高中数学6.1.3共面向量定理同步练习教师版苏教版选择性必修第二册

6.1.3共面对量定理一、单选题1．下面关于空间向量的说法正确的是（

）.A．若向量，平行，则，所在直线平行B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面C．若，，，四点不共面，则向量，不共面D．若，，，四点不共面，则向量，，不共面【答案】D【分析】依据空间向量共面的定义推断B，C，D，由向量平行与直线平行的区分推断A.【解析】我们可以通过平移将空间中随意两个向量平移到一个平面内，因此空间随意两个向量都是共面的，故B，C都不正确.由向量平行与直线平行的区分，可知A不正确.因为，，是空间中共端点但不共面的三条线段，所以向量，，不共面.故选：D【点睛】本题主要考查了推断空间向量是否共面，属于基础题.2．若构成空间的一个基底，则（

）A．不共面 B．不共面C．不共面 D．不共面【答案】A【分析】依据空间向量共面定理依次推断各选项即可得答案.【解析】解：由题知不共面，对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；对于B，因为，故共面，B错误；对于C，因为，故共面，C错误；对于D，因为，故共面，D错误.故选：A3．已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】推断是否存在唯一的有序实数对，使选项中的向量等于即可.【解析】由已知，与不共线，对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，该方程组无解，故选项A错误；对于B，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，解得，即，与，共面，故选项B正确；对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，该方程组无解，故选项C错误；对于D，由选项A及选项C的推断知，选项D错误.故选：B.4．在下列条件中，使与，，确定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据空间共面对量定理以及其结论一一推断各选项，即可得答案.【解析】对于A选项，,由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，则为共面对量，所以共面.对于C选项,，由于，所以不能得出共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面,故选：B5．已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】依据空间向量的四点共面定理即可求解.【解析】因为，且四点共面，所以，所以，故选:B.6．对于空间中的三个向量，，，它们确定是（

）A．共面对量 B．共线向量 C．不共面对量 D．无法推断【答案】A【分析】依据平面对量基本定理分析推断.【解析】若共线，则，，共线，，，共面；若不共线，则可作为基底向量，可以用基底向量线性表示，依据平面对量基本定理可知：，，共面；综上所述：，，共面.故选：A.7．空间四点共面，但随意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，比照已知的系数相等即可求解．【解析】解：因为空间，，，四点共面，但随意三点不共线，则可设，又点在平面外，则，即，则，又，所以，解得，，故选：C．8．下列条件中确定使点P与A，B，C共面的有（

）个①②③④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】依据向量共面的充要条件推断即可.【解析】①因为，所以，，为共面对量，所以点与，，共面，故①正确；②，所以，，为共面对量，所以点与，，共面，故②正确；对于③④明显不满意，故③④错；故选：C.9．对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面【答案】B【分析】若四点共面，则四点所构成的三个共起点的向量中，其中一个向量能用另外两个向量表示.即把转化成3个共起点的向量即可.【解析】

四点共面故选:B.10．已知为空间任一点，，，，四点满意随意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】依据空间向量共面定理的推论求解．【解析】解：，，又，，，四点满意随意三点不共线，但四点共面，，，故选：B．11．已知点不共线，是空间随意一点，点在平面内，且，则（

）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值1 D．有最大值1【答案】A【分析】因为四点共面，则，即，从而得出答案．【解析】因为四点共面，则，即，所以当时，有最小值．故选：A．12．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与相互平分，则满意的实数的值有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】因为线段D1Q与OP相互平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q确定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.二、多选题13．已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AD【分析】依据空间向量共面定理依次推断选项即可。【解析】对于A，，故不共面；对于B，，故共面；对于C，，故共面；对于D，，故D不共面.故选：AD14．给出下列四个命题，其中是真命题的有（

）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【答案】AC【分析】由向量共面定理可推断AC；取，为零向量可推断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可推断D.【解析】由向量共面定理可知A正确；当，为零向量可知B错误；由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.故选：AC15．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不愿定共面的是（

）A． B．=3-2C． D．【答案】ABD【分析】依据空间中四点A，B，C，D共面的充要条件，逐一推断可得选项.【解析】解：依据空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满意，且，对于A：因为，又，所以空间中四点A，B，C，D不愿定共面；对于B：因为=3-2，又，所以空间中四点A，B，C，D不愿定共面；对于C：因为，所以，所以向量共面，即四点A，B，C，D共面，对于D：因为，所以，又，所以空间中四点A，B，C，D不愿定共面.故选：ABD.16．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【分析】依据空间四点共面可得，即，推断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，推断C,D.【解析】由题意知，即共面，则为基底表示时，系数和为1，由，可知，，即，A正确；由，，可知仅当时，有，比如当时，即不成立，故B错误；又由基本不等式可得，，当且仅当，时等号成立，故C错误，D正确．故选：AD．三、填空题17．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是____（填序号）.【答案】①③##③①【分析】利用空间共面对量定理推断即可【解析】解：对于①，因为是空间三个不共面的向量，且，所以不共面，所以①符合题意；对于②，因为，所以是共面对量，所以②不符合题意；、对于③，若是共面对量，则存在实数，使，即，因为是空间三个不共面的向量，所以，冲突，所以不共面，所以③符合题，故答案为：①③18．下列命题中错误的是______．（填序号）①若A、B、C、D是空间随意四点，则有；②是、共线的充要条件；③若、共线，则；④对空间随意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、）则P、A、B、C四点共面．【答案】②③④【分析】干脆由向量的运算、向量的共线及向量的共面依次推断4个命题即可.【解析】对于①，，正确；对于②，或是、共线的充要条件，错误；对于③，若、共线，则或重合，错误；对于④，若（其中x、y、），当且仅当时，P、A、B、C四点共面，错误.故答案为：②③④.19．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外随意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．【答案】【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再依据推论进行求解.【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得，O是平面ABC外随意一点，则，即，若A，B，C三点共线，则，即，整理得：，所以，此时若，则，因为A，B，C三点不共线，，所以，所以，令，则，所以，所以．故答案为：20．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.【答案】【分析】设，依据向量线性运算的几何表示可得，然后向量共面的推论即得.【解析】由题可设，因为，所以，因为M，E，F，G四点共面，所以，解得.故答案为：.四、解答题21．已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．【答案】证明见解析【分析】用共面对量定理证明共面，即可得四点共面．【解析】设，则，，又为两个不共线的非零向量，，，，四点共面，故原命题得证．22．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.【答案】证明见解析.【分析】依据空间向量定义及运算法则，用，表示出，从而证得四点共面.【解析】证明:因为＝＝＋＝，所以，，共面，所以A，E，C1，F四点共面.23．已知三点不共线，对于平面外的随意一点，推断在下列各条件下的点与点是否共面．(1)；(2)．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）依据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）依据空间向量的共面定理及推论，即可求解；(1)解：因为三点不共线，可得三点共面，对于平面外的随意一点，若，即，又因为，依据空间向量的共面定理，可得点与共面.(2)解：因为三点不共线，可得三点共面，对于平面外的随意一点，若，此时，依据空间向量的共面定理，可得点与不共面．24．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；（2）证得，即可得出结论.（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以．（2）因为，，所以，，所以．所以四点共面．25．已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：(1)四点共面；(2)；(3)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）依据向量的共面定理，即可求解；（2）依据空间向量的运算法则，精确运算，即可求解；（3）依据空间向量的运算法则，精确运算，即可求解.（1）解：因为，由共面对量的基本定理，可得是共面对量又因为有公共点，所以四点共面.（2）解：因为，则，所以.（3）解：由（1）及，可得，所