高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1 4空间向量的应用同步练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册1.4空间向量的应用

同步练习

一、单选题

1.已知平面a的一个法向量是（2,-w），allp,则下列向量可作为平面£的一个法向

量的是（）

A.（4,2,-2）B.（2,0,4）C.（2,-1,-5）D.（4-2,2）

2.已知直线/的方向向量为加，平面a的法向量为“，则是“/〃。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在棱长为。的正方体48CO-AMGR中，M是4Al的中点，则点A到平面〃龙）的

距离是（）

AA/6RG「百C娓

6643

4.已知平面&内的两个向量。=（1,1,1）1=（0,2,-1）,且0=,”“+帅+（4,-U）.若c为平

而a的法向量，则〃?，”的值分别为（）

A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,—2

5.正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，E,尸分别是AB,8c的中点，则PB

与平面PE/所成角的正弦为（）

A.正B.近C.在D.近

6633

6.如图，矩形A8CZ）中，AB=2AD=242,E为边AB的中点，将,ADE沿直线OE

翻折成△AOE.在翻折过程中，直线AC与平面ABCD所成角的正弦值最大为

c逐一］D.亨

4

7.如图所示，正方体A3CO-AqG。的棱长为4，M,N分别为A3和AC上的

点，且4朋=4"=立°,则削与平面88℃的位置关系是（）.

Bf-------............-A

G*

*>A,

A.斜交B.平行

C.垂直D.不能确定

8.平行六面体ABC。-ABC2的各棱长均相等，484）=90。，

N£>AA,=NAA8=60。，则异面直线与所成角的余弦值为（）

C.在V6

9.将边长为1的正方形AAQ0及其内部）绕。Q旋转一周形成圆柱，如图，4c长为

y,AS长为（，其中与与在平面的。。的同侧，则直线8。与平面AOC所成的角

的正弦值为（）

C

A.走B.@C.—D.-

2323

10.若O为坐标原点，OA=(1,1，-2),OB=(3,2,8),"=(0,1,0),则线段AB的

中点P到点C的距离为()

y/165

B.2y/i4

2

11.如图所示，在直三棱柱ABC-A由G中，AC±BC,且5c=3,AC=4,

CC,=3,点P在棱4A上，且三棱锥A-ABC的体积为4,则直线BG与平面P8C所

成角的正弦值等于（)

A.眄B.正C.叵D.叵

4455

12.已知经过点P(%，X，Z1),法向量为e=(A,仇。的平面方程为

A(x-%)+B(y-y)+C(z-4)=0,现给出平面a的方程为x-y+z=l,平面夕的方程

为=则平面。、夕成角的余弦值为()

636

A.苴B.比C.2D.逑

9333

二、填空题

13.在三棱柱ABC-A4G中，A4,=(-6,2,-8),3c=(4,-2,3),A4=(T/,0),则

该三棱柱的高为.

14.在正方体AB8-ABCP中，点E是棱BC的中点，点尸是棱CD上的动点，当

—=时，，平面AB/.

15.在正方体ABCQ-ABCI"中，二面角A-BA-C的余弦值为

16.如图，在正方体AB8-ABCA中，点尸为线段上的动点，/，N分别为棱

D.P

8cA8的中点，若。尸〃平面4MN,则六=.

17.在正方体ABCD-A9C'。'中，直线A8与平面A'B'CD所成角的大小为

三、解答题

18.如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E,尸分

别在棱AA，cq上，且满足AE=：A4,,CF=gcq,平面8砂与平面A8C的交线

为/.

01

B

(1)证明：直线/J•平面B。。；

(2)已知£F=2,B\=4,设防与平面B。。所成的角为凡求sin。的取值范围.

19.如图，在四棱锥尸中，底面A8C0为菱形，P4_L平面ABCD,

(2)若R4=AB=2,求二面角A-EF-C的余弦值.

20.四棱锥P-A8CQ中，底面ABC。为直角梯形，CDHAB,NABC=90。,

AB=2BC=2CD=4,ffiijffiPADL^ABCD,PA=PD=2.

p.

(1)求证：BDVPA-,

(2)己知平面布。与平面P8C的交线为I,在/上是否存在点N,使二面角P-DCW的

余弦值为g?若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由.

21.如图，六面体ABCOEFG中，BE1面A8C且面DEFG,DG//EF,

ED=DG=GF=\,AB=BC=CA=EF=2.

(1)求证：。尸_L平面ABEZ)：

(2)若二面角A-OG-E的余弦值为-且，求点C到面尸的距离.

19

参考答案:

I.D

两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.

【详解】

平面a的一个法向量是(2,-1,1),allp,

设平面尸的法向量为(x,y,z),

对比四个选项可知，只有D符合要求，

故选：D.

本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于

基础题.

2.B

根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断，即可求得答案.

【详解】

mn=O

**•mLn

加.〃=0,即m_L〃，不一定有/〃。，也可能/ua

.♦.“力〃=0”是“///。”的不充分条件

I//a，可以推出/九_1_"，

•=0'是"/〃。”是必要条件，

综上所述,“巾〃=0”是“///a”必要不充分条件.

故选:B.

本题主要考查了判断必要不充分条件，解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义，属于中档

题.

3.A

以。为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点4到平面

MfiZ）的距离.

【详解】

以D为空间直角坐标原点，DA,DC,DDt分别为x,%z轴建立空间直角坐标系.由于M是4A

中点，故且A（a,0,“）,B（a,a,0），AM=（0,0,一；a）,设〃=（x,y,z）是平面

的法向量，故，小。"na'+E"-。，故可设〃=故A到平面8W的距

nDB=ax+ay=O

彳B

本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基

础题.

4.A

C♦4=0

由空间向量线性关系的坐标运算求c坐标，再根据c为平面a的法向量有,即可求

cb-0

【详解】

c=ma++(4,—4/)=(m,m,m)+(0,2〃,—n)+(4,—4,1)=(/%+4,根+2〃-4,zw—〃+1).

c♦a=03m4-714-1=0

由c为平面a的法向量，得，,即，，内，-9=。,解得

cb-0n-1

故选：A

5.C

建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面平面PEF的法向量〃，代入

sin6=I"即可得解.

1啊|〃1

【详解】

以点P为原点，以为x轴，P8为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

设PA=PB=PC=2,则71(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(l,l,0),F(0,l,l),

PB=(0,2,0),PE=(1,1,0),PF=(0,1,1),

设平面尸EF的法向量〃=(x,y,z),

n-PE=x+y=0

取X=1得"=

n•PF=y+z=0

\PBn\2=>/3

设平面尸8与平面PE尸所成角为0,则sinO=

|/初.|〃|-26一3

故选：C

本题考查线面角的求法，建立适当坐标系用空间向量法进行求解，属于基础题.

6.A

分别取QE,QC的中点O,R点A的轨迹是以AF为直径的圆，以OAOE为尤丁轴，过

0与平面4QE垂直的直线为二轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为

sin吟ios%,换元后利用基本不等式可得答案.

V4cosa+6

【详解】

分别取OE,CC的中点0,F,则点A的轨迹是以4F为直径的圆，

以OAOE为轴，过。与平面AQE垂直的直线为z轴建立坐标系,

则c(-2,1,0),平面A8CO的其中一个法向量为〃=(0。1),

由40=1,设A(cosa,(),sina),则m=(cosa+2,-l,sina),

记直线\C与平面ABCD所成角为0,

|CA-n|2a

则加"高岛二麻|s2ina|1-cos

4coscr+6

所以直线AC与平面ABC。所成角的正弦值最大为

4

故选：A.

本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用,

考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.

7.B

设AA=a，AM="AR=c，由空间向量的线性运算可得到MN=：“+；c,由此证得

与AA，AA共面，可知MV〃平面A4Q。，进而得到结论.

【详解】

设AA=a,A4=〃，AD、=c,

由题意知：A8=AC=缶，又AM=AN=与(1,

:.\M=^\B=^a+b^,AN=^AC=^(h+c),

则MN=AtA+AN—A^M=a+，,+c)-g(a+/7)=g“+gc,

:.MN与％A,共面，

.•.MW/平面叫RD,又平面A4QO//平面B8CC，，MN〃平面B8CC.

故选：B.

8.B

利用基底向量AB,AD,A4,表示出向量8。，D\,即可根据向量的夹角公式求出.

【详解】

如图所示：不妨设棱长为1，

ZM,=AAj—AD,BD[=BA+AD+DD1=—AB+AD+AAi,

所以BD、*DA^=AA(—A£)),^—AB+AD+AAj)=­AAi,AB4-AA^—ALf———,

以卜陷-A*1,|BD,|=|-AB+AD+A4,|=>/3,

故选：B.

9.B

建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可.

【详解】

解：以。为坐标原点，为y轴，。。为z轴建立空间直角坐标系，

则B1g,；,l),C(；,-惇,O),

则B、c=争。+(-曰一夕工=百，

又点见到平面AOC的距离为1,

故直线与平面AOC所成的角的正弦值为」=包.

故选：B.

先求出。尸的坐标，再利用三角形减法法则求PC的坐标，再求|PCI即得解.

【详解】

3।

由题意0P=；(0A+。8)=(2,/,3),PC=OC-OP=(-2,--,-3),\PC\=

故答案为D

本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模

的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

11.C

利用锥体的体积公式可求得24=2,然后以点C为坐标原点，C8、C4、CG所在直线分

别为X、丫、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线8G与平面PBC所成

角的正弦值.

【详解】

由已知得，底面A8C,且ACJL8C,

所以匕.Mc=%-A8c=gxSAA8cxPA=；xgx3x4xPA=4,解得%=2.

如图所示，以点C为坐标原点，CB、C4、CC,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角

坐标系，

则C（0,0,0）、P（0,4,2）、3（3,0,0）、C,（0,0,3）,

则C8=(3,0,0),CP=(0,4,2),BC,=(-3,0,3).

设平面BCP的法向量为〃=（x,y,z）,

n-CB=03x=0x=0

则由可得即得x=(),令y=1,得z=-2,

n-CP=04y+2z=02y+z=0'

所以〃=（0,1,-2）为平面BCP的一个法向量.

设直线BG与平面P8C所成的角为。,

则疝6=®<〃的>卜触&=/卜6|=叵

11H-I^l卮KNF5

故选：C.

方法点睛：求直线与平面所成角的方法：

（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概

念；

③求，利用解三角形的知识求角;

(2)向量法，sin(9=coscAB,―4(其中AB为平面a的斜线，〃为平面a的法

1।HW

向量，。为斜线A8与平面a所成的角).

12.B

根据经过点P(x“y,4)，法向量为e=(AB,C)的平面方程为

A(x-±)+B(y-y)+C(z-4)=0的定义，分别求得平面a、夕的法向量犯〃，由

/m-n

COS("，〃)=EI求解.

网.网

【详解】

平面a过点PQ0」),则平面a的方程为a-0)-(y-0)+(z-l)=0,

其法向量为m=(1,-1,1)，

xyz,_/

------------=1=>x-2y-z=6,

636

平面£过点。（0。-6）,则平面。的方程为（"—。）一2（〉一0）—（z+6）=0,

其法向量为〃2=（1,

mn_1+2-1_2_5/2

COS（/7M2）=

|制同V3XV63yf23

设平面a、夕成角的平面角为。，贝ljcos6=|cos〈/及,

故选：B.

方法点睛：求二面角的向量方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过

两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还

是钝角.

13.2

三棱柱的高即为A到平面ABC的距离d,利用点到平面距离的空间向量求法可求得结果.

【详解】

由题意知：A4=A8=（Y，I，°）

该三棱柱的高即点A到平面48c的距离d

设”=（x,y,z）是平面A8C的一个法向量

则JAB=4x-2y+3z=04

J[/i-BC=-4x+>'=0令x=l,解得：y=4,z=-

32

上⑼-6+8一§

一

故答案为：2

本题考查空间向量法求解点到平面的距离问题，关键是能够将三棱柱高的求解问题成功转

化为点到面的距离的求解问题.

14.

2

首先如图建立空间直角坐标系，利用垂直关系，转化为坐标运算求解.

【详解】

如图,建立空间直角坐标系，设棱长为2,4（2,0,0）,F（0,r,0）,4（2,2,2）,

2(0,0,2),E(l,2,0),/),£=(1,2,-2),AF=(-2,r,0),Ag=(0,2,2)

D.ELAB,lx0+2x2+(-2)x2=0

若口EJ_平面阴尸,则即＜

))

DtElAFlx(-2+2/+(-2x0=0

解得：t=\,

CF

所以而=

2

故答案为：y

15.--##-0.5

2

建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

以力为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

设正方体ABC。-AB©A棱长为1,则4(1,0,0),3(1,1,0),C(0,l,0),.(0,0,1),

AB=(0,1,0),AD,=(-1,0,1),05=(1,0,0),CDt=(0,-1,1).

设平面ABD、和平面CB£）|的法向量分别为〃|=（七,x,ZJ和"2=（&,必，Z2），

=y=0

取$=1得“=(1,0,1),

ADX•〃]=一%+Z]=0

CB•〃2=/2=0

取%=1，得%=(0,1,1),

CD}-%=-y2+z2=0

n,-n.1

则丽=5，

显然二面角A-BR-C是钝二面角，所以其余弦值为-；.

故答案为：

以。为原点，D40GDA分别为小y、Z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体

ABCD-A^C^边长为2,用向量法求解.

【详解】

如图所示，以。为原点，ZM、£>C、Q.分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

设正方体ABCD-ABCQI边长为2,可得0(0,0,0),^(0,0,2),8(220)4(2,2,2)

M（1,2,O）,7V（2,1,O）,

设罟=%，可得A尸=4AB=（22,2/1-22）,可得P（2422,2-2外,,可得

DP=（22,2A,2-2A）.

BM，几—0f—x—2z=0

设平面的一个法向量〃=（%,二%）,则有（二、八，即（C八

[B}N-n=0[-y-2z=0

不妨令x=-2,则〃=（一2,-2,1）.

因为OP//平面4MN,所以。。・〃=（242尢2—2；1）・（一2,—2,1）=-4；1—4/1+2—2；1=0,

1D,P1

解得：即而下

故答案为：-.

17.[##30

以点A为坐标原点，AB.AD.A4'所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设正方体ABCQ-A'B'C'。'的棱长为1,利用空间向量法可求得直线A'3与平面AB'CO所

成角的大小.

【详解】

解：以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为x、＞、z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系，

设正方体A5CO_4B'C77的棱长为1,则A'（O,O,I）、。（0,1,0）、8（1,0,0）、C（1,1,0）,

D^=(0-1,1),0c=(1,0,0),设平面A'gC。的法向量为”=(x,y,z),

n-DAr=-y+z=0宜<一3、

由n.DC=x=0'取可侍〃=(°，M),

A'BnI

48=(1,0,-1),cos<A'B,n>=

RFH-2'

因此，直线A'B与平面48'CD所成角的大小为2

6

故答案为：J

o

18.(1)证明见解析；(2)

(1)连接AC,与3。交于点。，根据题中条件，由线面垂直的判定定理，即可证明结论

成立；

(2)以。为坐标原点，分别以os,oc的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标

系，设80=2”，得到OC=(0,1,0)是平面团端的一个法向量，再得到BF，根据向量夹角

公式，即可求出线面角的正弦值.

【详解】

(1)如图，连接AC,与BD交于点O.

由条件可知A£〃CF,且4E=CF,所以AC〃EF,

因为EFu平面3EF,所以AC//平面3EE

因为平面3EFI平面A3C=/,所以AC///.

因为四棱柱ABC。-A与CR的底面是菱形，且侧棱垂直于底面,

所以AC_LB£＞,ACA.BH,,

又BDcBB、=B,所以AC_L平面BDR,

所以/J•平面B。。.

(2)如图所示，以。为坐标原点，分别以08，oc的方向为x,y轴的正方向建立空间

直角坐标系.

设8£>=2a,因为8。<8£)],所以0<a<2.

则OB=a,DD、=JBD；-BD2=2y)4-a2.

所以B(a,0,0),C(0,l,0),F^0,l,|V4-a2

由(1)可知OC=(()」,())是平面BOR的一个法向量,

OCBF

所以sin6=|cos<OC,BF>|=

OC^BF

633

当0＜。＜2时,——<____=<—

5J25+5/5

即sin。£

方法点睛：

求空间角的常用方法：

(1)定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，

再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向

向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量)余弦值，即可求出结果.

19.(1)证明见解析

⑵一迤

35

(1)通过证明和R4LAE得平面PA。，再利用面面垂直判定定理求解:

(2)建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.

(1)

因为底面ABCO是菱形，ZABC=60°,所以△ABC为等边三角形，

60°

所以AE平分㈤C,所以/£4。=(180。-60。)-《-=90。，

所以

又因为PA_L平面ABC。，所以2_LAE,且P4c4>=A,

所以A£_L平面PAD,又Mu平面AE尸，

所以平面AEF±平面PAD；

(2)

据题意，建立空间直角坐标系如图所示：

因为以=AB=2,所以

4(0,0,0),网百,0,0),尸(0,0,2)0(61,0),所以尸(¥，；,[,

、22,

HI

7

设平面AE/一个法向量为“二(%,y],zj,平面£FC一个法向量为%=(^,y2,z2),

因为AE=(6,。,必.=(甥噂・工’

岳=0，、

所以厂，取y=2,所以4=-1,所以仆=0,2,-1),

.、(JiIyf£C-n,=0

又因为EC=0,1,0,£/=—二,；/，",

(22)EFn2=0

%=0

所以61，取&=2,则z,=百，所以亡=(2,0,@,

—^X2+^y2+Z2=°

??,,n,—\/3—J105

所以―丽=.=丁

20.(1)证明见解析

(2)存在，N为PM的中点

(1)先证明AOL2O,PELBD,即可证明平面B4£>,从而2。，山；

(2)建立坐标系，用向量法求解即可

(1)

取A。的中点£,连接PE,

CD//AB,ABC=90,

：.BCLCD,

BC=CD=2,

:.BD=2五,NCBD=45,

/£>54=45。，

AD=。BLf+AB?-2BD.ABcosNDBA=2及，

.,.Aiy+B^AB*2,

：.ADA.BD,

：.PA=PD,E是A。的中点，

：.PE1.AD

:平面布。上半面A8CD,平面PAD'平面A2C£>=A£>,PEu半面B4£>,PELAD,

：.PE_L平面ABCD,

Q8Du平面ABCD,

：.PEA.BD

又ADcPE=E,AOu平面B4£),PEu平面网D,

.•.8O_L平面物£>,又以u平面以。

J.BDJLPA.

(2)

延长BC,AD,设BC的延长线和AO的延长线交点为M,连接PM,

则平面PAD和平面PBC的交线/为直线PM,

以B为原点，以BM、84、平面ABCD的过点B的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz,

则尸(1,3,立),C(2,0,0),£>(2,2,0),M(4,0,0),

:.CD=(0,2,0),P£)=(l,-l,->/2),PM=(3,-3,-x/2),

设PN=2PM=(3Z-3/l,-&),

则DN=PN-PD=(32-1,1-34技1-2)),

1'/、ruuui

设平面PC。的法向量为机=a，y,Z1),则“cz)=o，J?•尸。=0,

令4=1可得4=（也,0,1）,

设平面CDN的法向量为与=（々,必必），则“（。二。，“•ON=0,

2%=

(32-l)x,+(1-32)必+72(1-2)z,=0

令％=也可得〃=（6o,肾）

1-32

2+

m,n1—4

/.cos<m,n>=

ImIIn\Gx

若二面角P-DC-N的余弦值;,

解得：石；或兀=[,

1_Q22

令方•方=0可得2+=