苏教版高中数学必修4 同步练习作业及解析一

1.1.1任意角

康课时作业...........空军艺当用觉知“E巴亨,当拱成号

［学业水平训练］

1.若a是第三象限角，则180。一。是第象限角.

解析：因为a是第三象限角，所以4SGOo+lgOOvaq^GOo+Z7。。^6%),

所以一人360°—90°<180°-a<一上360°(kGZ),

所以一(hH)360°+270°vl80°-a<一(hM>360°+360°“eZ),所以180°—a为第四象

限角.

答案：四

2.角a的终边经过点尸(2,-3),则角a是第象限角.

解析：尸点在第四象限，所以a是第四象限角.

答案：四

3.若a为第二象限角，则一5是第象限角.

解析：因为a为第二象限角，所以］为第一或第三象限角.又因为一］与］关于x轴对称，

所以一］是第二或第四象限角.

答案：二或四

4.今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期,第50天是星期

解析：每周有7天，27=3x7+6,故27天后的那一天是星期一；50=7x7+1,故第50

天是星期二.

答案：一二

5.(2014・南阳高一检测)与2014。角的终边相同的最小正角是.

解析：与2014°角的终边相同的角为2014。+长360°/£2),当上=一5时，214°为最小

正角.

答案:214。

6.(2014•杭州高一检测)设集合M={a|a=」-90°—36°,YZ},N={a|-180°<«<180°},

则A/rw等于.

解析：当〃=0时，a=-36。；当k=l时，a=54。：

当在=2时，«=144°;当4=-1时，a=-126°.

所以〃nN={-36°,54°,-126°,144°}.

答案：{-36°,54°,-126°,144°}

7.在［0。，360。)范围内，找出与一1240。角终边相同的角，并判断它是第几象限角.

解：V-l240°=-4x360°+200°,

...在［0。，360。)范围内与一1240。角终边相同的角是200。角.

又200。角是第三象限南，；.一1240。角也是第三象限角.

8.已知a=-315°.

(1)将a写成上360。+"0。^<360。，ACZ)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求仇使6与a终边相同，且一1080。<6<—360。.

解：(l)V-315°=-360°+45°,

'.a表示第一象限角.

(2)与一315°终边相同的角为一360°—315°(JtdZ).

令一1080°<X:-360o-315o<-360o(^eZ),

解得一2.125V4V-0.125(%eZ).

；.左=一2或一1.

将一值分别代入代360。-315。中,即得所求角为一1035。或一675。.

［高考水平训练］

1.角a与£的始边都是x轴的正半轴,终边关于y轴对称，则用p表示角a为.

解析：角a与a的终边关于y轴对称.则a+£=2*?t+兀，

上GZ,所以a=2E+7t一夕，上GZ.

答案：a=2E+?t—B，%GZ

2.自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度

是.

48

解析：大链轮转动一周，小链轮转方=2.4周，角度为2.4*360。=864。.

答案：864°

3.已知集合/={a|kl80°+45°<a<hl80°+60°,AeZ},集合5={£上360°—55°<£

Vh360°+55°,ASZ}.

(1)在平面直角坐标系中，表示出角a终边所在区域；

(2)在平面直角坐标系中，表示出角“终边所在区域；

(3)求/CIB.

(3)由(1)(2)知4CB={a上360°+45°<aVh360°+55°,k®Z}.

4.如图，点4在半径为1且以原点为圆心的圆上，//Ox=45。.点P从点/出发，按逆

时针方向匀速地沿单位圆周旋转.已知点P在1s内转过的角度为9(0。<*180。)，经过2s

到达第三象限，经过14s后又回到出发点4求角。并判定其终边所在的象限.

解：由题意，得

12()0

14。+45°=45°+/360°,k&Z,则k^Z.

又180°<26+45°<270°,

即67.5°<6kH2.5°,

后.]80。

则67.5°<——<112.5°,%CZ,

所以k=3或k=4.

s八5400..八720°

故0=y~或0=~y-.

540°720°

易知0°<^-<90°,90。〈二厂v180°,

故角。的终边在第一或第二象限.

1.1.2弧度制

课时作业»）在学生用书中，此内容单独成册@

［学业水平训练］

1.将5rad化为角度是.

1QA

解析：・.・lrad=（与

・•.5rad=5.（臂。=（等）286。.

答案：286°

2.a=-2rad,则a的终边在第象限.

180

解析：-2rad=-2x（—）°=-57.30°x2=-114.60°,

为第三象限角.

套案■二

3.用弧度制表示终边落在第三象限的角的集合为

解析：若角a终边落在第三象限，

贝I{32左兀+兀＜。（＜2%兀+多,kGZ）.

答案：{a|2®+兀va〈2E+爹，左WZ}

L-rr-rr

4.设集合/={0上=了一攵£Z},N={a|-TtVaVjr},则A/nN=

解析:分别取％=—1,0,1,2,得片一知，一?聿，竽

处中5兀71n2兀

答案：{一不,一手,不-}

5.下列结论不正确的是.（只填序号）

（D^rad=60°；②10。=erad；rad=115°.

解析：rad=-yx（-^）°=H2.50,所以③错.

答案：③

6.火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20min所走的圆弧长是生m,则这座大钟

分针的长度为________m.

解析：因为分针20min转过的角为华，所以由/=ar,

7U

/3、.

得尸=4=五=0.5（111）,即这座大钟分针的长度为0.5m.

T

答案：0.5

7.（2014•济南高一质检）一个半径为尸的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,

那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？

解：设弧长为/,所对圆心角为Q,则/+2尸=兀」,

即/=（TT—2）r.

：闷=:=兀-2,；.a的弧度数是兀一2,

从而S而附=；>=；（兀-2）J.

2

8.设集合4={曲一各次元+?AWZ},B={X\X<36}9试求集合4nA

解：由集合4={工际一岩烂E+今，k0L},可知力―・・U]一争,一冬"[一第-第

以节,加[竽,争

U[y,y]U-.由S={X|X2<36）,可得8=国一60烂6}，在数轴上将两个集合分别作出，

如下图.

III1.1III.

9TT<7ir5ir_3TTTT_3TT5TTTTT^9ir*

~T-T-4-44ZZZT

可得集合4仆8=[—6,-y]U[-y,-^]u[-1,富U[华，^U音，6].

[高考水平训练]

1.在（一4兀，4兀）内与一竿角的终边相同的角是.

解析：首先写出与一苧兀角的终边相同的角的集合{a|a=2E-%,k&Z}.然后再写出

（—4兀，4兀）内的角a

-e16兀27i12兀26兀

u木：-7，7'7'7

2.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度

数为.

解析：设圆的半径为厂，这段弧所对的圆心角为a,则正方形边长为啦r,则巾r=r-a,

即a=yf2.

答案：也

3.已知扇形力08的圆心角为120。，半径长为6,求

（1）成的长；

（2）扇形所含弓形的面积.

解：（1）：120。=娱兀=盆

1oUJ

2

/./=|«|-r=6xj7i=47c,「.ZB的长为4TL

（2）9•*S扇彩°/3=，/厂=5X4兀、6=12兀,

如图所示有S^OAB=^ABXOD（D为AB中点）

=Jx2x6cos30°x3=9^/3.

弓形的面积为S«W0/（g—SA0/（B=1271—9^3-

...弓形的面积是

4.将一条绳索绕在半径为40cm的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体8,如果轮子按

逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体8的位置向上提升100cm,那么需要多长时间才能

完成？

100cm；

；..JB

解：如图，设将物体向上提升100cm,需要的时间为ts.

当88'=100cm时,

翁的长是100cm,翁所对的圆心角乙4。4=端=|(砌.

因为轮子每分钟匀速旋转6圈，

所以每秒匀速转过与新兰(rad).

IF

于是ts转过甲rad,

所以*4得尸会的)，

121任意角的三角函数

课时作业>»在举告用.书.中二心内容单独成册@

［学业水平训练］

1.若角。的终边过点P(—3,4)则sin®=______,cos9=________.

解析：OP=yf(—3)2+42=5,・,.sin9=*,cos3=—

套案.--3

口采.55

2.设e是三角形的内角且蟾，则下列各组数中均取正值的是.(只填序号)

①tan0与cos。；②cos0与sin<9；

③sin0与tan0；④tan1与sin0.

解析：•.•。是三角形的内角且婿，...OVOV兀且若，.,.sin^o,tan1>0.

答案：④

3.若仪=芥，则。的终边与单位圆的交点P的坐标是.

解析：可设尸点坐标为(x,刃，则

sina=2=TX=T1,

r12

xx

cosa=-=T=-c.

r12

1

答案:(一坐I)

4.已知角a的终边在直线y=-2x上，则sina+cosa的值为

解析：设角a的终边上任一点P(k,一2%)(后0),则,•=4F+(-2k)2=452=45阂.

当攵>0时，〃=小因=小七

圻“.y~2k.2的

所以sma、一下4―5，

xkV5

c°sa一二小人一5，

所以sina+cosa—R";

当A<0时，〃=小因=一小忆

上、，.v—2k2击

所以sma、—一小15，

xkV5

3”丁_小广5'

所以sina+cosa==^.

综上所述，可得sina+cosa=±坐.

答案:士塔

5.下列说法中，正确的个数为.

①终边相同的角的同名三角函数值相等；

②终边不同的角的同名三角函数值不全相等;

③若sina>0,则a是第一、二象限角：

④若a是第二象限角，且P(x,四是其终边上的一点，则cosa=下一.

解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是

正确的；当a的终边与y轴的非负半轴重合时，sina=1>0,故③是不正确的；无论a在第

几象限,cosa=,故④也是不正确的.因此只有2个正确.

答案：2

6.若/是第三象限角，且卜ig=_sig,则A患第象限角.

37r7TAiTT

解析：:/是第三象限角，.•・2E+7rV/V2E+5（ZeZ）,.••E+iV,VE+n"（左GZ）,

AAA

二5是第二、四象限角.又•.」sin,|=—sin,,

AA

.*.siny<0,是第四象限角.

答案：四

7.已知角a的终边与函数夕=会的图象重合，求a的正弦、余弦、正切值.

3

解：函数的图象是过原点和第一、三象限的直线,

因此a的终边在第一或第三象限.

当a的终边在第一象限时，在终边上取点尸(2,3),则/•=422+32=413,于是sina=

33店22回3

赤=13'c°sa=^^=13>tana=2：

当a的终边在第三象限时，在终边上取点尸'(一2,—3),则(-2)、+(—3)2

3回22灰-33

于是

[75,sina=­13'c°sa=一诟=一B'tan«=—

8.求下列函数的定义域:

⑴尸^^；（2>=^sinxtanx；

（3»=lg（sin2x）+yj9—X1.

解：（1）要使函数有意义，则tanx有意义且sin*0.

TT

由tanx有意义，得后^+E(左£Z),①

由sinHO,得x/kn(keZ),②

由①②，得鸿外•ez).

kn

故原函数的定义域为{斗中了，女£Z}.

(2)要使函数有意义，贝Isinxtanx>0,有sinx和tanx同号或sinx=0或tanx=O.

当sinx与tanx同正，则x为第一象限角，即2%兀<X<5+2%兀(左WZ).当sinx与tanx

jr

同负，则x为第四象限角，即一1+2ATTVXV2攵兀(左£Z).当sinx=0或tanx=O,则x=Z兀(%

eZ).故原函数的定义域为

TTTT

{x|—2+2EVRV/+2版或x=（2k+1）兀，攵£Z}.

[sin2x>0,①

（3）要使函数有意义，则八、…

[9-X2>0.®

兀

由①，得2EV2xV兀+2E（左GZ）,即左兀<xV]+E（左£Z）.

由②，得一3央3.

7T7T

故原函数的定义域为{x|—3WxV—/或0<x</}.

[高考水平训练]

1.已知MP,0M,"分别为60。角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有.（只

填序号）

®MP<OM<AT；®OM<MP<AT；

®AT<OM<MP；®OM<AT<MP.

A,

解析：sin60°=2,cos60°=],tan60°=小.

答案：②

2.已知点/>侬110!,<：0$61）在第三象限，则角a的终边在第象限.

解析：\,点P（tana,cosa）在第三象限，.'.tana<0,cosa<0,...角a的终边在第二象

限.

答案：二

3.张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若己知角。终边上一点P（x,3）（存0）,且cos

。=曙达问能否求出sinacos。的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由他对此

题，百思不得其解.同学们，你们能帮张明求解吗？

解：由题意，得尸+9,

XX

则8SO=；=/.

Vcos

.A-_VTo

,•百钙—10v

•.•存0,.\x=1或x=-1.

当x=l时，点尸的坐标为（1,3）,角。为第一象限角，

,Pn+,°__3__3^/TO迎

此时，smU—币^—JQ,cos0-|Q;

当X=-1时，点尸的坐标为（一1,3）,角6»为第二象限角，此时，sin9=今俱

,cos0

yio

10'

TT

4.若金试比较少一sin4与a—sina的大小.

解：如图，在单位圆中,

sina=MP,sin0=NQ,弧，尸的长为a,弧4。的长为夕，则弧。0的长为夕一a

过产作PRJ_QN于R,连结尸0,则MP=NR.

所以R0=sin4一sina<PQ<PQ=p—a.

所以用一sin少>1—sina.

1.2.2同角三角函数关系

量课时作业功在学生用书中，此内容单独成册◎

[学业水平训练]

1.已知a是第四象限角，tana=一—，则sina=

解析：；5,12,13为勾股数组，且a为第四象限角，

..__±

••sincc—_]3°

答案：一卷

2.化斫*5-产吃得

1十sm。1—sin0------------

sin6(1—sin6)一sin0(1+sin9)

解析:原式=

(1+sin(1—sin6)

sin6-siif。-sin8—sin2。2sin：。

2tan2。.

1—sin?。cos%

答案：一Ztan?。

3.若sinx+cosx=也，那么sin4x+cos4x的值为.

解析：由sinx+cosx=也，得2sinxcosx=1,由sin2x+cos2x=1,得sin4x+cos4x+

2sin-xcos~x=1.

所以sin4x+cos4x=1—；(2sinxcosx)2=1-1=；.

答案：j

4.已知sin（a—：）=；,则cos（a—；）等于.

解析：cos（a一：）=±yj1-sin2（a一；）=±（|）2=±^^.

套案..2^/2

合'•土3

5.已知tana=m（n<a<竽），则sina=.

-2

解析：因为tana=m,所以:孩专=加、

I2

又sin2a+cos2a=1,所以cos-=sin2a=-TTT-

m+1m-r1

3兀

又因为7cVaV-y,所以tana>0,即机>0.

因而sina=<T,-.

yjm~+1

答案：—

yj1+w?2

6.已知sin8+cos。£（0,兀），那么tan8的值是.

22

解析：法一：设P（x,y）是角0终边上任一点、,P到坐标原点的距离为r,则r=yjx+y>0f

且sin。=夕cos由已知有\"=]①，即25（x+y）2=f+y2,整理并解得：=一,或:=

②.因为OVOVm所以y>0,又由②知xVO,再由①知x+y>0,则忖<帆.

XVy4

所以一-<—1.所以1211。=二=一彳.

yxxJ

法二：由sinO+cos夕=1,①

12

得sin8cos0=—^<0,

又0〈兴兀，.'.sinft>0,cos6M),贝可sin。-cos。>0,

/.sin<9—cos0=yl(sincos0)2=^1-2sin0cos0

=A/L2X(点=..②

__43

由①②解得sine=q,cose=一予

办、，sin04

所以tan^=^=-3.

4

答案:一5

sin/sinx+cosx

7.化简:

sinx—cosxtanx-1'

sin2rsinA-+cosx

解:原式=

sinx-cosxsin?_J

cos2x

sir^xcos%(sinx+cosx)

sinx-cosxsirTx-cosX

sm.2-x—cos~2x

=sinx+cosx.

sinx-cosx

8.已知tana=2,求下列各式的值:

2sin%—3cos2。

⑴dsiiAic—9cos/，

(2)sin2«—3sinoccosa+1.

解：（1）因为tana=2,所以cosa#）.

2sin2a_3cos2a2tan%—3

所以

4~sm~aI—~9cos2a4tan%—9

2x22-35

=4X22-9=7,

(2)因为tana=2,所以cos叶0.

所以sin2a-3sinacosa+1=sin2a_3sinacos«+(sin2a+cos2a)=2sin2a_3sinacosa+

cos2a

2sin%—3sinacosa+cos2「

sin2a+cos2a

2tan%—3tana+1

tan2a+1

2x2?-3x2+13

==5-

［高考水平训练］

1.已矢口cosa=tana,贝！Jsina=________.

解析：因为cosa=tan。，所以cosa=：：：；，即sina=cos2aK),可得sina=1—sida,

即sin2a+sina—1=0,

解得sina=-守住，舍去负值，得sin1

把交小一]

口案：2

2.已知tan8=2,则sin20+sinOcos。一2cos%=

解析：Vtan0=2f/.cos3^0