复变函数卷答案与评分标准

复变函数卷答案与评分标准定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件：（1）u(x,y)，v(x,y)在D内可微，定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件：（1）ux,uy,vx,vy在D内连续，定理3函数f(z)在区域D内解析的充要条件：f(z)在区域D内连续，若闭曲线C及内部包含于D，则Cf(z)dz=0。（3分）定理4函数f(z)在区域D内解析的充要条件：f(z)在区域D内每一点a，都能展2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分）2y2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(u),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(2),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(u),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(u),y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(2u),y2)由于EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(δ2),δy)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(u),2)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(2u),x2)=0，所以u(x,y)为复平面上的调和函数。（4分）（2）因为f(z)为解析函数，则u(x,y)与v(x,y)满足C.-R.方程，则有2y2y由于f(i)=一1+2i，所以C=0。即f(z)=x22（8分）2009z2009+2109z29+10=0在单位圆z<1内有几个根？为什么8解：有29个根，因为在圆周z=1上，z2010一2009z2009+10<2109z29，由儒歇定理知三、计算题（每题6分，共18分，用复z=4(zEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up14(3),1)42)2dz。解：原式=z一1=1(zEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(3),1)(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(+),z)42)2dz+z2=1(zEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(3),1)(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(+),z)π5EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(d),4)sθ2dxdx（1分）))伪n伪n=πiΣResImak>0z=ak2z(z2+1)(z2+9)（3分）(z2+2+2z(z2（5分）解1）f(z)=-=.-.（2分）n-n（5分）-1-1伪+-2n.z-n-1+-2-n-1.znn=-伪（2）f(z)=-=-（2分）=-(-1)n.(z-3)nz-3<11-z6-cos(z3)解由于cosz3=1-z6+z12-z18+…2分）EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(z6),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(z