2023-2024学年浙江省湖州二中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省湖州二中高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算2(1−i)2的结果是A.2i B.−2i C.i D.−i2.已知a，b为单位向量，则“a，b的夹角为2π3”是“|a−bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知事件A、B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A+B)=(

)A.0.58 B.0.9 C.0.7 D.0.724.从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是(

)A.至少有一名男老师与都是男老师 B.至少有一名男老师与都是女老师

C.恰有一名男老师与恰有两名男老师 D.至少有一名男老师与至少有一名女老师5.若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为S甲和S乙，侧面积分别为S1和S2.若SA.2 B.22 C.26.已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(

)A.128π B.100π C.52π D.50π7.某测量爱好者在城市CBD核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部(当作点Q)一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得摩天大楼顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为(

)

A.350米 B.400米 C.450米 D.500米8.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，BNA.1 B.87 C.97 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于向量的说法正确的是(

)A.若a/​/b，b/​/c，则a/​/c

B.若单位向量a,b夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为cosθb

C.若a与b不共线，且sa10.在△ABC中，下列说法正确的是(

)A.若A>B>C，则sinA>sinB>sinC

B.若A>B>C，则sin2A>sin2B>sin2C

C.若A>B>C，则cosA<cosB<cosC

D.若A>B>C，则cos2A<cos2B<cos2C11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=2，EA.直线CF与A1B为相交直线

B.异面直线DB1与CE所成角为90°

C.若P是棱C1D1上一点，且D1P=1，则E、C、P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=(m2−m−2)+(m−2)i为纯虚数，则实数m=13.某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为______．14.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有两道满分均为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为001，002，⋯，900.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，则估计该校900名学生的选做题得分的平均数为______，方差为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足4S+bc⋅tan(B+C)=0．

(1)求角A的大小；

(2)若a=4，求16.(本小题15分)

我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求全市家庭月均用水量不低于6t的频率；

(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；

(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值(精确到0.01)．

17.(本小题15分)

如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=1，点D是AB的中点．

(1)证明：AC1/​/18.(本小题17分)

如图1，在矩形ABCD中，已知AB=22,BC=2,E为AB的中点.将△ADE沿DE向上翻折，进而得到多面体A1−BCDE，如图2．

(1)当平面A1DE⊥平面EBCD时，求直线A1C与平面EBCD19.(本小题17分)

已知函数f(x)=|2x−a|+3a，a∈R．

(1)若函数f(x)为偶函数，求a的值；

(2)设函数g(x)=f(x)−8x(x∈[1,4])，已知当a∈[2,8]时，g(x)存在最大值，记为M(a)．

(ⅰ)求M(a)的表达式；

(ⅱ)求M(a)参考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.C

9.BC

10.ACD

11.AC

12.−1

13.131614.7.2

3.56

15.解：(1)∵A+B+C=π，∴4S=−bctan(B+C)=−bctan(π−A)=bctanA，

则2bcsinA=bcsinAcosA，∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，∴cosA=12，

又∵A∈(0,π)，∴A=π3；

(2)∵a=4，A=π3，∴由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，

即b2+c2−16=bc，(b+c)2=16+3bc，

所以(b+c)16.解：(1)全市家庭月均用水量不低于6t的频率为(0.09+0.06)×2=0.3；

(2)全市家庭月均用水量平均数的估计值为0.06×2×1+0.11×2×3+0.18×2×5+0.09×2×7+0.06×2×9=4.92；

(3)因为0.06×2+0.11×2+0.18×2=0.7<0.75，0.06×2+0.11×2+0.18×2+0.09×2=0.88>0.75，

所以全市家庭月均用水量的75%分位数为6+0.75−0.70.1817.解：(1)证明：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=1，点D是AB的中点，

连接BC1，交B1C于M，由题意M为BC1的中点，∴MD//AC1，

又AC1⊄平面CDB1，MD⊂平面CDB1，

∴AC1/​/平面CDB1；

(2)连接AB1，由题意得B1C1/​/BC，

则异面直线AC1和BC所成角转化为∠A18.解：(1)在题图1中，连接AC交DE于点F，易知AC=23，

因为ADAB=AEBC，∠DAE=∠ABC=90°，

所以△DAE∽△ABC，可得AC⊥DE，

易知△DFC∽△EFA，

则AF=233，CF=433，

因为平面A1DE⊥平面EBCD，平面A1DE∩平面EBCD=DE，A1F⊂平面A1DE，

所以A1F⊥平面EBCD，

则∠A1CF是直线A1C与平面EBCD所成角，

所以tan∠A1CF=A1FCF=12；

(2)如图，作出A1F，AC，过点A1作A1H⊥FC，垂足为H，过点H作HG⊥DC，垂足为G，连接A1G，

由(1)可知DE⊥CF，DE⊥A1F，CF∩A1F=F，CF，A1F⊂平面A1FC，

则DE⊥平面A1FC，且A1H⊂平面A1FC，可得A1H⊥DE且A1H⊥FC，

又FC∩DE=F，DE，FC⊂平面BCDE，

所以A1H⊥平面BCDE，

由CD⊂平面BCDE，可得A1H⊥CD，

又因为HG⊥CD，A1H∩HG=H，A1H，HG⊂平面A1HG，

所以CD⊥平面A1HG，由A1G⊂平面A1HG，

可得CD⊥A1G，

所以∠A1GH是二面角A1−CD−B的平面角，

19.解：(1)因为f(x)=|2x−a|+3a为偶函数，所以f(−x)=f(x)，

即|2(−x)−a|+3a=|2x−a|+3a，即|−2x−a|=|2x−a|，所以(−2x−a)2=(2x−a)2，

即8ax=0，所以a=0；

(2)(i)因为g(x)=f(x)−8x(x∈[1,4])，

所以g(x)=|2x−a|+3a−8x，因为a∈[2,8]，

所以g(x)=|2x−a|+3a−8x=−2(x+4x)+4a,1≤x≤a22(x−