2024届山东省菏泽市某校高三宏志班上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省菏泽市某校2024届高三宏志班上学期9月月考数学试题一、单选题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因为，所以，因为，，所以，所以，故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，而，所以.故选：C.3.函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗令得，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，故选：C.4.已知为锐角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D5.已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；又知当时，，对于C选项，的定义域为，当时，，所以C选项错误；对于D选项，的定义域为，当时，，所以D选项符合题意.故选：D.6.已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递减〖答案〗B〖解析〗观察图象知，，，则，而，于是，函数的周期满足：，即，解得，又，即有，而，于是，因此，所以，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则，所以，显然函数为非奇非偶函数，故A错误；的最小正周期，故B正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，则的图象不单调，故D错误.故选：B7.已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.8.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以在上的值域，当时，，①当时，在上递增，所以的值域为，由题意得，得，因为，所以，②当时，，则在上递增，所以的范围为，在上递减，所以的范围为，由题意得，得，因为，所以，综上，实数的取值范围为，故选：D二、多选题9.已知，满足，则（）A B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A：取，，则，故A错误；对于B：构造函数，则，故在为增函数，故，即，故B正确；对于C：，故与两式相乘得，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC.10.已知函数的定义域为，则为奇函数的必要不充分条件是（）A. B.为奇函数C.存在无数个， D.为偶函数〖答案〗ACD〖解析〗不能得到为奇函数，为奇函数一定有，∴是为奇函数的必要不充分条件，A对.，，既是奇函数，又是偶函数，则，∴则为奇函数，充要条件，B不选.有无数个，不一定有为奇函数，不充分，为奇函数一定有无数个，必要，C选.若为奇函数，则为偶函数，必要性成立；为偶函数，，∴，∴，此时若，则不为奇函数，不充分，D对.故选：ACD.11.若函数的定义域为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗函数的定义域为R，，函数关于对称，即，，的图象关于点对称.对于AB：的图象关于点对称，，但无法判断，故B正确，A错误；对于D：的图象关于直线对称，且，，故D正确；对于C：的图象关于直线对称，的图象关于点对称，，即，，令，则，故C正确.故选：BCD.12.已知函数，则关于函数说法正确的有（）A.最小正周期 B.图象的对称轴方程为：C.在上有最大值为2 D.方程在上有且只有3个根〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，对于A：，所以最小正周期，故A正确；对于B：的对称轴方程为，故B不正确；对于C：当时，，所以，所以，所以函数在上有最大值为2，故C正确；对于D：令，当时，.则，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上有一个零点；当时，.则，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递减，又，，所以在上有唯一的一个零点；当时，.所以，所以在上没有零点，所以方程在上有且只有2个根，故D不正确，故选：AC.三、填空题13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.〖答案〗〖解析〗已知函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，又，且，解得，且，所以定义域为.故〖答案〗为：.14.已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，所以函数在R上递减，所以，即，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.15.已知均为正实数，，则的最小值是__________.〖答案〗4〖解析〗设，，原题转化为：已知，，且，求的最小值.由.当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为4.故〖答案〗：4.16.定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________.〖答案〗〖解析〗由，可得又当时，，所以根据，当时，，可知当时，由上的图象，可作出的图象，如图.当时，，当时，，又，由，可得，，恒有，如图可得的范围是，故〖答案〗为：.四、解答题17.如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点．（1）证明O，C，D三点在同一条直线上；（2）当轴时，求A点的坐标．（1）证明：设，，则，，共线，则，所以，即，所以三点共线；（2）解：由（1）得，即，所以．所以，当时，，重合不合题意，因此，，从而，（负值舍去），所以点坐标为．18.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的单调递减区间和值域.解：（1）因为，，所以，所以的最小正周期是；（2）令，解得，令，则由于，所以的减区间为.因为，则，所以，所以，即函数的值域为.19.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为(弧度)．（1）若，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长．解：（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ﹣r12θ=×36×﹣×9×=9π.所以花坛的面积为9π（m2）.（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知S=r22θ﹣r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32，则r1θ+r2θ=，记r2﹣r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，则y=45×2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+）根据均值不等式得到当x=8时，y有最小值为1440，故当线段AD长为8米时，花坛的装饰费用最小．20.如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由题意知，，点，则有，解得，又为锐角，则，因钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，则，所以.（2）由（1）知，，则，从而，因为为锐角，，则有，即，又，因此，所以.21.设函数，（且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．（1）求和的值；（2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）因为函数是上的奇函数，则，解得，，显然，即函数是奇函数，因此，由，且，解得，所以，.（2）由（1）知，在上单调递增，令，则，，则，令，依题意，在上的最大值为1，二次函数图象对称轴，当，即时，，解得，矛盾，当时，，解得，则，所以存在实数，满足题意.22.已知，当时，.（Ⅰ）若函数过点，求此时函数的〖解析〗式；（Ⅱ）若函数只有一个零点，求实数的值；（Ⅲ）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）函数过点，，，此时函数（Ⅱ）由得，化为，当时，可得，经过验证满足函数只有一个零点；当时，令解得，可得，经过验证满足函数只有一个零点，综上可得：或.（Ⅲ）任取且，则，，即，在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为，，整理得对任意恒成立，令，函数在区间上单调递增，，即，解得，故实数的取值范围为.山东省菏泽市某校2024届高三宏志班上学期9月月考数学试题一、单选题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因为，所以，因为，，所以，所以，故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，而，所以.故选：C.3.函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗令得，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，故选：C.4.已知为锐角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D5.已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；又知当时，，对于C选项，的定义域为，当时，，所以C选项错误；对于D选项，的定义域为，当时，，所以D选项符合题意.故选：D.6.已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递减〖答案〗B〖解析〗观察图象知，，，则，而，于是，函数的周期满足：，即，解得，又，即有，而，于是，因此，所以，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则，所以，显然函数为非奇非偶函数，故A错误；的最小正周期，故B正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，则的图象不单调，故D错误.故选：B7.已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.8.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以在上的值域，当时，，①当时，在上递增，所以的值域为，由题意得，得，因为，所以，②当时，，则在上递增，所以的范围为，在上递减，所以的范围为，由题意得，得，因为，所以，综上，实数的取值范围为，故选：D二、多选题9.已知，满足，则（）A B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A：取，，则，故A错误；对于B：构造函数，则，故在为增函数，故，即，故B正确；对于C：，故与两式相乘得，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC.10.已知函数的定义域为，则为奇函数的必要不充分条件是（）A. B.为奇函数C.存在无数个， D.为偶函数〖答案〗ACD〖解析〗不能得到为奇函数，为奇函数一定有，∴是为奇函数的必要不充分条件，A对.，，既是奇函数，又是偶函数，则，∴则为奇函数，充要条件，B不选.有无数个，不一定有为奇函数，不充分，为奇函数一定有无数个，必要，C选.若为奇函数，则为偶函数，必要性成立；为偶函数，，∴，∴，此时若，则不为奇函数，不充分，D对.故选：ACD.11.若函数的定义域为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗函数的定义域为R，，函数关于对称，即，，的图象关于点对称.对于AB：的图象关于点对称，，但无法判断，故B正确，A错误；对于D：的图象关于直线对称，且，，故D正确；对于C：的图象关于直线对称，的图象关于点对称，，即，，令，则，故C正确.故选：BCD.12.已知函数，则关于函数说法正确的有（）A.最小正周期 B.图象的对称轴方程为：C.在上有最大值为2 D.方程在上有且只有3个根〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，对于A：，所以最小正周期，故A正确；对于B：的对称轴方程为，故B不正确；对于C：当时，，所以，所以，所以函数在上有最大值为2，故C正确；对于D：令，当时，.则，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上有一个零点；当时，.则，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递减，又，，所以在上有唯一的一个零点；当时，.所以，所以在上没有零点，所以方程在上有且只有2个根，故D不正确，故选：AC.三、填空题13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.〖答案〗〖解析〗已知函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，又，且，解得，且，所以定义域为.故〖答案〗为：.14.已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，所以函数在R上递减，所以，即，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.15.已知均为正实数，，则的最小值是__________.〖答案〗4〖解析〗设，，原题转化为：已知，，且，求的最小值.由.当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为4.故〖答案〗：4.16.定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________.〖答案〗〖解析〗由，可得又当时，，所以根据，当时，，可知当时，由上的图象，可作出的图象，如图.当时，，当时，，又，由，可得，，恒有，如图可得的范围是，故〖答案〗为：.四、解答题17.如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点．（1）证明O，C，D三点在同一条直线上；（2）当轴时，求A点的坐标．（1）证明：设，，则，，共线，则，所以，即，所以三点共线；（2）解：由（1）得，即，所以．所以，当时，，重合不合题意，因此，，从而，（负值舍去），所以点坐标为．18.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的单调递减区间和值域.解：（1）因为，，所以，所以的最小正周期是；（2）令，解得，令，则由于，所以的减区间为.因为，则，所以，所以，即函数的值域为.19.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为(弧度)．（1）若，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长．解：（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ﹣r12θ=×36×﹣×9×=9π.所以花坛的面积为9π（m2）.（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知S=r22θ﹣r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32，则r1θ+r2θ=，记r2﹣r1=