2025届新高考数学冲刺精准复习：解析几何

2025届新高考数学冲刺精准复习解析几何

1.[2023·辽宁丹东二模]直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝(

)A．－2

B．1C．－2或1D．－1或2答案：A解析：由题意，直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，∴由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.2．[2023·安徽蚌埠三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的(

)A．充要条件B．充分不必要条件C.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线方程是________________．

2x＋y－1＝0或y＝1

答案：B

2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如表．方法几何法代数法位置关系相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0

1.[2023·安徽蚌埠三模]直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是(

)A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：A解析：已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.2．[2023·河北唐山二模]已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(

)A．外切B．内切C．相交D．外离答案：C

3．[2023·河南郑州三模]曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三点，则过A，B，C三点的圆的方程为_________________．(x－2)2＋(y－1)2＝4

x＋y－2＝0

答案：B

(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(

)A．2ax＋by－1＝0

B．2ax＋by－3＝0C．2ax＋2by－1＝0

D．2ax＋2by－3＝0答案：D

2.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．

[巩固训练1]

(1)[2023·黑龙江大庆三模]已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3，4)到直线l的距离是2，这样的直线l有(

)A．1条B．2条C．3条D．4条答案：D

答案：B

(3)[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_________________________________________________________．3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)

3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积；(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．1.已知P(－1，2)为圆x2＋y2＝8内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为(

)A．2x－y＋3＝0B．x＋2y－5＝0C．x－2y＋5＝0D．x－2y－5＝0答案：C

答案：B

3．[2023·安徽亳州一中模拟]已知两定点A(－4，0)，B(2，0)，如果动点M满足|MA|＝2|MB|，点N是圆x2＋(y－3)2＝9上的动点，则|MN|的最大值为________．12

答案：D

答案：C

技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．

答案：A

答案：C

3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．

答案：B

2．[2023·河南新乡三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点M(x0，x0)(x0≠0)满足|MF|＝5，则抛物线C的方程为(

)A．y2＝2xB．y2＝xC．y2＝8xD．y2＝4x答案：D

答案：AD

34解析：因为|PF1|＝2|PF2|＝16，所以|PF1|＝16，|PF2|＝8，故|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，则a＝4，又b2＝9，故c2＝a2＋b2＝25，则c＝5，|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34.

答案：D

答案：B

技法领悟1．关于圆锥曲线定义的应用对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．

答案：C

(2)[2023·河北衡水中学模拟]抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，得到的图象正好对应抛物线y＝2x2，则m＝________．

答案：D

2．[2023·山东青岛一模]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．

答案：D

答案：B

答案：A

2

答案：D

答案：D

答案：A

答案：A

技法领悟1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是利用其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．

答案：C

答案：A

(2)已知P(2，0)，是否存在过点G(－1，0)的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

技法领悟解决此类问题的关键是围绕直线斜率式子的整理和求解．[巩固训练1]

[2023·广东广州三模]直线l经过点T(t，0)(t>0)且与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点．(1)若A(1，2)，求抛物线C的方程；(2)若直线l与坐标轴不垂直，M(m，0)，证明：∠TMA＝∠TMB的充要条件是m＋t＝0.

(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个(多选只按先做给分)，证明：直线l过定点．①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.

技法领悟直线过定点问题的解题策略(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．

(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．

(1)求C1和C2的方程；

技法领悟圆锥曲线中定值问题的解题策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．

(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝a2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P1，P2两点，记直线P1A1的斜率为k1，P2A2的斜率为k2，那么k1·k2是否为定值？并说明理由．

(2)若过B作x轴的垂