线段与角课件

直线、射线、线段、角

1.直线、射线、线段

(1)在直线的基础上定义射线、线段；

直线上的一点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点。

直线上两点间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。

(2)在线段的基础上定义直线、射线。

把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，

把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线。

2.两个重要公理

(1)经过两点有一条直线，并且只有一直线，也称为“两点确定一条直线”。

(2)两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”。

3.两点之间的距离：连接两点之间线段的长度。

4.表示方法

(1)我们经常用大写的英文字母表示点：A,B,C,D……

(2)直接的表示方法

①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如

直线AB,如图3—40(1)也可以写作直线BA。

A8

(1)(2)

图3-40

②用一个小写字母来表示，如直线1,如图3-40(2)o

(3)射线的表示方法：

①用两个大写字母来表示.第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表

示射线上的点.如射线0A,如图3-41(1),但不能写作射线A0.

②用一个小写字母来表示，如射线1,如图3-41(2).

OA

(1)(2)

图3-41

(4)线段的表示方法：

①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之

分，如线段AB,如图3-42(1),也可以写作线段BA.

②也可以用一个小写字母来表示：如线段1,如图3-42(2).

A8''

⑴(2)

图3-42

5.直线、射线、线段的主要区别

类型端点延长线及反向延长线用两个大写字母表示

直线0个无无顺序

射线1个有反向延长线第一个表示端点

线段2个两者都有无顺序

6.中点：把线段分成相等两条线段的点叫做这个线段的中点

【例1】如图3—43所示根据要求作图：

⑴连结AB;

⑵作射线AC;

(3)作直线BC.

解如图3—44所小.

本题重点考查对直线、射线、线段的理解.

注意连结AB表示“作线段AB”.

【例2】平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线？

分析解决本题时需要注意分类：

第一种情况，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线，如图

3—45(1).

第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则

可以画四条直线，如图3—45(2).

第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线，如图3—45(3).

（1）

解1或4或6

【例3】如图3—47,已知线段AB=IOcm,C是线段AB上任意一点，M是AC的中点，N

是BC的中点，求MN的长度.

AMCN8

图3-47

解•••!!是AC的中点

.\MC=-AC

2

；N是BC的中点

.\cN=-BC

2

MC+CN=-AC+-BC

22

,.,MC+CN=MN,AC+BC=AB

AMN=-AB

2

•.,AB=10cm

AMN=-X10=5cm

2

答线段MN的长度为5cm。

注意：

(1)对于很多同学来讲，此题是道极其简单的题目，直接到算式“10+2=5”便完成

了此题，实际上“10+2=5”这个算式便是解决该问题的核心，前面的大部分文

字及推理过程都是为了说明“10+2=5”为什么是正确的.这些文字说理就

是我们学习几何的基本功.

(2)做几何题不仅要注意题目中的已知条件“两个中点”，同时也要注意图形自身存

在的条件：”整体和部分之间的关系”即“MN=MC+CN,AB=AC+BC”.

(3)几何语言是丰富多彩的，关于M是AC的中点，我们可以得到五个结论：①AM=CM,

②AM=』AC,③CM=』AC,④AC=2AM,⑤AC=2CM我们应该学会从中选择一个对于

22

解决该问题有利的结论.

【例4】如图3—51,设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个

购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的

距离之和最小，说明理由.

解应该建在AC、BD的交点P上，如图3—52所示.

首先我们使购物中心到A和C的距离之和最小，那么购物中心就应该建在AC线段

的某点处.这是因为如果点P不在AC上，根据两点之间，线段最短，可以知道P'A+P，

OAC.同时我们也能看出，购物中心建在线段AC上的任意一点，都可以保证购物中心

到A、C距离之和最小.

同理，购物中心若到B、D之和距离最小，也必须建在线段BD上，这样购物中心

就必须建在AC、BD的交点上.

练习：

1.下列叙述正确的是

(C)

A.可以画一条长5cm的直线

B.一根拉紧的线是一条直线

C.直线AB经过C点在直线AB上是一个意思

D.直线AB与直线BA是不同的直线

2.已知平面上任意四点A、B、C、D过其中每两点画一条直线，共可以画

(D)

A.6条B.4条C.6条或4条D.6条，4条或1条

3.点C在线段AB上，现有4个等式：(1)AC=BC,(2)BC=』AB,(3)AB=2AC,(4)

2

-AB=2CB,其中能表示点C是线段AB的中点的有

2

(C)

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.线段AB延长到C,使AB=^AB,延长BC至！JD,使CD=^BC,若AD=70cm,

22

则AB的长为(D)

A.20cmB.28cmC.36cmD.40cm

角的度量

1.角的定义

有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是

角的两条边.

2.角的表示方法

①利用三个大写字母来表示，如图3—72.

图3-72

注意顶点一定要写在中间.也可记为NBOA,但不能写成NBAO或/ABO等.

②利用一个大写字母来表示，如图3—73.

图3-73

注意用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且

以它为顶点的角有且只有一个.

③用数字来表示角，如图3—74.

Zl

图3-74

④用希腊字母来表示角，如图3—75.

/a

图3-75

3.角度之间的关系

1周角=360。1平角=180。1直角=90。

1周角=2平角1平角=2直角

4.单位换算

1度=60分(1。=60，)1分=60秒(0=60”)

【例5】在图3—77中，角的表示方法正确的是()

A.ZAB.ZBC.ZCD.ZD

解B

说明本题考查用一个大写英文字母表示角，这种表示角的方法相对于三个大写英文

字母来说，简单一些，但是要注意，以该字母为顶点的角必须只有一个.故本题

选B；

【例6】计算题

⑴5］。49424。21，=_____________________

(2)39°41'-24°45'=_____________________

(3)23。1342"x3=______________________

(4)12°13,-4=______________________

解(1)51°49'+24°21'=75°70'=76°10‘

(2)39°4「-24°45'=38。101'-24。45'=14。56'

(3)23°13'42"X3=69°41'6"

(4)12°13'+4=3°3'15"

注意度分秒计算过程中是“逢60进1”，在减法运算中是“借1当60”，在计算乘法时,

有时稍显得繁杂一点，我们可以采用如下方式：

23°13'42"

X3

69°39'126”

2>Z

____________6

69°41'6”

做除法运算时，也需要注意单位的转化.

3°3'15”

4112。13，

/12。__________

13'

12'

―1'»把1'转化为60"

60"

60"

【例7】(1)32.43°=0'"

(2)65°43'12"=°

解(1)首先在第一个空上填上32,然后计算(32.43°-32°)=0.43°,

0.43°=O.43x60'=25.8\在第二个空填上25.8,上的整数25.(25.8'—25：

=0.8%0.8仪60=48",所以在第三个空上填上48.因此得到答案：32.43°

=32°25'48".

(2)这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，首先把12”化为分，即

12"+60=0.2\

43'+0.2，=43.2'.再把分化成度43.2^60=0.72°.

所以65°43'12"=65.72°.

练习

1.如图3—79,下列角除了用三个大写字母表示外，还可以用一个大写字母表示的是

(C)

A.ZBDCB.ZADCC.ZABCD.ZACB

2.20。15,的一半是(D)

A.10°B.107C.10°8,D.10°7'30"

3.(1)77°42'+34。45'=112°27'；

(2)108°18,-56°23,=51°55,；

(3)180°-(34°54'+21°33')=123°33'.

4.如图3—84,指出OA表示什么方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向

的射线：

(1)南偏东60°；

(2)北偏西70。；

(3)西南方向(即南偏西45°).

解：OA表示北偏东40。,如图3-154

角的比较与计算

1.余角和补角

如果两个角的和等于90。.就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的

余角.

如果两个角的和等于180。,就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补

角.

2.两个基本定理

①等角的补角相等(同角的补角相等).

②等角的余角相等(同角的余角相等)

3.两个补充内容

①邻补角，如图3—87,由一个角的一边及另一边的反向延长线构成的角是原角的

邻补角.

②对顶角：如图3—88由角的两边的反向延长线构成的角是原角的对顶角：如N1

和N2,因为N1和N2都和N3是邻补角，根据同角的补角相等，可知N1=N2,

因此可得到对顶角相等.

4.角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分

线.

如图3—89,Z1=Z2,则OC就是NAOB的角平分线.

A

C

OB

图3-89

5.方向角

以正北、正南的方向为基准.如图3—90指向北偏东30°,图3—91指向南偏东

65°

【例8】如图3—92,在直角△ABC中.ZACB=90°,CDJ_AB于D.

求证：NA=NDCB（提示：利用三角形内角和为180。）.

图3-92

证明VZA+ZB+ZACB=180°,ZACB=90°

:.ZA+ZB=180°—90°=90°

VZDCB+ZB+ZCDB=180°,CD±AB

:.ZCDB=90,ZDCB+ZB=180°—90°=90°

/.ZA=ZDCB

【例9】如图3—93,已知NA0B=90。，ZBOC=40°,OD是NAOC的平分线，求

ZBOD.

解VZAOB=90°,ZBOC=40°

:.ZAOC=ZAOB—ZBOC=90°—40°=50°

；OD是NAOC的平分线

/.ZCOD=-Z