工程力学新版VIP

授课时间第15次课，第周星期第节课时2授课方式理论课□讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课题目第五章弯曲应力§5.1纯弯曲§5.2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力目的与规定1.纯弯曲、中性层、中性轴的概念和弯曲变形的两个假设；2.纯弯曲正应力的推导过程；3.弯曲时梁横截面上正应力的计算及强度校核。重点与难点弯曲时梁横截面上正应力的计算及强度校核教学基本内容方法及手段§5.1纯弯曲1.纯弯曲(PureBending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。2．观测变形以矩形截面梁为例（1）变形前的直线、变形后成为曲线、，变形前的，变形后仍为直线、，然而却相对转过了一个角度，且仍与、曲线相垂直。（2）平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。（3）设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。（4）中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139note：可以证明，中性轴为形心主轴。§5.2纯弯曲时的正应力1．正应力分布规律：①变形几何关系②物理关系③静力关系（1）变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为y轴，中性轴为z轴，距中性层为y的任一纤维的线应变。 （a）（2）物理关系由于纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 （b）此式表白：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。（3）静力关系横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力系也许简化为三个内力分量：横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。由于内外力必须满足平衡方程，故：① （c）式（b）代入式（c） ∵ ∴ 结论：Z轴（中性轴）通过形心。② （d）式（b）代入式（d）结论：y轴为对称轴，上式自然满足③ （e）式（b）代入式（e） （f）∵ ∴式（f）可写成 （g）式中为梁轴线变形后的曲率，EIZ称为梁的抗弯刚度。2．纯弯曲时梁的正应力计算公式由式（g）和式（b）中消去得讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。（2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都合用。（3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接鉴定，不需用y坐标的正负来鉴定。§5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲讨论：公式的合用条件（1）平面弯曲（2）纯弯曲或l/h≥5的横力弯曲（σ，τ）（3）应力小于比例极限。2．最大正应力引入记号： W——抗弯截面系数（m3）讨论：（1）等直梁而言σmax发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax。（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数WZ两个因素。3．强度条件（1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要即可；（2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：4．强度计算（1）强度校核（2）设计截面尺寸：（3）拟定许用载荷：例1：空气泵操作杆，右端受力F1=8.5kN，1-1、2-2截面相同，均为h/b=3的矩形，若[σ]=50MPa，试选用1-1、2-2截面尺寸。Solution①求F2kN②求截面弯矩M1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN·mM2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m故：kN·m③设计截面mm3∵ mm3mm∴ h=125mm1、教学方法：课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，启发式的方法突破难点。2、教学手段：采用多媒体教学手段为主，必要时加黑板。思考题、作业、参考文献思考题：纯弯曲正应力计算公式的合用范围是什么？作业：5.5,5.16参考文献：1.《材料力学Ⅰ、Ⅱ》，单辉祖；高等教育出版社,1999年2.《材料力学》（上、下，第四版），孙训方等；高等教育出版社,1994课后小结1．纯弯曲的概念，及中性层，中性轴的概念；2．纯弯曲推导公式的过程；3．横力弯曲仍使用纯弯曲的公式进行计算；4.弯曲正应力的强度条件。授课时间第16次课，第周星期第节课时2授课方式理论课□讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课题目§5.4弯曲切应力目的与规定1.掌握弯曲切应力的计算公式；2.理解弯曲切应力的推导过程；3.会用弯曲切应力强度条件解题。重点与难点重点：弯曲时梁横截面切应力的计算及强度校核。难点：弯曲切应力计算公式的推导过程。教学基本内容方法及手段§5.4弯曲切应力切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。1．矩形截面梁（1）切应力的分布规律当h>b时，按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。（2）切应力沿截面高度的变化规律①从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用。②截面上的σ和τ的分布如图③研究微块的平衡 （a）式中：为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。 （b）考虑到微块顶面上相切的内力系的合力 （c）（d）式（a）、（b）、（c）代入式（d） （e） （d）∵ ∴ （f）由切应力互等定理，横截面上pq线处切应力为 （g）这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。④讨论：a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b.矩形截面如图or ∴说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。c. 当时，τ=0 当y=0时，d.考虑到2．工字形截面梁（1）计算表白：截面上剪力FS的95～97%由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均合用（τ方向与FS一致，设宽度均布），采用矩形截面方法可得：式中：以y=0，代入上式得∵b0<<b∴τmax≈τmin于是近似认为（2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量小，无实际意义，不予讨论。（3）工字梁翼缘的所有面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大，所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪力。3．弯曲切应力的强度校核（1）强度条件最大切应力发生于中性轴处，故——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。（3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：①梁的跨度较短。②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。1、教学方法：课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，启发式的方法突破难点。2、教学手段：采用多媒体教学手段为主，必要时加黑板。思考题、作业、参考文献思考题：弯曲切应力的计算公式的精确度？参考文献：1.《材料力学Ⅰ、Ⅱ》，单辉祖；高等教育出版社,1999年2.《材料力学》（上、下，第四版），孙训方等；高等教育出版社,1994课后小结1．弯曲切应力计算公式的推导；2．常见的几种截面的弯曲切应力的计算。3．弯曲切应力的强度条件。授课时间第17次课，第周星期第节课时2授课方式理论课□讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课题目§5.6提高弯曲强度的措施目的与规定1.掌握提高梁的强度应从哪些方面考虑2.理解等强度梁的概念重点与难点重点：提高梁的强度的措施；难点：如何设计合理的梁教学基本内容方法及手段§5.6提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的重要因素。由梁的强度条件可知，提高弯曲强度的措施从两大方面考虑：一是合理安排梁的受力情况，减少Mmax；二是采用合理截面形状，提高WZ。1．合理安排梁的受力情况，减少Mmax（1）合理布置梁的支座（2）合理布置载荷①载荷置于合理位置②将集中力分为较小的集中力③将集中力分为分布力2．梁的合理截面，提高WZ由强度条件得可见WZ越大，梁承受的弯矩就越大。（1）矩形截面梁竖放：，由A=bh，用来衡量截面形状的合理性和经济性。平放：，由A=bh显然：由于h>b，故K1>K2，所以，矩形截面梁竖放比平放要好。（2）截面合理性，经济性用比值来评价，引入，K值越大截面越合理。3．等强度梁的设计（1）等截面梁是按最大弯矩设计（2）等强度梁是按变截面设计（3）等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力σmax都相等，且等于许用应力[σ]。4．举例例图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为矩形。设h=const，而b=b(x)Solution（1）即： ∴ （2）讨论①b(x)为x一次函数，直线变化当②当x=0时，b=0。这显然不能满足剪切条件。必须根据截面上中性轴处的最大切应力来论最小的宽度bmin。③根据即： 故： （3）叠板弹簧梁的构成将厚度为h的钢，切割成bmin的钢板条，当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图示。（4）鱼腹梁的设计设： 即：又：