高三数学 函数的极值与导学教学案例

新课标人教A版选修2-2

《函数的极值与导数》教学案例(数学应用专题)

一、内容解析

函数是高中数学的核心，研究函数的性质就成了学生学习高中数学的一个重要内容。

导数作为一种研究函数性质的强有力工具，在高中数学中的地位显得尤为突出。作为进入高

考考试范围的内容，在考试中占的比重较大，常利用导数研究函数的性质，这些内容都是近

年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。本节

课所要教学的内容一函数的极值与导数，就是利用导数研究函数性质的重要内容之一。本节

结合实例，借助函数图形直观感知，探索函数的极值与导数的关系。掌握好用导数研究函数

的极值内容，对培养学生发散性思维起到一个很好作用，让学生体会到知识的联系性和方法

的多样性，增强学生的应用意识和创新意识，同时感受导数在研究函数性质中一般性和有效

性，通过学习体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、教学实录

1、探究1：极值的定义

教师在黑板上画出如下函数图象，要求学生根据图象说出此函数的单调区间。

请学生回答，在学生回答过程中教师把结论用表格形式写在此图象的下方：

x(-8,a)a(a,b)b(b,+°°)

f(x)\f(a)/f(b)\

(在此预留一栏)

教师引导：我们发现函数先减后增，在x=a点处的函数值f(a)比它附近点的函数值都小。而

后先增后减，在x=b点处的函数值f(b)比它附近点的函数值都大。

引出极值定义：我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点

b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点，极大值与极小值称为极值。

说明：为什么取名叫极值而不叫最值。

2、探究2：导数与极值的关系

为了让学生能够很自然，很顺畅的得到导数与极值的关系，在讲完极值的定义后，教师立

刻抛出以下问题：我们学习完极值的定义后，遇到了一个新问题，如何求一个函数的极值点

和极值呢？（学生沉思）

继续提出问题：

问题（1）:如果知道函数的图象，如何求极值？（学生思考后回答）

教师总结：由极值定义可知，在某一点附近区域的左侧递增，右侧递减，那么这点就是极大

值点，相应的这点的函数值就是极大值；相反，就是极小值点和极小值。简单总结：左增右

减，极大值；左减右增，极小值。

问题（2）：现在问题是当一个函数的图象不知道或者我们没办法画出其图象时（比如三次以

上函数图象），那么我们又要如何去求这个函数的极值？（此时会听到一些学生说用导数，因

为前一节刚学完导数与函数单调性，学生凭感觉想到比较自然，但至于为什么用导数或怎么

用导数还不是很清楚，也有些学生是随声附和）

为什么会选择导数求函数极值，这时教师加以引导：在高中数学中，数形结合的思想是一种

非常重要的思想方法。当一个“数”不容易表达一个数学问题时，我们往往借助于它的图象

来研究；但当一个“数”的图象不容易画出，这时我们又要借助于“数”来研究。所以它们

两者之间是相辅相成的。那么我们会选择一个怎么样的“数”来研究函数的极值呢？这时学

生异口同声地说用“导数”。（前面刚学习了导数与函数单调性，所以学生相对比较熟悉）这

时教师即时给出今天要学习的课题（在黑板写上），这就是今天我们要研究的函数的极值与导

数。

教师继续抛出问题：为什么大家会想到用导数这个工具来研究函数极值呢？（学生回答）

教师总结：前面我们说从图象上看左增右减，极大值；左减右增，极小值，而前面一节刚刚

学习了函数的单调性与导数，导数与函数的单调性的关系大家已经清楚了。（请学生回答导数

与函数的单调性的关系）所以现在我们即使不知道函数的图象，也可以用求函数在某个区间

上的导数的符号来表示出函数在某个区间的单调性，进而找出极大值点和极小值点，求出函

数的极大值和极小值。

事实是这样的吗？下面借助几何画板课件给学生演示一下，让学生心服口服。

随着点P的不断运动，让学生观察左边数据的变化。演示完后教师在前面列表中预留的

一栏补上导数的符号，如下:

x(一8,a)a(a,b)b(b,+8)

f(x)\f(a)/f(b)\

f（X）-0+0-

所以a是函数的极小值点，f（a）为极小值；b是函数的极大值点，f（b）为极大值。

函数在极值点的导数为0。（结合导数的几何意义）

通过以上研究，我们可以用句口诀来形容导数与极值的关系：

教师说出“上联”：左负右正（强调是导函数），极小值（强调是原函数）

学生说出“下联”：左正右负，极大值

好了，接下来教师继续抛出问题：那么函数是不是一定有极大值和极小值呢，或者说一

个函数是否有多个极小值和极大值呢？（学生思考）

学生思考后回答，教师给出以下课件供学生参考：

3、探究3：如何在一个具体函数中利用导数求极值？

例1、求函数/(%)=；/一4%+4的极值

教师分析:①求f"x),解出f'(x)=O全体实根，这些实根可能是函数的极值点；②由函数单调

性确定在极点X。附近f«x)的符号,从而确定哪一点是极大值点，哪一点为极小值点，从而求出

函数的极值。学生动手做，教师引导，最后板书：

解：/(X)=^X3-4X+4/(x)=x"-4=(x-2)(x+2)

令f'(x)=0,解得x=2,或x=-2.

当x变化时，/'(x),f(x)的变化情况如下表:

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

+4-

0—0

f(X)单调递增28单调递减_4单调递增

-3

因此，当x=-2时，f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=胃；当x=2时，f(x)有极小值,且极小

值为f(2)=--(上述解答过程中，让学生养成列表的习惯，由于在上课一开始我就列出表

3

格，学生看得清楚，所以这里解题用列表也是顺理成章的事。强调在某个区间上的导函数的

符号如何，可利用导函数(二次函数)的图象来确定)

总结解题步骤：求函数的定义域一求导数一求f'(x)=0全部实根一列表一下结论(导数

左负右正，则是极小值，相反是极大值)

以上例题板书保留在黑板，一是学生练习可以参考；二是后面教学继续用到。

随堂练习：P29第二题(3)(三次函数)。这里值得一提的是，在一名学生上台板演时，凭感觉，

导致在判断导函数在某个区间的符号时出错，本人借机指出学生听课过程的不足，没领会老

师上课的话，没有借助导函数(二次函数)的图象判断函数符号。同时对全体学生也是一个

教育。

下面我们回到刚才的例题：我们能否大致画出原函数的图象？

变式：画出导函数图象，通过导函数的图象，你能否找出原函数的单调区间与极值呢？(这

时教师擦去黑板上的解题过程，学生回答)

导函数图象在黑板板书时尽量画得和原函数图象对齐下来，便于学生观察。

教师总结：通过导函数的图象去找原函数的极值点，我们要观察的是在导函数图象中哪个区

间是正的(即图象在X轴上方)，哪个区间是负的(即图象在y轴下方)，与导函数的单调性

无关，所以解题时不要受导函数图象的单调性的影响。

4、课堂总结(学生总结)：(1)、函数极值的定义

(2)、利用导数求函数极值的步骤

5、布置作业：P325

6、探究4：课后思考(课件给出)

思考(1)：极值是最值吗？

思考(2)：你认为极大值一定大于极小值吗？

思考(3)：X。是f(x)的极值点与f(x)在这点的导数为0有什么逻辑关系？你能举例说明吗？

思考(4)：已知函数f(x)=ax；'+bx2-2x在x=-2,x=l处取得极值

①求函数f(x)的解析式；②求函数f(x)的单调区间。

附：板书设计:

\一……

函数的极值与导数接画例1函数图象本版教师临时板书用

1、极值的定义X(-8,a)a(a,b)b(b,+°°)和学生练习用

a-极小值点，f(a)-极小值f(x)Xf(a)/f(b)X

b-极小值点，f(b)-极小值f(x)0+0-

极大值点与极小值点称为极值点，

极大值与极小值称为极值。画例1导函数图象

2.利用导数求极值

左负右正极小值

(导数)(原函数)

左正右负极大值

例1

三、感悟与反思

设计理念：实施中的课程改革，让我们在机遇与挑战中和全新的理念同步成长。教育的真正

意义在于发现人的价值、发挥人的潜力、发展人的个性。教师要根据学生个性发展的需求而

进行的教学，在发现问题、提出问题、引导思维、培育创新精神上下功夫。追求“开放”与

“多样”的教学指导思想。

设计意图：本节的教学内容是导数和极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,学生借助函数图

形的直观性能够发现问题，激发思维。教师不断的提出问题，使学生进行观察、分析、讨论、

抽象归纳出极值的定义，并使学生很自然，很顺畅的建立起函数极值与导数的关系，使学生

感受知识的确确实实内在联系，而不强加于自己身上的。学生提高了动手能力，在相互交流、

互相讨论过程中，学生认识了自我，建立了信心，同时也构建了和谐的课堂气氛。充分展现出

新课改理念。

教后反思：本节的教学内容是函数的极值与导数，借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极

值定义,利用导数求函数的极值。本人认为以下几个方面的设计在课堂取得较为理想效果：

1、借助函数图象直观引入极值定义，简洁明了。并在图象下方以表格的形式展现，为后

面教学(列表求极值)埋下伏笔；

2、引入课题时，站在数形结合的角度思考，自然贴切；

3、导数求极值点用口诀形式给出，把它假设成一幅对联(是不是真正意义上的对联，请

学生自己探讨)，老师说出上联，学生给出下联，调动学生的积极性，活跃了课堂的气氛。但

不要求学生去背口诀；

4、例题讲解过程规范