高中数学-向量的加法及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学

必修4

教学内容：高中数学必修4,第二章《平面向量》第二节向量的加法

运算及其几何意义第1课时

一、教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行

四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，

并会用它们进行向量运算.

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际

问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、

解决问题的能力.

情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的

乐趣，激发学生的学习热情.培养学生勇于探索、敢于创新的个性

品质.

二、重点与难点

重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两

个向量的和向量.

难点：理解向量的加法法则及其几何意义.

三、教法学法

教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体

辅助教学法”.学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的

自主学习模式.

四、教学过程

新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个

学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程.基于此,

我设定了下面几个教学环节

一、复习回顾

1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？

2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么

叫零向量和单位向量？

二、合作探究

【问题1】如图，某人从点A到点B,再从c

点B改变方向到点C,则两次位移的和可用

哪个向量表示？由此可得什么结论？

学生活动：学生讨论，集体回答

点评：位移是向量.位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。

2、向量加法的定义B

如图，已知非零向量入b,在平面内

T~>A

取一点A,作BC=b,贝!!AC叫作a与3解和。

两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。

一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常

出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向

量数形结合的特征.

3、向量加法的运算法则

【问题2】上面整个计算过程中我们作了一个什么图形？你能不能结

合图形给这种运算法则起个名字？

学生活动：学生讨论，集体回答

(1)三角形法则：定义中求向量和的方法，称为向量加法的三角形

法则

位移的合成可以看成向量加法三角形法则的物理模型。

(2)平行四边形法则

【问题3】图1表示橡皮

条在两个力F1和F2的作

用下，沿GE方向伸长了

E0；图2表示橡皮条在一

个力F的作用下，沿相同

方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与Fl、F2之间的关系

如何？

学生活动：集体回答

【问题4］通过刚才这个过程你发现对向量进行加法运算还可以怎样

进行？

学生活动：学生讨论，集体回答

点评：以同一点。为起点的两个已知向量。、〃为邻边作平行四边形

OACB,则以0为起点的对角线。乙就是£与行的和。我们把这种作两个

向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型o

三、例题精解

例1、已知向量入3,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平

行四边形法则

作出向量"+3

教学活动：师板演作图过程，生集体回答注意事项

小试牛刀

1.如图.已知a.公用向加法的三的形法则作出a+加

学生活动：学生自主解答，生代表展示讲解做题过程

点评：使学生熟练掌握向量加法的两个运算法则

四、模的关系探究

【问题4】想一想

(1)若两向量互为相反向量,则它们的和是什么？(2)零向量和任一

向量］的和是什么？

(3」“卜回，3+刃和W+W的大小关系如何？何时能取到等号呢？

学生活动：学生讨论，代表回答

设计意图：通过三角形三边关系，让学生找出向量的模与他们和的模

之间的大小关系。

五、类比联想，探究性质

1、你能说出实数相加有哪些运算律吗？类比实数加法的运算律，向

量是否也有运算律？

2、作图验证

(1)方+々的结果与G+Z是否相同?

(2)G+B)+Z的结果与G+&+：)的结果呢?

C

bOB

0b

学生活动：学生讨论，代表展示验证过程

设计意图：通过作图验证，加深学生对向量加法运算律的理解。

3、练一练

根据图示填空:

(1)a+h=⑵c+d=

(3)a+b+d=(4)c+d+e=

设计意图：在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推

广到n个向量相加的形式.

六、实际应用

例2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如

图所示,一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的

方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有

效数字）

⑵求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示,

变式训练

船在静水的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使船到对岸的

路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际速度是多少？

设计意图：加强学生对向量加法运算的实际应用能力。

六、小结（这节课我学会了什么？）

本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：

课堂小结：

【问题6］同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最

深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

作业布置：

1、化皂______

（I）AB+C5+BC=

⑵际+丽）+何+国=

（3）砺+（S£>+C4）+DC=

2、一艘船从A点出发以痴分的速度向垂直于对岸的方向行驶，

同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向。

《向量的加法运算》学情分析

向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，是

向量的第二节内容。其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义

得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换

律、结合律进行证明，同时运用它们进行相关计算，这可以让学生进

一步加强对向量几何意义的理解，同时也为接下来学习向量的减法奠

定基础，起到承上启下的重要作用。学生已经通过上一节的学习，掌

握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量。在

学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，

可以合成，而且知道这些矢量合成都遵循平行四边形法则，这为本节

的引入提供了较好的条件。

培养数学的应用意识是当今数学教育的主题。本节课的内容与实

际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。在

向量的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因

此有利于渗透分类讨论的数学思想，而在猜测向量加法的运算律是，

通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、

迁移能力。在实际教学中，类比数的运算，向量也能够进行运算。运

算引入后，向量的作用才能充分发挥。实际上，引入一个新的量后，

考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题。教师应引导学生

体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律,

这样才能正确、方便地实施运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力

等两个物理模型为背景引入的。这样做使加法运算的学习建立在学生

已有的认知基础上，同时还可以提醒学生注意，由于向量有方向，因

此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题，

从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做，有利于

学生更好地把握向量加法的特点。

《向量的加法运算及其几何意义》课堂效果分析

课堂教学效果是教师进行课堂教学的落脚点，一切教学手段的运

用和教学方法的选择最终的目的是课堂教学效果的最大化。教师对每

一个教学环节的设计和方式、方法的选择都要先问自己一声：这样做

的效果会怎样？要紧紧围绕有效和高效这一核心要求来组织和开展

教学活动。当然这里所说的效果是一个综合性的教学效果，内容即包

括基础知识的掌握情况，又包括基本技能的训练效果，同时也包括学

生学习能力的培养和道德情感的教育等。

学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问

题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的

传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。教学任务是否完

成不能只看少数尖子学生，大多数中下学生同样也是知识的接受体,

从他们身上更能体现教学任务是否完成，以及教师的教学水平、教学

质量的高低。

总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限

度的挖掘，智力好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学

生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学中充分体现师生平等、教

学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合

默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教

得轻松，学生学得愉快。

《向量的加法运算》教材分析

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数

和几何的一种工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇

点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在

学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形

法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究，初步

展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定

了基础；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重

要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践。

向量的加法及其几何意义

课堂练习（与课件上同）

L化简

(l)/5+CD+5C=;

(2)(M4+BN)+(AC+CB)=:

(3)AB+(BD+CA)+DC=.

2.根据图示填空

(l)a+b=___;

(2)c+d=;

(3)a+b+d=;

(4)c+d+e=.

3已知O为正六边形/BCD班的中心，说出下列向量的和，并在图中作出:

(1)04+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE

4.设Z表示“向东走lOAm”工表示“向西走5•i”,鼻示"向北走106”，2表示“向

南走5次”，说明下列向量的意义。

(l)dr+a(2)a+b(3)c+a(4)b+c

《向量的加法运算及其几何意义》教学反思

《向量的加法运算及其几何意义》是人教版高一数学必修四第二

章平面向量的线性运算的第一节内容，主要学习向量加法的三角形法

则和平行四边形法则求两个向量的和，是向量计算的基础，教学的好

坏将直接影响到后面的教学。

一、设计思路：

1、以学生熟悉的两个物理问题为背景,设计了学习目标导引下的

学案，让学生在自主学习与合作学习中体验向量加法法则，引导学生

充分利用、活用教材资源，逐步经历向量加法法则、运算律及性质等

的形成过程,并初步体验向量加法的简单应用。基本达到了预期效果。

2、结合我给出的两个问题，让同学们自行阅读教材，并尝试利

用三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和。

3、让学生进行讲解怎么样求两个向量的和，教师引导总结三角

形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和的步骤和要点。

4、学生分组讨论，归纳I|a|-|b||a+b|,|a|,|b|存在着怎样的

关系？

教师适当引导。

5、学生练习、总结，完成本节课的教学。

二、设计意图

通过分组活动、小组讨论等过程，注重引导学生参与探索、归纳

两个向量加法的求法，让学生自主获取知识，学懂三角形法则和平行

四边形法则，而且能感知到研究数学问题的一些基本方法。

三、完成情况

在本节课的实际教学中，学生能通过情景创设获取需要的知识:

类比数的运算，向量也能进行加法运算，为后面的活动奠定了基础,

也激发了学习的热情。

在第二步任意两个向量的求和中，学生能自行模仿课本求出两个

非零向量的和，在老师规范三角形法则和平行四边形法则的做法和要

点后，对向量求和有了比较清晰的认识。

在第三步的分组活动中，学生分组讨论，归纳

I|a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？

多数学生都积极参与讨论，并能适当给出相应的结论，但在整个活动

中，存在少数同学没有积极参与，对向量加法理解不够，在今