2024八年级数学下册专题4.9中心对称基础篇新版浙教版

Page1专题4.9中心对称（基础篇）一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（）A． B．C．点的对称点是点 D．3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（

）A． B． C． D．5．已知两点，若，则点与（

）A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对6．在直角坐标系中，关于原点对称的点，则a，b的值为（

）A．， B．，C．， D．，7．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后对应的点为，且点和关于原点对称，则（

）A．1 B．2 C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标为（

）A． B． C． D．9．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（

）A． B． C． D．10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O动身引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A． B． C． D．二、填空题11．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于（1，1）对称的点的坐标是_____．12．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，且=0，则点P关于原点对称的点的坐标为_________．13．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是______．14．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．15．如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为_____．16．如图，将等边沿中点旋转得到．现给出下列命题：①垂直平分；②四边形是中心对称图形；③四边形是轴对称图形；④．其中正确的是________（写上正确的序号）．17．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3，AE=5，∠D=90°，则AC=_________．18．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点．（1）若点的坐标为，请你在给出的坐标系中画出．设与轴的交点为，则＝______；（2）若点A的坐标为，则的形态为______．三、解答题19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．(1)画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的△．(2)画出△ABC关于原点成中心对称的△，并干脆写出点的坐标．20．如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心．若AO＝4cm，那么CO的长是多少？试说明△ABO≌△CDO．21．如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．填空：E是线段CD的，点A与点F关于点成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是三角形．四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．22．如图，点D是中边上的中点，连接并延长使，连接．请指出图中成中心对称的线段、三角形，并写出面积相等的三角形．23．如图所示，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后形成的图形；(1)请你指出图中全部相等的线段；(2)图中哪些三角形可以被看成是关于点O成中心对称关系？24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．（1）作出△ABE关于点E成中心对称的图形；（2）探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案1．C【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，假如旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：假如一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．依据定义即可推断．解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确驾驭相关概念是解题关键．2．B【分析】依据中心对称的性质一一推断即可．解：∵与关于点成中心对称，∴，点的对称点是点，，，故A、C、D正确，B错误；故选：B．【点拨】本题考查了中心对称，平行线的判定等学问点，解题的关键是理解中心对称的性质．3．B【分析】在直角△ABC中依据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解．解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，∴BB′=2AB=4．故选：B．【点拨】本题主要考查了中心对称图形的性质，直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．4．A【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，视察可得点E的坐标．解：连接，∵和关于点E成中心对称，∴交于点E，∴点．故答案为：A．【点拨】本题考查了坐标与图象变更-旋转，解决本题的关键是娴熟驾驭图形旋转对称的性质．5．C【分析】首先利用等式求出然后可以依据横纵坐标的关系得出结果．解：，两点，点与关于原点对称，故选：C．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键．6．A【分析】干脆利用关于原点对称点的性质求出a，b的值即可．解：∵点关于原点对称的点为，∴，，∴，，故选：A．【点拨】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是驾驭两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．7．B【分析】依据平移坐标变换规律求出点的坐标，再利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．解：∵将点向右平移a个单位长度，再向下平移b个单位长度，∴平移后点的坐标是：；∵点和关于原点对称，∴，，∴，，∴故选：B．【点拨】本题考查了点的坐标表示平移，关于原点对称点的坐标，熟记平移坐标变换规律：左减右加，下减上加；关于原点对称点的坐标特征：横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键，属基础题，难度不大．8．B【分析】依据中心对称的定义得到点与点关于原点对称，然后依据关于原点对称的点的坐标特征求解．解：由图可知点旋转后关于原点对称，则坐标为故选：B．【点拨】本题考查直角坐标系中的旋转问题，解题的关键在于理解关于原点成中心对称的两点之间的关系．9．D【分析】如图，依据△AMC≌△QPE≌△BPD，可知PM=AB，利用勾股定理可得答案．解：如图，经过点P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△QPE≌△BPD，∴AM=PB，∴PM=AB，∵，∴，故选：D．【点拨】本题主要考查了图形的剪拼，全等三角形的判定与性质，勾股定理等学问，正确画出分割线是解题的关键．10．B【分析】依据中心对称的性质解答即可．解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．【点拨】本题考查了中心对称的问题，关键是依据中心对称的性质解答．11．【分析】依据对称的性质，点（1，1）是点A与对称点的中点，列式进行计算即可得解．解：设点A（﹣3，2）关于（1，1）对称的点的坐标是，∴，解得，∴点A（﹣3，2）关于（1，1）对称的点的坐标是．故答案为：．【点拨】本题考查了中心对称的性质，中点坐标公式，驾驭中心对称的性质是解题的关键．12．【分析】依据非负性求得的值，进而依据关于原点对称的点的坐标特征即可求解．解：∵=0，∴解得，，点P关于原点对称的点的坐标为．故答案为：【点拨】本题考查了非负数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，驾驭关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．13．5．【分析】依据对称可得∠D=90°，利用勾股定理求解．解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ACB≌△DCE，∴AC=CD=2，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，∴AD=4，∴AE=，故答案为：5．【点拨】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等学问，解题的关键是理解题意，灵敏运用所学学问解决问题．14．12.【分析】依据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=4，OD=3，∴AB=3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=4×3=12．故答案为12．【点拨】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，假如把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．15．4【分析】依据题意得是直角三角形，依据，，可求得，而，据此即可求解．解：∵，∴是直角三角形，∵，，∴，∵所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，∴，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，中心对称图形的性质，解题的关键是驾驭这些学问点．16．①②③【分析】依据旋转和中心对称，轴的对称，平行四边形的判定即可求解．解：等边沿中点旋转得到，∴，且，∴四边形是菱形，∴对角线，且平分，故结论①，②，③正确；结论④无法证明，故答案为：①②③．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，菱形的性质，驾驭等三角形的性质，旋转的性质，菱形的判定和性质是解题的关键．17．2【分析】依据中心对称得出AC=CD，DE=AB=3，依据勾股定理求出AD即可得出AC的长度．解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC=CD，DE=AB=3，∵AE=5，∠D=90°，∴AD==4，∴AC=AD=2，故答案为：2．【点拨】本题主要考查中心对称和勾股定理的学问，娴熟驾驭中心对称的性质及勾股定理是解题的关键．18．

直角三角形【分析】（1）依据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，描出点，再利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，描出点，顺次连接，设与轴的交点为，分别求出和的面积，再求出它们之比；（2）连交y轴于点，由点A的坐标分别求出点的坐标，就可得出轴，轴，可推断的形态；解：（1）点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，点坐标为，点坐标为，连交轴于点，如图，点坐标为，，；（2）点的坐标为，则点坐标为，点坐标为，轴，轴，，的形态为直角三角形．【点拨】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征（关于轴对称横坐标相等纵坐标互为相反数，关于轴对称横坐标互为相反数纵坐标相等）；关于原点对称的坐标特征（横、纵坐标互为相反数）；熟记相关特征是解题关键．19．(1)见分析(2)图见分析，点的坐标为（-4，-2）．【分析】（1）依据旋转的性质即可画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的△；（2）依据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，进而可以写出点的坐标．（1）解：如图，△即为所求；；（2）解：如图，△即为所求；点的坐标为（-4，-2）．【点拨】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是驾驭旋转的性质．20．(1)4cm(2)见分析【分析】（1）依据关于某点对称的两个图形的对应线段相等干脆得到答案；（2）利用中心对称的性质，得到对应角相等，对应线段相等即可证得全等．（1）解：∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心，∴AO＝CO，∵AO＝4cm，∴CO＝4cm；（2）证明：∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心，∴AO＝CO，BO＝DO，在△ABO和△CDO中，∴△ABO≌△CDO（SAS）．【点拨】此题主要考查了中心对称图形的性质，中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分．21．(1)中点，E，等腰(2)12【分析】（1）先证明△ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；（2）由△ADE≌△FCE得到△ADE的面积等于△FCE的面积，从而得到答案．（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，∴E是线段CD的中点，DE＝EC，∵ADBC，∴∠D＝∠DCF，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AE＝FE，AD＝CF，∴点A与点F关于点E成中心对称，∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC，∴AB＝BF，则△ABF是等腰三角形．故答案为：中点，E，等腰；（2）∵△ADE≌△FCE，∴△ADE与△FCE面积相等，∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，∵四边形ABCD的面积为12，∴△ABF的面积为12．【点拨】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．22．线段与线段关于点D成中心对称，线段与线段关于点D成中心对称，线段与线段成中心对称，与关于点D成中心对称，．【分析】依据中心对称的定义即可得到成中心对称的线段、三角形；再依据关于中心对称的两个三角形的面积相等、等底同高的两个三角形的面积相等解答即可解：∵，∴线段与线段关于点D成中心对称．同理，线段与线段关于点D成中心对称，线段与线段成中心对称，又∵，∴与关于点D成中心对称．∴．∵与是等底同高的两个三角形，∴．∴．【