江苏省2024-2025学年高三数学上学期第二次考试含解析

高三年级其次次考试数学试卷留意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满意z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z-的模长为(A.2 B.3 C.2 D.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|lnx<1},则M∪N=(A.(0,1] B.(1,e) C.(0,e) D.(-∞,e)3.已知平面对量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(π3,0),B(7π12,-1),则f(A.f(x)=sin(x+π6B.f(x)=sin(x-π6C.f(x)=sin(2x+π3D.f(x)=sin(2x-π65.将一枚匀整的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事务为“C8x>C8y”,则P(A)A.1136 B.13 C.13366.若直线y=ax+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为()A.2ln2 B.ln2C.12ln2 D.1+7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形态为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不行能为(3,-2)8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=1,记bm为数列{an}中能使an≥12m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{bmA.2024×2024 B.22024-1C.6-327 D.11二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是()A.f(0)=0 B.f(x)的一个周期为2C.f(2024)=1 D.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是()A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值C.若M为BC的中点,则A1B=2AMD.PA·PC的最小值为-112.已知函数f(x)=a(ex+a)-x,则下列结论正确的有()A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=lna处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2lna+32非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是▲.

14.已知{an}是递增的等比数列,且满意a3=1,a1+a3+a5=919,则a4+a6+a8=▲.15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为▲.

16.设a>0,已知函数f(x)=ex-aln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为▲.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1-cosA(1)证明:cosB=a2(2)求ab的取值范围18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中随意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,2Sn=3an-3.(1)证明数列{an}为等比数列;(2)设数列{an}的前n项积为Tn,若对随意n∈N*恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F的坐标为(1,0),P是椭圆在第一象限的随意一点,且直线A2P交y轴于点Q.若△A1PQ的面积与△A2FP的面积相等,求直线A2P的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=xlnx-12ax2(a>0)(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:x1x2>1a

江苏省百校联考高三年级其次次考试数学试卷参考答案1.D【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z-|=|z|=5,故选D2.C【解析】解不等式1x-1<-1,即xx-1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由lnx<1,得0<x<e,所以N=(0,e),所以M3.C【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3)5.C【解析】抛掷两次总的基本领件有36个.当x=1时,没有满意条件的基本领件;当x=2时,y=1满意;当x=3时,y=1,2,6满意;当x=4时,y=1,2,3,5,6满意;当x=5时,y=1,2,6满意;当x=6时,y=1满意.总共有13种满意题意,所以P(A)=1336故选C.6.B【解析】设切点为(x0,lnx0),y'=1x,则a=1x0,ax0+b=lnx0,得b=lnx0-1,∴2a+b=2x0+lnx0-1.设f(x)=2x+lnx-1(x>0),f'(x)=-2x2+1x=x-2x2∴f(x)min=f(2)=ln2,∴2a+b的最小值为ln2.7.C【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=kOA设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,8.D【解析】当n=1时,a1=12,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-an=0,∴an=12n,明显{an}递减,要使得an最小,即要使得n最大,令12n≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,bm=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,bm=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,bm=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,bm=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T9.ABD【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2024)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD【解析】A选项,与渐近线平行的直线不行能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不行能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=bax,解得S(a22联立直线l与渐近线y=-bax,解得R(a2-2b+a,ab2所以yS-yR=2(yB-yS),即3yS=yR+2yB,3ab2b+a=ab2b-a,解得b=11.BCD【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,AC1=AB+AD+AA1,AM=AB+12AD,故2AM-AC对于D,设PC=λD1PA·PC=(PC+CB+BA)·PC=(λD1C-AD-AB)·λD1C=(λA1B-AD=(λAB-λAA1-AD-AB)·(λAB-λ=λ(λ-1)|AB|2-λ2AA1·AB-λAD·AB-λ(λ-1)AB·AA1+λ2|AA1|=λ(λ-1)|AB|2-(2λ2-λ)AA1·AB-λAD·AB+λ2|AA1|2+=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos60°-λ×2cos60°+4λ2+λ·2cos60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA·PC的最小值为-14,故D正确.12.BD【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即ex+1-x=0,又ex≥x+1>x-1,所以ex+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=aex-1,当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f'(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-lna)上单调递减;当x>-lna时,f'(x)>0,则f(x)在(-lna,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-lna处取得,所以C错误.对于D,由上知f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna,要证f(x)>2lna+32,即证1+a2+lna>2lna+32,即证a2-12-令g(a)=a2-12-lna(a>0),则g'(a)=2a-1a=令g'(a)<0,则0<a<22;令g'(a)>0,则a>2所以g(a)在(0,22)上单调递减,在(22,+所以g(a)min=g(22)=(22)2-12-ln22=ln2>0,则g(所以当a>0时,f(x)>2lna+32恒成立,D正确.综上,故选BD13.(-∞,1]【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤2x因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a小于或等于2xx2+1的最大值,当x=0时,2xx2+1=0,当x≠所以2xx2+1的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(14.273【解析】设公比为q,a1+a3+a5=a3q2+a3+a3q2=919,解得q2=9或19,因为{an}递增,所以q=3,则a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=919×315.12π【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O确定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径),∴△AOO1与△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,∴AB=r1+r2,∴O1O22=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=2∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.16.e2【解析】f(x)≥0⇔ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=alnx+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且g(ex)=alnex+ex=ax+ex,故f(x)≥0⇔g(ex)≥g(ax+b)⇔ex≥法一:设y=ex在点P(x0,ex0)处的切线斜率为a,ex0=a,即x0切线l:y=ax+a(1-lna),由ex≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),设h(a)=a2(1-lna),a>0,h'(a)=2a(12-lna),当a∈(0,e12)时,h'(a)>0,当a∈(e12,+∞)时,h'(a)<0,∴h(a)max=h(e12)=e2,法二:设h(x)=ex-ax-b,h'(x)=ex-a,当x∈(-∞,lna)时,h'(x)<0,当x∈(lna,+∞)时,h'(x)>0,∴h(x)min=h(lna)=a(1-lna)-b≥0,即有b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cosAsinA=sin2所以(1-cosA)·cosB=sinA·sinB, 2分所以cosB=cosAcosB+sinAsinB,即cos(A-B)=cosB,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B,即A=2B所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=a2b.证法二:由1-cosAsinA=2sin2A2即sinA2·(1+cos2B)=cosA2·sin2所以sinA2=sin2B·cosA2-cos2B·sinA2=sin(2又0<A<π2,0<B<π2且A+B>所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B或B=π2综上知,A=2B.所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=a2(2)由上知A=2B,则C=π-A-B=π-3B,在锐角△ABC中,π6<B<π4,由正弦定理,得ab=sinAsinB=sin2BsinB=2sinBcosBsin所以ab的取值范围是(2,3). 18.【解析】(1)记事务D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事务E:此人来自甲市,记事务F:此人来自乙市,记事务G:此人来自丙市. 1分Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,由题意可得P(E)=420=0.2,P(F)=620=0.3,P(G)=1020=P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04, 3分由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054, 5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. 6分(2)由条件概率公式可得P(E|D)=P(DE)P(D)=P所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827. 19.【解析】(1)因为2Sn-3an+3=0,①当n≥2时,2Sn-1-3an-1+3=0,② 2分①-②得an=3an-1(n≥2),即anan-1=所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列. 4分(2)由(1)知an=3n,所以Sn=3(1-3nTn=a1a2a3…an=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=3n(n所以k=1=k=1n(2k-1)3kk(k+1)=k=1n(3k+1故λ<3-n+13n令f(n)=3-n+13n-1,则f(n+1)-f(n)=3-n+23n-(3-n所以数列{f(n)}单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0. 12分20.【解析】(1)由题可知,|A1A2|=2a,由A1F=3FA2,所以|A1F|=3|FA2|,所以|A1F即a+c=32a,所以椭圆的离心率e=ca=12(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为x24+y直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A1到直线A2P的距离为h1,F到直线A2P的距离为h2,则h1=|-4k|k2+1,h2又S△A1PQ=12h1·|PQ|,S△A2FP=12h所以|PQ||A2P|由图可得A2P=45A2Q,又因为A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(25又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=98,因为k<0,所以k=-324法二:由题意知,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,联立kx-y-2k=0,x24+y23=1,消去y得到方程(3+4k2)x所以xA2·xP=16k2-123+4k2代入直线方程得P(8k2-63+4k2,-12k3+4kS△A2FP=12|A2F|·yP=yP2,S△A1PQ=S△QA1A2-S△又因为S△A1PQ=S△A2FP,所以5所以52·-12k3+4k2=-4k,解得k2=98,因为k<21.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD, 2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD. 4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 5分CN=λCP(0≤λ≤1),∴BM=(-2,-2,1),CP=(0,-2,2),∴BN=BC+CN=BC+λCP=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),则BM·n=-2x-2y+z=0,BN·n=-∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ). 7分设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,则cosθ=|cos<n,m>|=|n·m|n||m|设t=1-λ,则0≤t≤1.①当t=0时,cosθ=0. 9分②当t≠0时,cosθ=2|t|9t2-6=212[(当t=23时,cosθ=223,∴0<cosθ≤2综上,0≤cosθ≤223.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[0,22322.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx-ax+1, 1分由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥lnx+1x设h(x)=lnx+1x,h'(x)当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减, 3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1. 4分(2)证法