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的8）.直径等于半径的2倍.

5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

6.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号””表示，以A,

B为端点的弧记作uAB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）;小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）.

7.等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

9.垂径定理及其推论：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

10.圆的对称性：

（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对•称轴.

（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

【例1】（3分）（2021•青海6/25）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，

“图上”太阳与海平线交于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=\6厘

米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起

的速度为（）

C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分

【考点】垂径定理的应用.

【分析】连接0A,过点0作ODLAB于D,由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出

0。的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解.

【解答】解：设“图上”圆的圆心为0,连接04过点。作0。于。，如图所示：

；AB=16厘米,

：.AD=-AB=S（厘米），

2

厘米,

7.0D=\l0A2-AD2-V102-82=6（厘米），

海平线以卜,部分的高度=04+00=10+6=16（厘米），

•••太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，

“图上”太阳升起的速度=16+16=1.0（厘米/秒），

故选：A.

【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

【例2】（3分）（2020•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆

材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径

几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深

EZ）=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是寸.

【考点】数学常识；垂径定理的应用

【分析】根据题意可得OE_LAB,由垂径定理可得40=8。=148='尺=5寸，设半径

22

OA=OE=r,则。。二广1,在RtZSOAQ中，根据勾股定理可得：（厂1）2+52=/，解方程可得出

木材半径，即可得出木材直径.

【解答】解：由题意可知OELA8,

为0O半径，

AD=BD=-AB=-K=5寸，

22

设半径OA=OE=r,

,:ED=l,

：.OD=t-\,

则RtZkOAO中，根据勾股定理可得：（L1）2+52=/，

解得：r=13.

木材直径为26寸.

故答案为：26.

【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的

中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以

从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.

知季点2：国圆有亮的角

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相

等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

爵堂西圾

[例3]（3分）（2021•广东7/25）如图，AB是OO的直径，点C为圆上一点，AC=3,Z

A8C的平分线交AC于点£>,CD=\,则。。的直径为（）

【考点】圆周角定理

【分析】如图，过点〃作OT_LA8于T.证明。T=OC=1,推出推出NA=30。,

可得结论.

【解答】解：如图，过点。作。于T.

NAC8=90。，

：.DC±BC,

平分/CBA,DC1BC,DT1.AB,

：.DT=DC=[,

：AC=3,

：.AD=AC-CD=2,

：.AD=2DT,

：.NA=30°,

AC

AB=-=^=r=2>/3f

cos30°5/3

2

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题.

【例4】（4分）（2021•重庆A卷5/26）如图，四边形内接于（D。，若NA=80°,

则NC的度数是（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

【考点】圆内接四边形的性质.

【分析】根据圆内接四边形的性质得出NA+/C=180°,再代入求出答案即可.

【解答】解：•••四边形A8CO内接于。O,

AZA+ZC=180°,

；NA=80°,

.\ZC=100°,

故选：B.

【点评】本题考查r圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补.

【例5】（10分）（2021•安徽20/23）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,交于点£

（1）例是CD的中点，。仞=3,CD=U,求圆。的半径长；

（2）点F在CZ）上，且CE=EF,求证：AF1BD.

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【分析】（1）连接0。，由垂径定理推论可得NOM£>=90°,在RtAOMD中用勾股定理即

可得半径；

（2）连接4C,延长A尸交8。TG,由已知可证△AC尸是等腰三角形，NFAE=NCAE,

又弧BC=弧3C,有/C4E=NCQ8,故/E4E=NCZ）B,即可由NCDB+/B=90°,得/

AG8=90°,从而得证

【解答】解：（1）连接。3,如图:

是C。的中点，CO=12,

：.DM^-CD^6,OMLCD,ZOMD=90°,

2

RtZXOMQ中，OD=>JOM2+DM2,且0M=3,

OD="+62=3百，即圆0的半径长为3石：

(2)连接AC,延长AF交BOfG,如图：

'：AHLCD,CE=EF,

...A3是CF的垂直平分线，

：.AF=AC,即△AC尸是等腰三角形,

•:CE=EF,

：.ZFAE^ZCAE,

,:BC=BC,

:.NCAE=NCDB,

:./FAE=NCDB,

RtZXBDE中，ZCDfi+ZB=90°,

：.ZFAE+ZB=90°,

ZAGB=90°,

：.AGLBD,BPAF±BD.

【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键

是证明NE4E=NC£>8.

【例6】（10分）（2021•上海23/25）如图，在圆。中，弦A3等于弦CZ）,且相交于点P,

其中E、F为AB、C。中点.

(1)证明：OPLEF；

(2)联结AF、AC、CE,若A尸〃。P,证明：四边形AFEC为矩形.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)利用全等三角形的性质证明OE=OF,PE=PF,可得结论.

(2)连接AC,设E尸交OP于J,想办法证明尸E=PF=%=PC,可得结论.

【解答】(1)证明：连接OP,EF,OE,OF,OB=OD.

'：AE=EB,CF=FD,AB=CD,

：.OELAB,OFLCD,BE=DF,

：.ZOEB=ZOFD=90°,

'：OB=OD,

：.(HL),

OE=OF,

"：ZOEP=ZOFD=90°,OP=OP,

.,.RtAOPE^RtAOPF(HL),

：.PE=PF,

:OE=OF,

：.OP1.EF.

(2)证明：连接AC,设EF交。尸于J.

'：AE=EB,CF=FD,AB=CD,

.AE=CFfBE=DF,

■:PE=PF,

：.PA=PC,

,:PE=PF,OE=OF,

・・・0P垂直平分线段EF,

:・EJ=JF,

■:OP//AF,

:.EP=PA,

:・PC=PF,PA=PE,

・・・四边形AFEC是平行四边形，

VEA=CF,

・・・四边形APEC是矩形.

【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成

比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

z\

知识点3：身圆有关的伍关系

知聚点梳理

1.点与圆的位置关系：

(1)设。。的半径为〃点p到圆心。的距离为人则有：

①点P在圆外

②点尸在圆内

③点P在圆上od=r.

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆.

2.直线与圆的位置关系：

(1)直线和圆有三种位置关系，具体如下：

①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点

叫做交点.

②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线.

③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

(2)如果00的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,那么：

①直线/与。0相交

②直线/与。。相切=d=r；

③直线/与。。相离Q办，；

(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(4)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

(5)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的

连线平分两条切线的夹角.

(6)三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.

(7)三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

3.圆和圆的位置关系：

(1)圆和圆的位置关系：

①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种.

②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种.

③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.

(2)圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.

(3)圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么

①两圆外离

②两圆外切今d=R+r

③两圆相交8R+r(R》r)

④两圆内切(R>r)

⑤两圆内含o火R-r(/?>/•)

(4)两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对

称图形，对称轴是两圆的连心♦线；相交的两个圆的连心线垂直、平分两圆的公共弦.

【例7】(2分)(2021•青海16/25)点P是非圆上一点，若点P到OO上的点的最小距离

是4cm,最大距离是9cm,则。。的半径是.

【考点】点与圆的位置关系.

【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径=最小距离

+最大距离；②当点P在圆外时，直径=最大距离-最小距离.

【解答】解：分为两种情况：

,/点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,

直径AB=4cm+9cm=13cm>

半径r=6.5cm；

②当点在圆外时，如图2,

,/点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,

直径48=9cm-4cm=5cm,

半径r=2.5cm；

故答案为：6.5cm或2.5cm.

【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.

【例8】（5分）（2021•安徽13/23）如图，圆O的半径为1,AABC内接于圆O.若/A=

60°，ZB=75°,则48=.

【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【分析】连接04,OB,由三角形内角和可得出NC=45°,再根据圆周角定理可得NAO8

=90°,即△0A8是等腰直角三角形，又圆半径为1,可得出结论.

【解答】解：如图，连接OA,OB,

在△ABC中，ZBAC=60°,ZABC=15°,

ZACB=180°-ZA-ZB=45°,

AZAOB=90°,

；OA=OB,

...△OAB是等腰直角三角形，

：.AB=s/2OA=>/2.

故答案为：拒.

【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作

出正确的辅助线是解题关键.

【例9】（4分）（2021•广东17/25）在△ABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=3.点。为平面

上一个动点，ZADB=45°,则线段CD长度的最小值为.

【考点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系

【分析】根据乙4〃8=45。，A8=2,作△A8D的外接圆O,连接OC,当0、D、C三点共线

时,CD的值最小.将问题转化为点圆最值.可证得△AOB为等腰直角三角形，OB=OA=6,

同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1,由勾股定理可求得OC的长为石，最后

CD最小值为OC-OD=亚-叵.

【解答】解：如图所示.

D

VZADB=45°,AB=2,作△AB。的外接圆0（因求CD最小值，故圆心。在AB的右侧）,

连接0C,

当。、D、C三点共线时，CQ的值最小.

•/ZADB=45°,

乙408=90°,

...△A08为等腰直角三角形，

AO=BO=sin45°xAB=y/2.

VZOBA=45°,NABC=90。，

ZOBE=45°,作0E_L8C于点E,

••.△08E为等腰直角三角形.

,OE=BE=sin450•08=1,

：.CE=BC-BE^3-\=2,

在RtZ\OEC中，

OC=＞］OE2+CE2=VTT4=A/5.

当0、。、C三点共线时，

CD最，”为CD=0C-0D=4-及.

故答案为：V5-V2.

【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、

圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维.解题关键在于确定出点

D的运动轨迹为一段优弧.

【例10］（2分）（2021•北京13/28）如图，PA,P8是。。的切线，A,8是切点.若/尸

=50°,贝.

【考点】圆周角定理；切线的性质.

【分析】先根据切线的性质得到/OA尸=/OBP=90°,然后根据四边形的内角和计算/

AOB的度数.

【解答】解：；尸4,P8是。。的切线，4,B是切点,

：.OA±PA,OB±PB,

.../OAP=NO8P=90°,

,：NOAP+NAO8+NOBP+NP=360°,

ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案为130°.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

【例11］（3分）（2021•山西7/23）如图，在。。中，A8切。O于点A,连接08交。。于

点C,过点4作4?〃。8交。。于点。，连接CD若NB=50。，则NOCO为（）

B.20°C.25°D.30°

【考点】切线的性质；圆周角定理

［分析］连接0A,如图，根据切线的性质得到NOAB=90。,则利用互余可计算出NAOB=40。,

再利用圆周角定理得到NAOC=20。，然后根据平行线的性质得到/0C。的度数.

【解答】解：连接0A,如图，

•.•A8切。。于点A,

J.OALAB,

/048=90°,

,/NB=50°,

NA08=90°-50°=40°,

ZADC=-ZAOB=20°,

2

VAD//OB,

：./OCA/AOC=20°.

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

【例12］（3分）（2021•陕西13/26）如图，正方形ABC。的边长为4,。。的半径为1.若

。。在正方形A8CZ）内平移（。0可以与该正方形的边相切），则点A到。。上的点的距

离的最大值为.

【考点】正方形的性质：直线与圆的位置关系；切线的性质；平移的性质.

【分析】当。。与C8、CD相切时，点A到。。上的点Q的距离最大，如图，过。点作OE

JL8C于E,OnLCD于尸，根据切线的性质得到OE=O尸=1,利用正方形的性质得到点O

在AC上，然后计算出AQ的长即可.

【解答】解：当OO与C3、C£＞相切时，点A到。。上的点Q的距离最大.

如图，过。点作。EJ_BC于E,OS丁F,

；.0C平分NBCQ,

•.•四边形ABC。为正方形，

...点。在AC上，

AC=yfiBC=472,OC=&OE=叵，

."。=04+0。=4&-0+1=3夜+1,

即点A到。。上的点的距离的最大值为30+1,

故答案为3应+1.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂宜于经过切点的半径.也考查了正方形的性质.

【例13］（4分）（2021•上海6/25）如图，长方形ABC。中，AB=4,AD=3,圆8半径为1,

圆A与圆B内切，则点C、。与圆A的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点。在圆A内B.点C在圆4外，点。在圆A外

C.点C在圆A上，点。在圆A内D.点C在圆A内，点。在圆A外

【考点】点与圆的位置关系：矩形的性质：圆与圆的位置关系

【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆A的半径等于5,山勾股定理得

AC=5,由点与圆的位置关系，可得结论.

【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，

设圆A的半径为R,

则：AB=R-\,

：AB=4,圆B半径为1,

:.R=5,即圆A的半径等于5,

"：AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,

：.AC=5=R,AD=3<R,

.•.点C在圆上，点。在圆内，

故选：C.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理，熟练掌握点与圆的位

置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置.

【例14](8分)(2021•呼伦贝尔•兴安盟24/26)如图，A8是。。的直径，AD=DC=1BD,

连接AC、CD、AD.CD交AB于点F,过点8作的切线8M交AQ的延长线于点E.

(1)求证：AC=CD；

(2)连接OE,若£>E=2,求OE的长.

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质

【分析】(1)根据圆心角、弧、弦之间的关系及垂径定理进行证明即可；

(2)根据等边三角形的性质及三角形的内角和得到ND48='/D4C=30。，再由BM1AB,

2

CDA.AB,得到8M〃CZ),利用平行线的性质得到乙4EB=/AOC=60。，进而利用含30。角的

直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可.

【解答】证明：(1)VAD=DC=2BD,

：.AD=CD,8是CZ)的中点，

,：AB是直径，

：.AD=AC,

：.AD=CD；

(2)如图，连接

9：AD=CD=AC,

：,ZADC=ZDAC=60°,

VCD±AB,

ZDAB=L/£)AC=30。，

2

切。。于点B,48是直径，

；CDLAB,

J.BM//CD,

ZAEB=ZADC=60°,

'：AB是直径，

ZADB=90°,

在RtZ^BDE中，

•/ZDBE=900-ZDEB=30°,

：.BE=2DE=4,

：.BD=JBE2-DE2=J16-4=2&,

在Rt^BDA中，

,/ZDAB=30°,

：.AB=2BD=473，

OB=、AB=26,

2

在RtZ\08E中，OE=>joB-+BE1=>/12+16=277.

【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理及切线的性质，解题的关键是根据

题意作出辅助线3£),从而构造相关的直角三角形，利用其各边或各角之间的关系进行求解，

注意运用数形结合的思想方法.

知米点4：号囱为央的计算

知梁点梳理

1.弧长及扇形的面积:

（1）半径为广，〃。的圆心角所对的弧长公式：1=L.

180

（2）半径为七〃。的圆心角所对的扇形面积公式：S^=^-=-lR（/是扇形的弧长）.

2.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为/,底面半

径为r,那么这个扇形的半径为圆锥的母线长/,扇形的弧长为圆锥的底面圆周长24.

（1）圆锥的侧面积公式：S=-l^r=nrl（其中/是圆锥的母线长，「是圆锥的底面半

2

径）.

（2）圆锥的全面积公式：54至=侧面积+底面圆面积=仃/+万户.

3.求阴影部分面积的几种常见方法：

（1）公式法；

（2）割补法；

（3）拼凑法;

（4）等积变形构造方程法；

（5）去重法.

ZX

要更国典

【例15］（4分）（2021•云南7/23）如图，等边△ABC的三个顶点都在。。上，AO是。。的

直径.若04=3,则劣弧8。的长是（）

【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质

【分析】连接。8、BD,由等边△ABC,可得ND=NC=60。，JiOB=OD,故△B。。是等边

三角形，/80。=60。，又半径0A=3,根据弧长公式即可得劣弧8。的长.

【解答】解：连接08、BD,如图：

,等边△48C,

，NC=60°,

'：^AB=^AB,

：.NO=NC=60。，

•；0B=0D,

...△80。是等边三角形，

二ZBOD=GO°,

,半径04=3,

...劣弧8。的长为叱虫=%，

180

故选：B.

【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用.

【例16］（3分）（2021•青海7/25）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子

上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊4在草地上的最大活动区域面

积是（）

h—6m—*1

A1'1//?-，/J21/2

A.——万mB,—71mC.—7tmD.—7tm

121246

【考点】扇形面积的计算.

【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°

的小扇形的面积和.所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围.

【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5,

90^x2525/2、

所以面积=-------=一n（m2）；

3604

小扇形的圆心角是180°-120°=60°,半径是1m,

miirzrrxr-iX17［八

则面积=-6-0-T-T--=—（m2）,

3606

则小羊A在草地上的最大活动区域面积="乃+工=卫乃（n?）.

4612

故选：B.

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几

个图形组成的，然后分别计算即可.

【例17］（3分）（2021•西臧15/27）已知一个圆锥的底面圆半径是2,母线长是6.则圆锥

侧面展开图的扇形圆心角度数是.

【考点】圆锥的计算

【分析】利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算.

【解答】解：设圆心角为〃，

底面半径是2,母线长是6,

则底面周长=4万=竺独，

180

解得："=120,

故答案为：120。.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的

表达式子.

【例18］（4分）（2021•重庆A卷16/26）如图，矩形A8CD的对角线4C,BD交于点O,

分别以点A,C为圆心,AO长为半径画弧，分别交48,CO于点E,F.若BD=4,NCAB=36。，

则图中阴影部分的面积为.（结果保留成

【考点】矩形的性质；扇形面积的计算

【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和.

【解答】解：•・,四边形A8CO是矩形，

：・AC=BD=4,OA=OC=OB=OD,AB//CE

：.OA=OC=2fZACD=ZCAB=36°f

图中阴影部分的面积为：2x酶工=3乃，

3605

故答案为：31.

5

【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

【例19］（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟12/26）如图，两个半径长均为④的直角扇形的圆

心分别在对方的圆弧上，扇形CFQ的圆心C是的中点，且扇形C/7）绕着点C旋转，半

径AE、CP交于点G,半径BE、CD交于点H,则图中阴影面积等于（）

TT7T

A.--1B.--2C.klD.7t-2

22

【考点】全等三角形的判定与性质；扇形面枳的计算；旋转的性质

【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CMJ_AE,作CNA.BE,垂足分别为M、

N,然后证明ACMG与△CN”全等，从而得到中间空白区域的面积等于以正为对角线的正

方形的面积，从而得出阴影部分的面积.

【解答】解：两扇形的面积和为：18（）乃.（扬2=*

360

过点C作CM_L4£,作CNJ_8E,垂足分别为M、N,

:点C是A3的中点,

：.EC平分NAE8,

:・CM=CN,

・•・矩形EMCN是正方形，

ZA/CG+ZFC7V=9O°,/NCH+/FCN=90。,

：./MCG=/NCH,

在△CMG与△CN〃中，

ZMCG=NNCH

CM=CN,

NCMG=/CNB=9U

:•△CMGQ4CNH（ASA）,

中间空白区域面积相当于对角线是e的正方形面积，

空白区域的面积为：-x>/2xV2=l,

2

•••图中阴影部分的面枳=两个扇形面积和-2个空白区域面枳的和=丁2.

故选：D.

【点评】此题主要考查了扇形的面积求法，正方形的面积的计算,全等三角形的判定和性质，

得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键.

—

巩固训练

______________________

1.（3分）（2021•赤峰10/26）如图，点C,。在以45为直径的半圆上，且Z4£>C=120。，

点E是45上任意一点，连接BE、CE.则N8EC的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.60°

2.（3分）（2021•鄂尔多斯16/24）如图，已知正方形ABC。的边长为6,点尸是正方形内一

点，连接CF,Z）「，且NA£>F=NDCF,点E是4）边上一动点，连接EB,EF,则EB+EF

长度的最小值为_3旧-3_.

3.（2分）（2021•吉林5/26）如图，四边形A8C。内接于。。，点P为边4）上任意一点（点

P不与点A,O重合）连接CP.若NB=120。，则NAPC的度数可能为（)

A.30°B.45°C.50°D.65°

4.（3分）（2021•海南10/22）如图，四边形是00的内接四边形，8E是。。的直径,

连接AE.若NBCD=2NBAD,则ND4E的度数是（）

A.30°B.35°C.45°D.60°

5.（4分）（2021•重庆B卷5/26）如图，4B是。。的直径,AC,5c是。。的弦,若N4=20。,

则N8的度数为（）

6.（4分）（2021•安徽10/23）在△48C中，ZACB=90°,分别过点B,C作NBAC平分

线的垂线，垂足分别为点。，E,8C的中点是连接CD,MD,ME.则下列结论错误的

是（）

A.CD=2MEB.ME//ABC.BD=CDD.ME=MD

7.（3分）（2021•天津18/25）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△A8C的顶点

A,C均落在格点上，点8在网格线上.

（I）线段AC的长等于_6_;

（II）以为直径的半圆的圆心为O,在线段至上有一点尸，满足AP=AC.请用无刻

度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求

证明）.

8.18分)(2021•重庆A卷26/26)在△ABC中，AB=AC,。是边3c上一动点，连接4),

将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得ZDAE+NBAC=180°.

(1)如图1,当NR4C=90。时，连接8E,交AC于点若8E平分NABC,BD=2,求

AF的长；

(2)如图2,连接3E,取的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证

明你的猜想：

(3)如图3,在(2)的条件下，连接OG,CE.若N54C=120。，当BD>CD,ZA£C=150°

时，请直接写出处空的值.

为边上一点，点F为直线匕一■点，连接£F.

(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点8重合，且GF的延长线过点C时，连接OG,求线段OG的长；

②如图2,点E不与点A,3重合，G尸的延长线交8c边于点“，连接£77,求证：

BE+BH=y/3BF；

(2)如图3,当点£为中点时，点M为3E中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点

F从班)中点Q沿射线以>运动，将线段即绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,连接口,

当+最小时，直接写出的面积.

2

10.（3分）（2021•西臧8/27）如图，△BC£>内接于。O,ZD=70°,04J_8c交。。于点

A,连接AC,则N04C的度数为（）

A.40°B.55°C.70°D.110°

11.（7分）（2021•北京28/28）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1.对于点A和线

段BC,给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到。。的弦（B、。分别是8,

C的对应点），则称线段BC是。O的以点A为中心的“关联线段”.

（1）如图，点A,Bi,Ci，B2,C2,明，C3的横、纵坐标都是整数.在线段Bi。，82c2,

83c3中，。。的以点A为中心的“关联线段”是82c2;

（2）ZVIBC是边长为1的等边三角形，点A（0,f）,其中f#0.若BC是。O的以点A为

中心的“关联线段”，求，的值；

（3）在△ABC中，AB=\,AC=2.若8C是。。的以点A为中心的“关联线段”，直接写

出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.

12.（3分）（2021•包头18/26）如图，在。4BCD中，4）=12,以4）为直径的OO与

相切于点E,连接OC.若OC=A8,则D4BCO的周长为_24+6百

13.(8分)(2021•通辽24/26)如图，是。。的直径，过点A作。。的切线AC,点尸是

射线AC上的动点，连接OP,过点5作BO〃OP,交0。于点。，连接PD.

(1)求证：PD是。O的切线；

(2)当四边形POBD是平行四边形时，求NAPO的度数.

14.(10分)(2021•天津21/25)已知△ABC内接于。O,AB=AC,ZBAC=42°,点。是

。。上一点.

(I)如图①，若或)为。。的直径，连接8,求N£>8c和NA8的大小；

(II)如图②，若C£)〃BA,连接4),过点作。。的切线，与OC的延长线交于点£,求

NE的大小.

15.(10分)(2021•广东24/25)如图，在四边形45CD中，AB//CD,ABHCD,ZABC=90°,

点、E、产分别在线段BC、A£>上，且EF〃CQ,AB=AF,CD=DF.

(1)求证：CF工FB；

(2)求证：以4)为直径的圆与3c相切；

(3)若EF=2,NDFE=120°,求△AOE的面积.

cD

16.（3分）（2021•包头5/26）如图，在RtZ\ABC中，ZAC3=90。，AB=«,BC=2,以

点A为圆心，AC的长为半径画弧，交4?于点。，交AC于点C,以点3为圆心，AC的

长为半径画弧，交于点E,交BC于点尸，则图中阴影部分的面积为（）

7TTT

A.8-TTB.4—TTC.2---D.1---

44

17.（3分）（2021•赤峰13/26）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）

22

A.24万CB.48%C”/C.96兀cmD.36兀cm

18.（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟15/26）将圆心角为120。的扇形围成底面圆的半径为lew

的圆锥，则圆锥的母线长为_3的_.

19.（3分）（2021•呼和浩特13/24）已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开

图（扇形）的弧长为（用含乃的代数式表示），圆心角为一度.

20.（3分）（2021•鄂尔多斯13/24）如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿

一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120。的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为30

cm.

21.（2分）（2021•河北16/26）如图，等腰△AO8中，顶角乙408=40°,用尺规按①到④

的步骤操作:

①以。为圆心，04为半径画圆;

②在。。上任取一点尸（不与点A,B重合），连接AP；

③作AB的垂直平分线与（DO交于M,N；

④作AP的垂直平分线与交于E,F.

结论I：顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形；

结论H:。。上只有唯一的点P,使得S原形FOM=S扇彩40B.

对于结论I和II,下列判断正确的是（）

A.1和【I都对B.I和II都不对C.1不对II对D.［对H不对

22.（3分）（2021•山西9/23）如图，正六边形A8CDE尸的边长为2,以A为圆心，AC的长

为半径画弧，得EC,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为（）

B

A.2/rB.4兀C.—D.汉3■万

33

23.（3分）（2021•吉林14/26）如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,Z4=30°.BC=2.以

点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC,AB于点。，E,则图中阴影部分的面积为

家-屋（结果保留办

24.（4分）（2021•重庆B卷16/26）如图，在菱形ABC。中，对角线AC=12,BD=16,分

别以点A,B,C,。为圆心，工48的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部

2

分的面积为_96-100万一（结果保留〃）

25.（4分）（2021•广东13/25）如图，等腰直角三角形中，Z4=90°,BC=4.分别以

点8、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交A3、BC、AC于点。、E、F,

则图中阴影部分的面积为_4-

BEC

26.（3分）（2021•河南14/23）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,

£）均在小正方形的顶点上，且点3,。在AD上，ZfiAC=22.5°,则8c的长为_区一

27.（9分）（2021•江西21/23）如图1,四边形A8C。内接于。O,AO为直径，过点C作

CEJ_AB于点E,连接AC.

（1）求证：NCAD=NECB；

（2）若CE是。。的切线，ZCAD=30°,连接OC,如图2.

①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当A8=2时，求AO