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文档简介
7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布学习任务1.理解n重伯努利试验的概念.(数学抽象)2.驾驭二项分布的概率表达式.(数学抽象)3.能利用伯努利试验的模型及二项分布解决一些简洁的实际问题.(数学运算、数据分析)为了增加系统的牢靠性,人们常常运用“备用冗余设备”(即正在运用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络的服务器接受的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.假如三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,它们之间相互不影响,那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢?学问点1n重伯努利试验(1)概念:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(3)n重伯努利试验的共同特征①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.(1)每次试验结果只有两种,即事务要么发生,要么不发生.(2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事务互不影响.1.“试验的结果相互独立”的含义是什么?[提示]每次试验的概率相同,不受上次试验结果的影响.学问点2二项分布(1)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事务A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事务A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,假如随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X听从二项分布,记作X~B(n,p).(2)二项分布的均值与方差若X听从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.二项分布与两点分布有什么关系?[提示](1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事务A发生(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n重伯努利试验中事务A发生的次数X的分布列,试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种:事务A发生或不发生),试验结果有n+1种:事务A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.(2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特别的二项分布,即n=1的二项分布.1.思索辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的. ()(2)n重伯努利试验只有发生与不发生两种结果. ()(3)n重伯努利试验中每次试验中发生的机会是均等的. ()(4)n重伯努利试验中每次试验发生的事务是互斥的. ()(5)两点分布属于二项分布. ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2.某射手射击1次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:①他第三次击中目标的概率为0.9;②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率为1-0.14.其中正确结论的序号为__________.①③[在n重伯努利试验中,每次试验事务发生的概率都相等,故①正确;②中恰好击中3次须要看哪3次击中,正确的概率应为C43×0.9利用对立事务求解,③正确.]3.某班有14的学生数学成果优秀,假如从该班中随机抽出5名同学,设其中数学成果优秀的学生数为X,那么E(2X72[依题意X~B5则E(X)=5×14=5∴E(2X+1)=2E(X)+1=2×54+1=7类型1n重伯努利试验n重伯努利试验的推断【例1】推断下列试验是不是n重伯努利试验.(1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面对上;(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中;(3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球.[解](1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是n重伯努利试验.(2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验.(3)每次抽取时,球的个数不一样多,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验.n重伯努利试验的概率【例2】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和3(1)求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.[解](1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事务A1,由题意,射击3次,相当于3重伯努利试验,故P(A1)=1-P(A1)=1-233(2)记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事务A2,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事务B2,则P(A2)=C22×232=49,P(B2)=C21×341×[母题探究]1.(变设问)本例条件不变,求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率.[解]记“甲击中目标1次”为事务A3,“乙击中目标1次”为事务B3,则P(A3)=C21×23×13=49,所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)=49×32.(变设问)本例条件不变,求甲、乙各射击2次,甲未击中、乙击中2次的概率.[解]记“甲未击中目标”为事务A4,“乙击中2次”为事务B4,则P(A4)=C201-232=19,P所以甲未击中,乙击中目标2次的概率为P(A4B4)=19×9n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)推断:依据n重伯努利试验的特征,推断所给试验是否为n重伯努利试验.(2)分拆:推断所求事务是否须要分拆.(3)计算:就每个事务依据n重伯努利试验的概率公式求解,最终利用乘法或加法公式计算.[跟进训练]1.(多选)下列事务不是n重伯努利试验的是()A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D.在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标ABC[A,C符合互斥事务的概念,是互斥事务;B是相互独立事务;D是n重伯努利试验.]2.小明同学宠爱篮球,假设他每一次投篮投中的概率为23A.481B.881C.4D[因为小明每次投篮投中的概率是23,所以在他连续四次投篮中,恰有两次投中的概率为P=C42类型2求听从二项分布的随机变量的分布列【例3】(源自湘教版教材)抛掷两枚骰子,取其中一枚的点数为点P的横坐标,另一枚的点数为点P的纵坐标,连续抛掷这两枚骰子三次,求点P在圆x2+y2=16内的次数X的分布列.[解]由题意可知,P点的坐标可能有6×6=36(种)状况,而符合题意的点只有下列8个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),如图所示.那么在抛掷骰子时,点P在圆x2+y2=16内的概率为836=2由题意可知X~B3,P(X=0)=C302P(X=1)=C312P(X=2)=C322P(X=3)=C332因此,随机变量X的分布列为X0123P34398288二项分布问题的两个关注点(1)推断:关键有两点,一是对立性,即一次试验中,事务发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.(2)参数意义:X~B(n,p)中n为试验次数,p为胜利概率.(3)公式用途:公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)是求n重伯努利试验发生[跟进训练]3.在某公司的一次聘请中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是12(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.[解](1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C321(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为C32122甲、乙、丙三人中被录用的人数X听从二项分布,即X~B3,所以P(X=0)=1-12P(X=1)=C311P(X=2)=C321P(X=3)=123=故X的分布列为X0123P1331类型3二项分布的均值、方差及实际应用【例4】某商场为刺激消费,拟按以下的方案进行促销:顾客每消费500元便得到奖券一张,每张奖券的中奖概率为12(1)设该顾客中奖的奖券张数为X,求X的分布列;(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元,用X表示Y,并求Y的均值.[解](1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的,因此X~B4,所以P(X=0)=C401P(X=1)=C411P(X=2)=C421P(X=3)=C431P(X=4)=C441其分布列为X01234P11311(2)因为X~B4,12,所以E(X又由题意可得Y=2300-100X,所以E(Y)=E(2300-100X)=2300-100E(X)=2300-100×2=2100(元).即所求变量Y的均值为2100元.(1)在解决有关均值和方差问题时,要细致审题,假如题目中的离散型随机变量符合二项分布,就应干脆利用二项分布求均值和方差,以简化问题的解答过程.(2)对于二项分布的均值与方差公式E(X)=np和D(X)=np(1-p)要娴熟驾驭.[跟进训练]4.为了了解校内噪音状况,学校环保协会对校内环境噪音值(单位:分贝)进行了50天的监测,得到如下统计表:环境噪音值(单位:分贝)[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]频数14122085(1)依据该统计表,求这50天校内噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);(2)依据相关规定,“环境噪音值超过65分贝,视为重度噪音污染,环境噪音值不超过59分贝,视为轻度噪音污染.”把由上述统计表算得的频率视作概率,回答下列问题:①求周一到周五的5天中恰有两天校内出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染的概率;②学校要实行为期3天的“汉字听写大赛”校内选拔赛,把这3天校内出现的重度噪音污染天数记为X,求X的分布列和方差D(X).[解](1)由数据可知样本平均数为:56×(2)①由题意知,出现重度噪音污染的概率为110出现轻度噪音污染的概率为110设事务A为“周一至周五的5天中恰有两天校内出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”,则P(A)=C521②由题意,得X~B3,则随机变量X的分布列为P(X=k)=C3k1所以X的分布列为X0123P729243271所以D(X)=np(1-p)=0.27.1.n重伯努利试验应满意的条件:①各次试验之间是相互独立的;②每次试验只有两种结果;③各次试验胜利的概率是相同的;④每次试验发生的事务是互斥的.其中正确的是()A.①② B.②③C.①②③ D.①②④C[由n重伯努利试验的概念知①②③正确,④错误.]2.小方每次投篮的命中率为57,假设每次投篮相互独立,则他连续投篮A.2049 B.C.2549 D.A[由题意可知,小方连续投篮2次,恰有1次命中的概率P=C21×3.抛掷一枚质地匀整的硬币n(3≤n≤8)次,正面对上的次数ξ听从二项分布Bn,12,若P(ξ=1)=36[因为3≤n≤8,ξ听从二项分布Bn,12,且P(ξ=1)=332,所以Cn1·12n=34.某次考试中,第一大题由12道选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________.48[设小王选对的个数为X,得分为Y=5X,则X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6,E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.]回顾本节学问,自主完成以下问题:1.n重伯努利试验中,X的分布列P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-[提示]k表示事务A发生的次数,n表示试验总次数,p表示事务A发生的概率,(1-p)表示事务A发生的概率.2.同一个伯努利试验重复做n次即为n重伯努利试验,重复意味着什么?[提示]重复意味着试验胜利的概率相同.3.推断二项分布的关键点是什么?[提示](1)对立性.在一次试验中,事务A发生与否必居其一.(2)重复性.试验可以独立重复地进行,且每次试验事务A发生的概率为同一常数.(3)X的取值从0到n,中间不间断.课时分层作业(十六)二项分布一、选择题1.若某地居民中高血压的患病率为p,从该地区随机抽查n人,则下列说法正确的是()A.样本患病率听从二项分布X~B(n,p)B.n人中患高血压的人数X听从二项分布X~B(n,p)C.患病人数与样本患病率均不听从二项分布X~B(n,p)D.患病人数与样本患病率均听从二项分布X~B(n,p)B[由二项分布的定义知B正确.]2.(2024·天津杨柳青一中期中)设随机变量X~B4,12,则PA.35 B.C.38 D.C[由二项分布的概率公式可得,P(X=2)=C42×3.已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)=()A.1.8 B.6C.2.1 D.4.2D[因为X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,解得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2,故选D.]4.(多选)若随机变量X听从二项分布B4,A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=3P(X=1)C.P(X=4)=2P(X=0)D.P(X=3)=4P(X=1)BD[由题意,依据二项分布中概率的计算公式P(X=k)=C4k23k1-234-k,k=0,1,2,3,4,则P(X=0)=C40230·1-234=181,P(X=1)=C412311-233=881,P(X=2)=C425.(多选)某城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中随意选出5个家庭,则下列说法中正确的是()A.这5个家庭均有小汽车的概率为243B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为27C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81ACD[由题得小汽车的普及率为34A.这5个家庭均有小汽车的概率为345=B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C53·34C.这5个家庭平均有5×34D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为C54344二、填空题6.已知随机变量ξ,η满意ξ+η=1,且ξ~B(8,p),E(ξ)=2,则E(η)=________;D(η)=________.-132[因为随机变量ξ,η满意ξ+η=且ξ~B(8,p),E(ξ)=2,所以E(ξ)=8p=2,解得p=14所以D(ξ)=8×14×3因为ξ+η=1,所以η=1-ξ,所以E(η)=1-E(ξ)=1-2=-1,D(η)=(-1)2D(ξ)=D(ξ)=327.箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小、形态完全相同的6个球,从箱子中一次摸出两个球,登记号码并放回,假如两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参加摸奖,则恰好有3人获奖的概率为_________________.96625[获奖的概率为p=6C6记获奖的人数为ξ,ξ~B4,所以4人中恰好有3人获奖的概率为P=C432538.(2024·山东枣庄三模)已知随机变量X~B(6,0.8),若P(X=k)最大,则D(kX+1)=________.24[由题意可知,P(X=k)=C6k0.26-k0.8要使P(X=k)最大,则P(X=k)≥P(X=k-1)且P(X=k)≥P(X=k+1),即C6k0.26-k0.8k≥C6即0.8×7-kk解得235≤k≤285,故易知D(X)=6×0.8×0.2=0.96,所以D(kX+1)=D(5X+1)=52D(X)=24.]三、解答题9.一款击鼓小嬉戏的规则如下:每盘嬉戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘嬉戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12(1)若第一次击鼓出现音乐,求该盘嬉戏获得100分的概率;(2)设每盘嬉戏获得的分数为X,求X的分布列.[解](1)若第一次击鼓出现音乐,则该盘嬉戏获得100分的概率为P=12×1(2)X可能的取值为10,20,100,-200,P(X=10)=C31×P(X=20)=C32×P(X=100)=C33×P(X=-200)=C30×所以X的分布列为X1020100-200P331110.连续投掷2枚大小相同、质地匀整的骰子3次,则恰有2次点数之和不小于10的概率为()A.112 B.C.115 D.B[连续投掷2枚大小相同、质地匀整的骰子1次,基本领件总数n=6×6=36,出现向上的点数之和不小于10包含的基本领件有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有6个,所以每次投掷,两骰子点数之和不小于10的概率为16,又投掷3次,相当于3重伯努利试验,故恰有两次点数之和不小于10的概率为C3211.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an=-1,第n次摸到红球,1,第n次摸到白球,假如SnA.CB.CC.CD.CB[由S7=3知,在前7次摸球中有2次摸到红球,5次摸到白球,而每次摸到红球的概率为23,摸到白球的概率为13,所以S7=3的概率为12.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,有关部门要求产品在进入市场前必需进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16,其次轮检测不合格的概率为110,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则P(A.27128 B.C.43256 D.B[由题意得该产品能销售的概率为1-16易知X的全部可能取值为-320,-200,-80,40,160,设ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则ξ~B4,34,所以P(ξ=k所以P(X=-80)=P(ξ=2)=C42×342×142=27128,P(X=40)=P(ξ=3)=C43×3故P(X≥-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=27128+2713.某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株,设X为其中成活的株数,若D(X)=2.1,P(X=3)<P(X=7),则p=________.0.7[由题意可知X~B(10,p),∴10p即100p2-14.某科技公司为5G基
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