2021-2022学年安徽省滁州九校高二上学期第四次调研考试数学试题

20212022学年安徽省滁州九校高二上学期第四次调研考试数学试题一、单选题1．在等差数列中，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列通项公式可直接求得结果.【详解】.故选：B.2．过点且与直线平行的直线的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行条件求解【详解】过点且与直线平行的直线方程为，即．故选：A3．若抛物线上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是（

）．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用抛物线的定义，求解即可．【详解】抛物线的焦点，准线为，由P的横坐标为3，所以P到准线的距离为5，故点P到焦点的距离是5．故选：C.4．已知，，若，则m的值为（

）．A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示求解【详解】因为，所以，即，解得．故选：C5．圆关于原点对称的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.【详解】由知其圆心为，半径；圆心关于原点对称的点为，即所求圆的圆心为，又所求圆的半径，所求圆的方程为：.故选：B.6．已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（

）．A． B． C． D．或5【答案】C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得．故选：C.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下7个环所需的最少移动次数为（

）A．31 B．64 C．70 D．127【答案】B【分析】根据递推公式计算【详解】因为，所以，，，，，故选：B8．已知直角三角形的顶点，，且，点在直线上，则点的坐标为（

）．A． B．或C． D．或【答案】B【分析】设，由可得，根据向量数量积的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】设，则，，，即，，解得：；或.故选：B.9．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则时直线l的方程为（

）．A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】求得圆心为，半径为，直线l斜率不存在时，直线l的方程为，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，根据，由圆心到直线l的方程为的距离为求解.【详解】因为圆化为，所以圆心为，半径为，因为，所以圆心到直线的距离为，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时圆心到直线的距离为1，满足条件，当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，圆心到直线l的方程为的距离为因为，所以由弦长公式得：，解得，此时直线方程为：，综上所求直线为或．故选：D10．在直三棱柱中，底面是等边三角形，，则与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的数量积定义求解【详解】令，则，又，，所以，又，，所以与所成角的余弦值为．故选：A11．已知为等差数列的前n项和，且，，则（

）．A．35 B．50 C．80 D．110【答案】C【分析】由等差数列前n项和的性质求解【详解】由为等差数列的前n项和，则，，，也成等差数列，所以5，15，，成等差数列，即，，所以．故选：C12．圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】易得双曲线的一条渐近线为和圆的圆心，半径为5，根据圆C上有四个点到的距离为2，由圆心到的距离求解.【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径为5，因为圆C上有四个点到的距离为2，所以圆心到的距离，即，而，所以，即．故选：C二、填空题13．已知数列，，，…，，…，则是该数列的第______项．【答案】【分析】令即可解得结果.【详解】令，解得：，是该数列的第项.故答案为：.14．已知不过原点的直线过点且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程是______．【答案】【分析】利用直线的截距式直接求解即可.【详解】不过原点且在两个坐标轴上的截距互为相反数，可设其方程为，又过点，，解得：，，即方程为：.故答案为：.15．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，其公差为3，所以，解得，所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．故答案为：916．设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为______．【答案】【分析】设，可得出，，利用勾股定理可得出关于与的等式，解出，可得出关于、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率.【详解】设，，所以，，，所以，，．，则，即，解得，由，即，所以，，则，解得．因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.三、解答题17．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为．(1)求圆的方程；(2)设直线与圆没有公共点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，结合圆心坐标可得出圆的方程；（2）根据直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】(1)解：由题意可知，圆的半径为，因此，圆的方程为.(2)解：因为直线与圆没有公共点，所以点到直线的距离，可得，解得，所以的取值范围为．18．记为等差数列的前n项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)求使得的n的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，即可求得的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式，求得，结合，列出不等式，即可求解.【详解】(1)解：设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以数列的通项公式为．(2)解：由（1）知，可得，又由等价于，即，解得，所以的取值范围是．19．已知抛物线上纵坐标为3的一点P到焦点的距离为5．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l经过点，且与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为，，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用抛物线的定义即求；（2）由题可设的方程为，联立抛物线的方程，由韦达定理及斜率公式即可求解.【详解】(1)抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得点P到焦点的距离即为点P到准线的距离，所以，解得，所以抛物线C的标准方程为．(2)由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，代入抛物线方程化简得，所以，所以．20．已知数列的前n项和为，点在二次函数的图像上．(1)求；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据在二次函数的图像上，得到，然后利用思路通项和前n项和的关系求解；（2）由（1），分和，利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】(1)解：因为点在二次函数的图像上，所以，当时，；当时，，满足上式．所以．(2)当时，；当时，．当时，；当时，．综上，．21．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别是，BC，的中点．(1)证明：平面；(2)求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点Q，连接PQ，CQ，证明，原题即得证；（2）以A为原点，以AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直线坐标系，再利用向量法求解.【详解】(1)解：取的中点Q，连接PQ，CQ，因为P，Q分别是，的中点，所以，在直三棱柱中，，又N为BC的中点，所以，所以四边形PQCN是平行四边形，所以．因为，平面，平面，所以平面．(2)解：在直三棱柱中，平面ABC，，如图，以A为原点，以AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直线坐标系，则，，，，，，因为M，N，P分别是，BC，的中点，所以，，，所以，，设平面PMN的一个法向量为则，即，取，则．由平面ABC，得平面ABC的法向量，设平面PMN与平面ABC所成锐二面角为，则，所以平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．22．已知椭圆的离心率为，短轴长为4．(1)求C的标准方程；(2)过C的左焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交C于A，B两点，交C于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ恒过x轴上一定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意得到方程组，即可求出、、，从而求出椭圆方程；（2）设直线AB的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到的坐标，将