平面与平面垂直的性质定理高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步2024/6/308.6.3

平面与平面垂直的性质定理

复习引

入线面垂直线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理mnPα面面垂直面面垂直的判定定理探究新知αβEF思考1如图，长方体中，α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？与AD垂直不一定探究新知

思考2：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,要求在黑板上画一条直线与地面垂直，怎样才能画出这样的直线?只需在黑板面内画一条和地面与墙面的交线垂直的直线即可。探究新知

思考2：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,要求在黑板上画一条直线与地面垂直，怎样才能画出这样的直线?只需在黑板面内画一条和地面与墙面的交线垂直的直线即可。猜想：如果平面α⊥平面β，你能对其进行证明吗？设b∩a＝A，在α内过点A作直线c⊥a，则直线b,c所成的角就是二面角α-a-β的平面角.又因为b⊥a，a∩c＝A，所以b⊥α．证明：由α⊥β，二面角α-a-β的平面角是直角，故b⊥c．探究新知

文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.符号语言：lb作用：证明直线与平面垂直.图形语言：面面垂直

线面垂直aIb＝lÞb^

ba^bb^lbÌa,平面与平面垂直的性质定理探究新知

文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.符号语言：lb图形语言：aIb＝lÞb^

ba^bb^lbÌa,平面与平面垂直的性质定理关键点：①线在平面内.②线垂直于交线.作用：①它能证明线面垂直.②它能在一个平面内作与另个平面

垂直的垂线.探究新知思考3：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，那么直线a在平面α内？证明你的结论。所以直线a与直线b重合，因此a

．证明：设α∩β＝c．过点P在平面α内作直线b⊥c．由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直a在平面α内例题讲解解：在α内作垂直于α与β的交线的直线b．∵α⊥β∴b⊥β∵a⊥β∴a∥b例1

如图，已知平面α⊥平面β，直线a，a⊥β，

判断a与α的位置关系．

∵a∴a∥α.结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（

）.例题讲解例2

如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．

PABC证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E．∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC．∵BC平面PBC，∴AE⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴PA⊥BC．又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．课堂练习答案BCD例题讲解例3：

如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,∵∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形,∵G是AD的中点,∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.证明：例题讲解例3：

如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.(2)如图,连接PG.∵△PAD是正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD,由(