专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略（解析版） 四川成都七年级数学下册-

专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。=2\*GB3②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。类型一、公式的变形与逆运用例1．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市石室联合中学校考期中）在下列各式中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式的结构特征即可判断．【详解】A．原式=9y2－4x2，故选项A能用平方差公式进行运算；B．原式=x2－4y2，故选项B能用平方差公式进行运算；C．，不能用平方差公式进行运算；D．原式=4x2－9y2，故选项D能用平方差公式进行运算，故选C．【点睛】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．例2．（2022·四川成都·七年级统考期中）计算．【答案】【详解】（）原式．点睛：本题考查了平方差公式，表达式：(a+b)(a－b)=a²－b²，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式.【变式训练1】．，则．【答案】【分析】先设，然后根据平方差公式即可求解．【详解】解：设则，∴，∵，∴，即，故答案为：．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=，故答案为(1)m，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】【详解】解：原式

类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）计算：（1）；（2）．【答案】10000【分析】（1）根据完全平方公式计算即可求解；（2）先将14499变形为，14501变形为，再根据完全平方公式展开，约分即可求解．【详解】解：（1）．（2）．故答案为：10000；．【点睛】本题考查了运用完全平方公式进行有理数的混合运算，根据特点运用完全平方公式是关键．【变式训练1】．（2022下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）=．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：====故答案为：．【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练2】．（2021上·四川成都·八年级树德中学校考开学考试）计算：＝．【答案】【分析】根据式子的特点，将分母用平方差公式展开，再进行计算即可．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式是解题的关键．类型三、与几何综合例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形纸片，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．

(1)通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式______（填选项前面的字母）；A．B．C．D．(2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：①如图，大正方形ABCD的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；

②计算：．【答案】(1)C(2)①；②【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论；（2）①设正方形的边长为a，正方形的面积为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可．【详解】（1）解：第一幅图阴影部分面积为，第二幅图的阴影部分面积为，∵两幅图表示的阴影部分面积相等，∴，故选：C；（2）解：①设大正方形的边长为，小正方形的边长为，，，又，即，，；②原式，==．【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键．【变式训练1】．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．

(1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母、的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①；②．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）图2中的阴影部分为长方形，用长乘宽表示面积即可；（2）根据（1）中结论可得答案；（3）①利用（2）中结论，将变形为，从而进行简便运算；②利用（2）中结论，将变形为，即可求解．【详解】（1）解：图2中的阴影部分面积为．故答案为：．（2）解：由（1）可得．（3）解：①．②．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．

(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式，计算下列各题：①；②．【答案】(1)；(2),【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；故答案为：；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出，①原式；②原式.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.【变式训练3】．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）(1)上述操作能验证的等式是（

）．（请选择正确的一个）．；．；．(2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知，则______；②计算：．③计算：．【答案】(1)(2)①，②，③．【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是解答本题的关键．（1）根据题意，图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为，由此选出答案．（2）①根据题意，，，得到，进而得到答案．②根据题意，得，，，，由此得到原式，得到答案．③由题意，利用平方差公式，将原式展开，找到规律，将整式整理之后得到：原式．【详解】（1）解：图①中的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，图②中的阴影部分是长为，宽为的长方形，面积为，，故答案为：．（2）①，，又，，即，故答案为：．②，，，原式．③．类型四、平方差规律性问题例．观察下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于)，你发现结果有什么规律?；；；；（1）设这两个数的十位数字为，个位数字分别为和，请用含和的等式表示你发现的规律；（2）请验证你所发现的规律；（3）利用你发现的规律直接写出下列算式的答案．；；；．【答案】（1）（10x+y）（10x+10-y）=100x（x+1）+y（10-y）；（2）见解析；（3）3016；4221；5625；9025．【分析】（1）由题意得出每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，据此可得出结果；（2）利用整式的运算法则化简等式的左右两边，化简结果相等即可得出结论；（3）根据（1）中的结论计算即可．【详解】解：（1）由已知等式知，每两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，∴（10x+y）（10x+10-y）=100x（x+1）+y（10-y）；（2）∵等式左边=（10x+y）（10x+10-y）=（10x+y）[（10x-y）+10]=（10x+y）（10x-y）+10（10x+y）=100x2-y2+100x+10y;等式右边=100x（x+1）+y（10-y）=100x2+100x+10y-y2=100x2-y2+100x+10y，∴（10x+y）（10x+10-y）=100x（x+1）+y（10-y）；（3）根据（1）中的规律可知，3016；4221；5625；9025．故答案为：3016；4221；5625；9025．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据两数乘积的变化找出变化规律是解题的关键．【变式训练1】．观察下列等式：①；②；③；④．(1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________；(2)猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性．(3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果：___________．【答案】(1)(2)，见解析(3)4850【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；（2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证；（3）根据，，可得原式，进而可得答案．【详解】（1）解：第⑥个式子为：；故答案为：；（2）猜想第个等式为：，证明：左边右边，故答案为：；（3）原式．故答案为：4850．【点睛】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键．【变式训练2】．已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为．（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．【答案】（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为，证明见解析.【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．【详解】解：（1）根据题意得：，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，十字差为：．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为，证明如下：设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，十字差为：，故这个定值为．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式例．（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算：．【答案】5050【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法．【详解】解：，故答案为：5050．【点睛】此题考查了平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键．【变式训练1】．（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算：．【答案】【分析】首先将原式乘以，利用平方差公式求解，即可求得，继而求得答案．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，本题技巧性较强，所用到的方法是代数式的凑项变形，即根据待求式的结构，通过适当的拆、并、凑等手段，将其转化成所需要的形式．根据本题的特征，尝试将原式的系数1变形为，从而可应用平方差公式将原式变形为，为解决问题创造了良好的条件．【变式训练2】．（2022上·四川凉山·八年级统考期末）的计算结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式化为，根据平方差公式进行求解即可．【详解】解：故选D．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键与难点在于应用平方差公式．【课后训练】1．（2022下·四川成都·七年级成都七中校考期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．【详解】解：根据的结构特征可得，选项A中的运算可以利用平方差公式，选项B中的运算可以利用平方差公式，选项C中的运算可以利用平方差公式，选项D中的运算不能利用平方差公式，故选：D．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的关键．2．设m＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），则m的个位数字是．【答案】5【分析】连续利用平方差公式可求得以幂表示的m，再根据2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字规律，即可求得m的个位数字．【详解】…∵，，，，，，…∴以2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环∵128÷4=32∴的个位数字为6∴的个位数字为6-1=5故答案为：5【点睛】本题考查了平方差公式的