七年级数学下册-第13讲 一元一次不等式（12个考点+12种题型+强化训练）（解析版）

第13讲一元一次不等式1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；一．不等式的定义（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．二．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．三．不等式的解集（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（3）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．四．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．五．一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．六．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．七．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．八．由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．九．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．十．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．十一．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．十二．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．一．不等式的定义（共2小题）1．（2022春•滨海县月考）下列数学表达式中：①．②，③，④，⑤，⑥中，不等式有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据不等式的定义，不等号有，，，，，选出即可．【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如，，，，，则不等式有：①②⑤⑥，共4个．故选：．【点评】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．2．（2023春•射阳县期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有3个．【分析】用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案．【解答】解：不等式有：①，②，⑤，共有3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查不等式的定义，用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．二．不等式的性质（共3小题）3．（2023春•江都区月考）已知，下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：、，，原变形错误，不符合题意；、，，原变形错误，不符合题意；、，，，原变形错误，不符合题意、，，，正确，符合题意．故选：．【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．4．（2023春•姑苏区校级期中）已知，则下列各式中一定成立的是A． B． C． D．【分析】根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项．【解答】解：、，故不合题意；、，故不合题意；、当时，，故不合题意；、，则，故符合题意；故选：．【点评】本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．5．（2023春•鼓楼区期末）如果，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：．若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；．若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意；．若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；．若，令，，，原变形不成立，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．三．不等式的解集（共5小题）6．（2023春•扬州月考）如图，小圆表示不等式的解集，大圆表示关于的不等式的解集，则字母的取值范围是．【分析】由得，在的内部，可知的解集比的范围大，可求的取值范围．【解答】解：解不等式得，解不等式得，小圆在大圆的内部，，．故答案为：．【点评】本题运用了解不等式的知识点，关键是会用集合的观点分析问题．7．（2023春•灌云县月考）已知不等式的解集是，则的取值范围是．【分析】根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究的取值范围即可．【解答】解：由不等式组的解集是，因此的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（2023春•南通期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是．【分析】根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出的取值范围．【解答】解：关于的不等式组无解，也就是两个不等式解集没有公共部分，即，没有公共部分，，故答案为：．【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是理解不等式组解集的定义．9．（2023春•建邺区校级期末）若，则的取值范围为．【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】此题考查的是不等式的性质及解集，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键．10．（2023春•海安市校级期中）若是关于的不等式的一个解，但不是它的解，则的取值范围是．【分析】表示出不等式的解集，由是一个解，不是它的解，确定出的范围即可．【解答】解：不等式，解得：，由是不等式的一个解，但不是它的解，得到，解得：，则的取值范围是，故答案为：【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解本题的关键．四．在数轴上表示不等式的解集（共4小题）11．（2023春•清江浦区期末）不等式的解集，下列表示正确的是A． B． C． D．【分析】把不等式的解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为：故选：．【点评】本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确解答的关键．12．（2023春•宜兴市月考）用数轴表示不等式组的解集是A． B． C． D．【分析】选项根据“同小取小”判断即可；选项根据“同大取大”判断即可；选项根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；选项根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．【解答】解：、不等式组的解集为，故本选项符合题意；、不等式组的解集为，故本选项不合题意；、不等式组的解集为，故本选项不合题意；、不等式组的解集为，故本选项不合题意；故选：．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（2023春•宿城区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．【解答】解：由图可知，数轴表示的不等式的解集为．故答案为：．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．14．（2023春•高新区期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】首先解两个不等式，然后确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：由①得，，由②得，，所以不等式组的解集为：，【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是掌握点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．五．一元一次不等式的定义（共2小题）15．（2021春•吴江区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是A． B． C． D．【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．【解答】解：、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；、是一元一次不等式，故本选项符合题意；、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解此题的关键．16．（2021春•新吴区月考）已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式．【分析】根据一元一次不等式的定义得到，则，然后把的值代入已知不等式，解不等式即可．【解答】解：是关于的一元一次不等式，，则，，解得．【点评】本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．六．解一元一次不等式（共4小题）17．（2023春•盐城月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）；（2）．【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1），，，，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：（2），，，，，，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．18．（2023春•鼓楼区期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算即可解答．【解答】解：，，，，，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．19．（2023春•宿城区期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的取值范围．【分析】先将看作常数解方程组求出、，再代入可得关于的不等式，解之可得答案．【解答】解：，①得：③，③②得：，．把②①得：，，，．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．20．（2023春•盱眙县期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为；（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组；（3）若，求的值；（4）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值．【分析】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．（2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．（3）整体代入变形后的代数式计算即可；（4）方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出正整数值即可．【解答】解：（1）由①得：③，将③代入②得：，即，将代入③得：，则方程组的解为．故答案为．（2）由①得：③，将③代入②得：，即，将代入③得：，解得，则方程组的解为．（3），；（4），①②得：，即，，，解得：，则满足条件的正整数值为1，2．故答案为：1，2．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．七．一元一次不等式的整数解（共4小题）21．（2023春•海门市期末）解不等式，并写出所有的非负整数解．【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，求出解集，确定出所有的非负整数解即可．【解答】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，则不等式的所有非负整数解为0，1，2．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．22．（2023春•灌云县月考）解不等式：，并写出它的正整数解．【分析】先根据不等式的性质解不等式，然后确定不等式的解集中的正整数值即可．【解答】解：去分母，得：，移项，得：，合并同类项，得：，化系数为1，得：，原不等式的正整数解为：1、2．综上：不等式的解集为，正整数解有：1、2．【点评】此题考查了解一元一次不等式及根据其解集求解整数解等知识，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．23．（2023春•玄武区期末）如图，在数轴上，点、分别表示数，，且点在点的左侧．（1）求的取值范围；（2）若点、表示的数是关于的不等式的解，求的整数解．【分析】（1）根据数轴得出关于的不等式，解不等式即可；（2）先求出不等式的解集，然后根据点、表示的数是关于的不等式的解，得出，求其整数解即可．【解答】解：（1）数轴上点在点的左侧，，解得；（2）不等式的解集为，又点、表示的数是关于的不等式的解，，解得，又，．又是整数，的值为0，1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，能够理解题意，结合数轴得出关于的不等式是解题的关键．24．（2022秋•姑苏区校级期末）已知关于的方程．（1）若该方程的解满足，求的取值范围；（2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．【分析】（1）首先要解这个关于的方程，求出方程的解，根据方程的解满足，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围；（2）首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得的值即可．【解答】解：（1）解方程，得，该方程的解满足，，解得；（2）解不等式，去括号，得：，移项，得，合并同类项，得，系数化成1得：．则最小的整数解是4．把代入得：，解得：．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得的值是关键．八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共3小题）25．（2023秋•肇源县期中）用适当的符号表示：的2倍与的差是非负数：．【分析】先求倍数，然后求差，因为是非负数，大于或等于0即可．【解答】解：数的2倍为，与的差为：；则的2倍与的差是非负数可表示为：．【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“非负数”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．26．（2023春•宿豫区期末）某校女子跑的记录是14秒．在今年的春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为秒，则用不等式表示为．【分析】根据今年的旋春季运动会上没有人能打破该项记录，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．27．（2023春•淮阴区期末）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满（如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为．【分析】根据将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满得出不等式，进而得出答案．【解答】解：设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．九．一元一次不等式的应用（共4小题）28．（2023春•鼓楼区期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【分析】（1）设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，利用总价单价数量，结合总价不超过3200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据题意得：，解得：．答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；（2）设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，根据题意得：，解得：，的最大值为40．答：该校最多可以购买甲种书40本．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．29．（2023春•清江浦区校级期中）又是一年春光好，江淮大地植树忙，某商家销售，两种果苗，进价分别为70元，50元，如表是近两天的销售情况：销售量棵销售收入元果苗果苗第一天43625第二天55875（1）求，两种果苗的销售单价；（2）若该商家购进这两种果苗总计50棵，购进费用不超过2900元，则最多购进种果苗多少棵？（3）在（2）的条件下，要想使得该商家销售这50棵果苗的利润不低于1345元，请你写出相应的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设，两种果苗的销售单价分别为元，元，再根据表格信息建立方程组即可；（2）设最多购进种果苗棵，根据购进费用不超过2900元，再列不等式即可；（3）设购进种果苗棵，根据商家销售这50棵果苗的利润不低于1345元，列不等式，再结合（2）可得答案．【解答】解：（1）设，两种果苗的销售单价分别为元，元，，解得：，答：，两种果苗的销售单价分别为100元，75元．（2）设最多购进种果苗棵，则，解得：，答：最多购进种果苗20棵．（3）设购进种果苗棵，则，解得：，，，为正整数，或，有两种购买方案：①购买种树苗19棵，种树苗31棵；②购买种树苗20棵，种树苗30棵．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式以及不等式组的应用，确定相等关系与不等关系建立方程组或不等式（组是解本题的关键．30．（2023春•清江浦区校级期中）某公司要将800吨货物运往甲地．已知型车每辆可装25吨，型车每辆可装30吨．现公司决定租用10辆型车，在每辆车不超载的前提下，要把这批货物一次性运完，至少需要租用型车多少辆？【分析】设租用型车辆，列不等式求解即可．【解答】解：设租用型车辆，由题意得，解得，是正整数，的最小整数解为19，答：至少需要租用型车19辆．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．31．（2023春•邗江区校级期末）小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，他选定了、两款网红饰品，其进价分别为每个元、元．已知购进款饰品8个和款饰品6个所需花费相同；购进款饰品10个和款饰品4个共需230元．（1）请求出、两款饰品的进价分别是多少？（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案？（3）小李最后准备将、两款饰品单价分别定为21元，28元，他计划按照（2）中能够获得最大利润的方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润率不低于，那么他给出的红包总额不能超过多少元？【分析】（1）根据购进款饰品8个和款饰品6个所需花费相同；购进款饰品10个和款饰品4个共需230元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意和题目中的数据，以及（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买的饰品都是整数个；（3）根据题意和题目中的数据，可以写出利润与购进款饰品数量的函数关系式，然后根据（2）中款饰品数量的取值范围，可以求得利润的最大值，再根据题意，可以列出相应的不等式，再求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，，解得，答：款饰品的进价为15元个，款饰品的进价为20元个；（2）设购进款饰品个，则购进款饰品个，由题意可得：，解得，又款饰品最多62个，，为整数，，61，62，共有三种购买方案，方案一：购进款饰品60个，购进款饰品40个；方案二：购进款饰品61个，购进款饰品39个；方案三：购进款饰品62个，购进款饰品38个；（3）设利润为元，由题意可得：，随的增大减小，且为整数，当时，取得最大值，此时，设小李给出的红包总额为元，由题意可得：，解得，答：小李给出的红包总额不能超过85元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．一十．解一元一次不等式组（共3小题）32．（2024•苏州一模）解关于的不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．33．（2024春•姑苏区校级期中）解不等式组：（1）；（2）．【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集；（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．【解答】解：（1）由得：，由得：，则不等式组的解集为；（2）由得：，由得：，则不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．34．（2024•鼓楼区模拟）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，由②得，故不等式组的解集为．把解集在数轴上表示出来为：【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集．一十一．一元一次不等式组的整数解（共4小题）35．（2023春•秦淮区期末）解不等式组，并写出它的整数解．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为：，所以不等式组的所有整数解为：，，0．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．36．（2024•邗江区一模）解不等式组：，并写出它的最大整数解．【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．【解答】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，所以不等式组的最大整数解为5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．37．（2024•盐城模拟）解不等式组，并写出它的正整数解．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．【解答】解：，由①得，由②得，不等式组的解集为，则它的正整数解为1，2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．38．（2024•宝应县一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．【解答】解：解不等式①得，，解不等式②得，，这个不等式组的解集是，这个不等式组的所有整数解是、、、0它们的和为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．一十二．一元一次不等式组的应用（共5小题）39．（2023秋•广陵区期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么的取值范围是．【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得：，的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．40．（2023春•射阳县期中）某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元．销售时，每件甲产品售价为20元，每件乙产品售价为35元．（1）求每件甲产品和每件乙产品的成本价；（2）若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元，请问有几种购进方案？【分析】（1）设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，根据“购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元”列得二元一次方程组，即可求解；（2）设商店从批发商处购进甲产品件，则购进乙产品件，根据“购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元”列得不等式组，即可求解．【解答】解：（1）设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，，解之得：，答：每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；（2）设商店从批发商处购进甲产品件，则购进乙产品件，，解之得：，为整数，，41，42，答：有3种购进方案．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．41．（2023春•亭湖区校级期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买，两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买种树苗8棵，种树苗2棵，需要900元；购买种树苗5棵，种树苗4棵，需要700元．（1）求购买，两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买种树苗每棵需元，购买种树苗每棵需元，根据“购买种树苗8棵，种树苗2棵，需要900元；购买种树苗5棵，种树苗4棵，需要700元“可列出方程组解得答案．（2）设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据“购进种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元“，可列不等式组解得，即可得到答案．【解答】解：（1）设购买种树苗每棵需元，购买种树苗每棵需元，根据题意得：，解得，答：购买种树苗每棵需100元，购买种树苗每棵需50元；（2）设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购进种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，，解得，是正整数，可取32，33，34，35，有4种购买方案：①购买种树苗32棵，购买种树苗48棵，②购买种树苗33棵，购买种树苗47棵，③购买种树苗34棵，购买种树苗46棵，④购买种树苗35棵，购买种树苗45棵．【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组．42．（2023春•陵水县校级期中）某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【分析】（1）设饮用水有件，则蔬菜有件，根据饮用水比蔬菜多90件，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设安排辆甲种货车，则安排辆乙种货车，根据8辆货车一次性可运送饮用水不少于200件、蔬菜不少于110件，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各安排方案；（3）利用总运费每辆甲种货车的运费租用甲种货车的数量每辆乙种货车的运费租用乙种货车的数量，即可分别求出4个安排方案所需总运费，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设饮用水有件，则蔬菜有件，依题意得：，解得：，．答：饮用水有200件，蔬菜有110件．（2）设安排辆甲种货车，则安排辆乙种货车，依题意得：，解得：，又为整数，可以为2，3，4，5，共有4种安排方案，方案1：安排2辆甲种货车，6辆乙种货车；方案2：安排3辆甲种货车，5辆乙种货车；方案3：安排4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：安排5辆甲种货车，3辆乙种货车．（3）选择方案1所需运费为（元，选择方案2所需运费为（元，选择方案3所需运费为（元，选择方案4所需运费为（元．，选择方案1可使运费最少，最少运费是3700元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费每辆甲种货车的运费租用甲种货车的数量每辆乙种货车的运费租用乙种货车的数量，求出各安排方案所需总运费．43．（2023春•仪征市期末）某学校为了调动学生阅读的积极性，在校园内不同地方设置、两种型号的书橱摆放图书，供学生们课间自主阅读．若购买书橱4个、书橱3个，需要1320元；若购买书橱2个、书橱5个，需要1360元．（1）书橱、书橱每个多少元？（2）若学校购买这两种书橱共18个，且书橱数量不少于书橱数量的2倍，总费用不超过3520元，请问有哪几种购买方案．【分析】（1）设书橱每个元，书橱每个元，根据“购买书橱4个、书橱3个，需要1320元；购买书橱2个、书橱5个，需要1360元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买个书橱，则购买个书橱，根据“购买书橱数量不少于书橱数量的2倍，总费用不超过3520元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设书橱每个元，书橱每个元，根据题意得：，解得：．答：书橱每个180元，书橱每个200元；（2）设购买个书橱，则购买个书橱，根据题意得：，解得：，又为正整数，可以为4，5，6，学校共有3种购买方案，方案1：购买4个书橱，14个书橱；方案2：购买5个书橱，13个书橱；方案3：购买6个书橱，12个书橱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．一．选择题（共4小题）1．（2023春•射阳县期中）一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是A． B． C． D．【分析】首先由数轴得出不等式组的解集，然后分别求解不等式和进而判断即可．【解答】解：由数轴上不等式组的解集可得，，解不等式得，，则这个不等式组可能是．故选：．【点评】此题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上的表示，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．2．（2023春•如东县校级期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果，第三次运算结果列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，解不等式②得，，，故选：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．3．（2023春•南通期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】利用整体的思想可得，从而可得，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．【解答】解：，①②得：，解得：，，，，，故选：．【点评】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2023春•虎丘区校级期中）关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．【解答】解：不等式组的解集是，因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．所以可以得到，解得．故选：．【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．二．填空题（共5小题）5．（2023春•如东县校级期中）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为．【分析】两个方程相减可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案．【解答】解：，①②，得，根据题意得：，解得．所以的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的性质等知识点．6．（2023春•泰兴市期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是．【分析】先分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可得出结论．【解答】解：，由①可得：，原不等式组的解集为，，故答案为：．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．7．（2023春•海安市校级期中）商店为了对某种商品促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过五件，按原价付款；若一次性购买五件以上超过部分打八折，现有48元，最多可以购买该商品的件数为13件．【分析】由购买该商品的总费用不能超过48元，列出不等式，即可求解．【解答】解：，最多购买该商品的件数大于5，设购买件，由题意可得：，解得：，为正整数，最多可以购买该商品的件数为10件，故答案为：10．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系列出不等式是解题的关键．8．（2023春•清江浦区校级期中）已知二元一次方程，当时，的取值范围是．【分析】由可得，再利用，可得，从而可得答案．【解答】解：，，，，，解得：．故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程的解的含义，一元一次不等式的解法，利用建立不等式是解本题的关键．9．（2023春•昆山市月考）关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为．【分析】可先用表示出不等式组的解集，再根据有三个整数解可得到关于的不等式组，可求得的取值范围．【解答】解：在中，解不等式①可得，解不等式②可得，由题意可知原不等式组有解，原不等式组的解集为，该不等式组恰好有四个整数解，整数解为0，1，2，3，故答案为：．【点评】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于算出的解集．三．解答题（共7小题）10．（2023春•姜堰区校级期中）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：（1）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（2）不等式两边都乘6去分母后，去括号，移项合并，将系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1），去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化1，得，将不等式的解集在数轴上表示为：（2），去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，将不等式的解集在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．11．（2023春•泰兴市期末）某商店分别以标价的8折和9折卖了、两种不同品牌的衬衫各一件，共收款364元，已知、两种衬衫标价的和是420元．（1）这两件衬衫的标价各多少元？（2）若该商店老板准备用不多于4200元的金额，以标价的6折再购进这两款衬衫共30件，则款衬衫最少需购进多少件？【分析】（1）设品牌衬衫的标价为元，衬衫标价元件，根据“、两种衬衫标价的和是420元”和“该商店分别以标价的8折和9折销售、两种品牌的衬衫各1件，共收款364元”，即可得列出方程组，求解即可；（2）设衬衫最少需购件，设衬衫最少需购件，则衬衫最多需购件，根据总金额不多于4200元列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）设衬衫标价元件，衬衫标价元件；解得；答：衬衫标价140元件，衬衫标价280元件；（2）设衬衫最少需购件，则衬衫最多需购件，根据题意，得：，解得．答：衬衫最少需购进10件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．12．（2023春•淮安区校级期末）阅读材料：如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．请你解决下列问题：（1）4，；（2）如果，那么的取值范围是；（3）如果，求的值；（4）如果，其中，且，直接写出的值．【分析】（1）根据表示不超过的最大整数的定义及例子直接求解即可；（2）根据表示不超过的最大整数的定义及例子直接求解即可；（3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据为整数，即可计算出具体的值；（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得的值．【解答】解：（1），．故答案为：4，．（2），的取值范围是．故答案为：．（3），．解得：，是整数．或2.5故答案为：2或2.5．（4），其中，，，．，，，，2．当时，，；当时，，；或．【点评】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．13．（2023春•江都区期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程．（1）给出下列方程：①；②；③．其中为不等式组的子集方程的是②③（填序号）；（2）已知关于的不等式组．①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围；②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是．【分析】（1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案；（2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式