高中数学知识点完全总结

高中数学概念总结

函数

1、若集合A中有n(〃eN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为第，所有非空真子集的个数是2"-2。

卜(Aac_、

二次函数>=以2+历;+。的图象的对称轴方程是*=———，顶点坐标是——,；。用待定系数法

2aI2。4。,

求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即/(x)=ax2+bx+c(一般式)，

f(x)-a(x-X1)・(x-X2)(零点式)和/(x)=a(x-m)2+〃(顶点式)。

塞函数y=x",当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象是

函数y=,2-5x+6］的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+8),单调递增区间是［2,2.5］和［3,+8),单调递减区间是(—8,2］和［2.5,3］。

二、三角函数

1、以角。的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边上任取一个异于原点的点

yxyxrr

P(x,y),点P到原点的距离记为「，贝ijsina=—,cosa=—,tgcr=—,ctga=—,seccr=—,csca=—。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sin2«+cos2a=1,\+tg-a=sec2a,\+dg2a=esc2a；

倒数关系是：tgee-etga=1,sinacsca=1,cosa-seccr=1；

L人wkEsincrcosa

相It除r关系是：tga=-------,etga=-------

cosasiner

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限“如：sin（^--cif）=-COS6Z,cfg（j——a）=tga,

tg(37r-a)=-tgao

27r

4、函数y=4sin（姐+0+8（其中A>0,0>0）的最大值是A+8,最小值是8—A,周期是7=——，频

CD

率是/=色，相位是郎+夕，初相是尹；其图象的对称轴是直线如+夕=左乃+王（女€2）,凡是该图象与

2万-------——2

直线y=B的交点都是该图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

r

JiJi77j'ji

y=sinx的递增区间是2k万一,,2k；T+耳（keZ）,递减区间是2k万+万,2%乃+《-（keZ）；y=cosx

的递增区间是［2%万一乃,2%万］伏wZ）,递减区间是［2人乃,2&乃+乃］（keZ）,y=tgx的递增区间是

kre----，%乃+—（&EZ）,y=c，gx的递减区间是（k乃，上万+万）（kwZ）。

6、sin(a±夕)=sinercos0±cosasin0

cos(a±4)=cosacos夕干sinasin(3

tga土tg。

tg(a+p)

\+tgatg/3

7、二倍角公式是：sin2a=2sina-cosa

COS2£Z=COS2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2dz

2tga

tg2a

1-fg2a

8、三倍角公式是：sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa

a1-cosa1+coser

9、半角公式是：sin-=±cos-=±

2222

al-cosa1-cosasina

tgy=±

v1+cosasina1+cosa

0a.△・2a

10、升幕公式是：1+cosa=2cos——1-cosez=2sin一。

22

、降累公式是：《1+cos2a

11sir?aJos2acos2a=-------------。

22

-ai2a-a

2tg317g—2fg5

12>万能公式：sin。二--------costz=-------tga=.........-

1oa£

1+%一,1+为2iTg—

2

13、sin(a+J3)sin(a-J3)=sin2a-sin2ft,

cos(ex+yff)cos(a-y^)=cos2a—sin2/=cos2/—sinaa。

14>4sinasin(60。—a)sin(60°+a)=sin3a；

4cosacos(60°-a)cos(60"+a)=cos3a；

火afg(60。-a)氏(60"+。)=火3a。

15、ctga-tga=2ctg2a。

0V5-1

16>sinl8=--------o

4

17、特殊角的三角函数值:

7171717T34

a0兀

6~4T7T

]_五73

sina010-1

2VV

百722

cosa10-10

~T~T2

君

tg。01匹不存在0不存在

T

V3

ctga不存在炳10不存在0

T

cihc

18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圆半径)：--=--=--=2R

sinAsinBsinC

由余弦定理第一形式，b~=cr+c~-2accosB

+cz—b

由余弦定理第二形式，cosB=^—-―-

20、ZiABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则:

=—a=—besinA=…；

22

(§)5=2R2sinAsinBsinC；@S=-----；

⑤S='p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

21、三角学中的射影定理：在4ABC中，b=a-cosC+c・cosA,…

22在ZkABC中，A<B<^>sinA<sinB,…

23>在4ABC中：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

fgA+tgB+tgC=tgA-tgBtgC

24、积化和差公式：

①sina•cos(3=—[sin(a+/)+sin(a--)],

③cosa•cos/3=3[cos(a+/)+cos(a-夕)],

④sina•sin/?=—g[cos(a+/)—cos(a-夕)]。

25、和差化积公式：

.x+yx-y

①sinx+siny=2sin—广・cos—广

小.△x+y.x-y

@sinx-siny=2cos--------sin-------

22

cX+yx-y

③cosx+cosy=2cos--------cos-------

@cosx-cosy=-2sin/；：•sin~~~

反三角函数

1、y=arcsinx的定义域是［-1,1］,值域是［-七,王］,奇函数，增函数;

22

y=arccosx的定义域是［-1,1］,值域是［0,万］,非奇非偶，减函数;

y=的定义域是R,值域是(一','),奇函数，增函数；

y=〃nx£gx的定义域是R,值域是(0,乃)，非奇非偶，减函数。

2、当x£[—1,1]时，sin(arcsin%)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=Jl-cos(arcsinx)=Jl--

arcsin(-x)=一arcsinx,arccos(-x)=兀-arccosx

兀

arcsinx+arccosx=—

2

对任意的XE/?,有：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx,arcctg(-x)=冗一arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

当龙。0时，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=­

xxo

3、最简三角方程的解集：

\a\>1时,sinx=。的解集为。；

|«|<1时,sinx=a的解集为卜卜=〃乃+(-1)"・arcsina,nGz}

同〉1时,cosx=〃的解集为。；

|«|<1时,cosx=a的解集为卜=2/?arccosneZ/

asR,方程吆x=〃的解集为卜,=n7i+arctga,zzGZ)；

aeR,方程cfgx=a的解集为{x|x=〃)+arcctga,nGZ}O

四、不等式

1、若n为正奇数，山可推出a"<6"吗？(能)

若n为正偶数呢？(仅当a、b均为非负数时才能)

2、同向不等式能相减，相除吗(不能)

能相加吗？(能)

能相乘吗？(能，但有条件)

3、两个正数的均值不等式是：—

2

三个正数的均值不等式是：叱…之痂

3

n个正数的均值不等式是：-2"之可/&2…a.

n

4、两个正数a、力的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、双向不等式是：|。一网归,土耳《同+网

左边在ab<0(>0)时取得等号，右边在ab20(<0)时取得等号。

五、数列

1、等差数列的通项公式是%=%+("—l)d,前n项和公式是：S"="回+偌)="/+；〃(〃—1)1。

2、等比数列的通项公式是%

叫(q=1)

前n项和公式是：Sn=b,(l-^"),八

—：-----(qwi)

Ii-q

3、当等比数列｛%｝的公比q满足时<1时，limS“=S=2。一般地，如果无穷数列｛%｝的前n项和的极限limS“

281-q

存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limS“。

M->00

4、若m、n、p、qWN,且加+〃=p+q,那么：当数列｛%｝是等差数列时，Wam+an=ap+a(1；当数列｛a.｝

是等比数列时，有=%q。

5、等差数列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,贝”3传的；

6、等比数列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3n=22；

六、复数

1、i"怎样计算？(先求n被4除所得的余数，严”=厂)

2、(0——■-+ico.,——■是1的两个虚立方根，并且：

12222

3312211

CO｝=0)2=1Ct)]=3必=COX---=①、---=CDX

用_0)2

a)x=3?CD2=coxq+g=-1

3、复数集内的三角形不等式是：同-㈤归忆±44忆|+忆其中左边在复数zi、zz对应的向量共线且反向

(同向)时取等号,右边在复数Z1、zz对应的向量共线且同向(反向)时取等号。

4、棣莫佛定理是：［r（cos^+zsin^）］H=r"（cosnO+isinn0）（neZ）

5、若非零复数z="cosa+isina）,则z的n次方根有n_个,即:

八厂,24乃+a..2k兀+a、/］八1、

z=vr（cos-----------+zsm-----------）（女=0,1,2,…，n-1）

knn

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为〃的圆上，并且把这个圆n等分。

6、若|zj=2,z2=3（cos-y+zsiny）-z,,复数z1、z2对应的点分别是A、B,则AAOB（0为坐标原点）的面积

x2x6xsin—=36。

23

7、Z-Z=|z|2o

8、复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①argz=为实常数）c轨迹为一条射线。

②arg（z-Z。）=，（z0是复常数，，是实常数）—轨迹为一条射线。

③|z—z0|=是正的常数）6轨迹是一个圆。

@|z-z||Tz—ZzKZi、Z2是复常数）0轨迹是一条直线。

⑤|z-zJ+|z-Z2|=2a（Z］、Z2是复常数，4是正的常数）3轨迹有三种可能情形：a）当2a>匕-z?|时，

轨迹为椭圆；b）当2。=忆—Zz|时，轨迹为•条线段；c）当2a〈匕—4时，轨迹不存在。

⑥|z—zj—|z-Z2||=2a（a是正的常数）一轨迹有三种可能情形：a）当2a<%—Z2］时，轨迹为双曲线；b）

当2a=忆—Z2I时，轨迹为两条射线；c）当2a>匕—Z21时，轨迹不存在。

七、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2、排列数公式是：P,；"=/?（»-1）•••（«-m+1）=

（n-my.;

排列数与组合数的关系是：P；：'=m!-C；

组合数公式是：c：=〃（”1）一・（"〃?+1）=——>11——.

1x2x・・♦x加他!・（〃一m）!

组合数性质：-C：+C：；I=C3

yC；n=2"rC；n=nC；n-—；l

r=0

c；+c3+c；+2+-+c；y

3、二项式定理：(a+b)"^C°a"+C\an-'b+C；,an-2b2+…+C；a"方+…+C»”二项展开式的通项公式:

(।S=0，l，2…，«)

八、解析几何

1沙尔公式：|4川=4一4

2、数轴上两点间距离公式：|4同=瓦—“

22

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：|P,P21=A/(xl-x2)+(yl-y2)

----PP

4、若点P分有向线段＜只成定比入，则入=」一

■PP2

5、若点片(王，%)，P,(x2,y2),P(x,y),点P分有向线段而成定比入，贝不入=二』=2二2k；

-x乃一y

、,=%+加2

-1+/L

若A(X”M),B{x2,y2),C(x3,y3),则ZXABC的重心G的坐标是1+•，%+乃+)’3

6、求直线斜率的定义式为k=fga,两点式为k=2二2。

7、直线方程的几种形式：

点斜式：y-y0=k(x-x0),斜截式：y=kx+b

两点式：之二=截距式：土+工=1

y2-y}x2-xxab

一般式：Ax+6y+C=0

经过两条直线卜Ax+^y+G=0和/A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程是：

4x+5]y+G+x+B-yy4-)—0

8,直线ky=&x+如/：y^kx+h,则从直线人到直线4的角。满足：火，=」一L

2221+k、k2

k-k

直线L与乙的夹角©满足：次。==L

1+k、k)

直线/,：4工+用y+G=0,Z2：A2x+B2y+C2=0,则从直线乙到直线4的角。满足：

Aj52—A-)B1

tge=

AA,+B]B、

4冬—4月

直线L与4的夹角o满足:tg9=

4A,+B]

9、点P(%,y。)到直线/：Ax+8y+C=0的距离：

_\Axn+By()+C\

‘U2+B2

10、两条平行直线4：Ax+By+C,=0,/2：Ax+By+g=0距离是

11、圆的标准方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2

圆的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F^Q(D2+E2-4F>0)

Jn2F2-4/r(DE

其中，半径是r="+—,圆心坐标是-上与

2I22

思考：方程X2+>2+Dr+Ey+F=0在。2+七2-4/=0和£>?+七2一4口<0时各表示怎样的图形？

12、若A(x”yJ,B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是

(♦一一)(一一%2)+(—-—)(一--2)=0

经过两个圆

2222

x+y+Dtx+E|>+K=0,x+y+D2x+E2y+F2=0

的交点的圆系方程是：

x~+y~+DyX+E]y+G+%(x~+)'~+D-,x+£12,+尸2)=0

经过直线/：Ax+By+C^0与圆x2+y2+Dx+Ey+F的交点的圆系方程是：

x2+y2+Dx+Ey+F+"Ax+By+C)=0

13、圆/+/=/的以p（x0,yo）为切点的切线方程是

2

xox+yoy=r

一般地，曲线4/+。2一。;1+£,+歹=0的以点尸（项），%）为切点的切线方程是：

AtoX+Cvoy—。•王尹+E•上署+尸=0。例如，抛物线V=4x的以点P（1⑵为切点的切线方程是:

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：△>（）,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大了半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、

相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：y2=2px,y2=-2px,

22

x=2py,x=-2pyQ

16、抛物线y2=2px的焦点坐标是：],o],准线方程是：x=—g

若点P（x0,yo）是抛物线V=2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：Xo+5，过该

抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：2〃。

2222

17、椭圆标准方程的两种形式是：0+q=1和鼻+与=1

a2b2a2b-

（6f>Z?>0）o

222

18、椭圆三+与=1（a>6>0）的焦点坐标是（土c,0）,准线方程是x=±J,离心率是e=£,通径的长是

19、若点「（/，九）是椭圆三+27=1（。>匕>°）上一点，K、B是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是

a~b

仔耳|二〃+exG和|PF2|=a-exG

双曲线标准方程的两种形式是：「一「=1和4—土

a2b2a2h

(a>0,/?>0)o

222c2b2

21、双曲线5=1的焦点坐标是(士c,0),准线方程是x=±—，离心率是e=£,通径的长是吆渐近

ab--------caa

线方程是《一工=0。其中c2=a2+/。

a2b----------------

22222

与双曲线二•一与=1共渐近线的双曲线系方程是与-二=2(20)ov

22、与双曲线=l共焦点的双

ab~ab~a2b2

x1y2

曲线系方程是=1o

a2+kh2-k

\AB\^^\+k2)(-xy；

23、若直线y=fcx+b与圆锥曲线交于两点A(X],y。,B(X2,yz)，则弦长为Xi2

\^B\=,(1+加2)(必一九)2o

若直线x=+f与圆锥曲线交于两点A(X],yD，B(x2,y2)，则弦长为

J2

24、圆锥曲线的焦参数P的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有：p=L

C

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是(h,k),若点P在原坐标系下的坐标是(x,y),在

新坐标系下的坐标是(x',y')，则x'=x-/?,y'-y-ko

九、极坐标、参数方程

JQ-JQ+at

1、经过点鸟(公,>0)的直线参数方程的一般形式是：一°'”是参数)。

y=y<)+bt

,八、(X+/COS6Z-4、“，

2、若直线/经过点用(乙，汽)，倾斜角1为,a，则直线参数方程的标准形式是：\X-°n,。是参数)。

y=汽+fsina

其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段解的数量。

若点巴、P2、P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是小G和3则：%舄=工一修|；当

点p分有向线段而成定比％时，当点p是线段PF2的中点时，殳。

1+22

x=Q+、cosa

,.(a是参数)o

{y=Z?+rsina

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(夕&),直角坐标为(x,y),

则x=/9cos。，y=psin。，p=Jx2+y2,tg0=-o

4、经过极点，倾斜角为a的直线的极坐标方程是：6=二或，=乃+&,

经过点3,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：pcosO=a,

经过点（a,工）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：psinO=a,

2----------

经过点So，%）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：Psin（6-a）=Asin（4—a）。

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是p=r；

圆心在点（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程是夕=2acos6；

圆心在点（a,10，半径为a的圆的极坐标方程是夕=2asin

圆心在点（Po，%）,半径为r的圆的极坐标方程是22+0；-2/?°oCOS（6-，0）=非。

6、若点M（0,4）、N（p2,%），则MM=J/?；+夕；-Zp、p【cos©-%）。

十、立体几何

1、求二面角的射影公式是cos6=幺，其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S'是图

S

形F在二面角的另一个面内的射影，6是二面角的大小。

2、若直线/在平面a内的射影是直线直线m是平面a内经过/的斜足的—条直线，/与/'所成的角为用，厂与

m所成的角为。2，/与m所成的角为0,则这三个角之间的关系是cos。=cosg-cos/。

3、体积公式：

柱体：V-S-h,圆柱体：V=兀产•h。

斜棱柱体积：V^S'-l（其中，S'是直截面面积，/是侧棱长）;

11,

锥体：V^-S-h,圆锥体：V=上兀户

33

台体：V=g./z（S+JSS+W）,圆台体：V=1^(/?2+/?r+r2)

3

球体：V--nro

3

4、侧面积：

直棱柱侧面积：S=ch,斜棱柱侧面积：S=，'•/；

正棱锥侧面积：S=-c^h\正棱台侧面积：S=-（c+c>,；