高三高考数学一轮课时练习：空间位置关系的向量证明

高三高考数学一轮课时练习：空间位置关系的向量证明一、单选题1．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A．l与斜交 B． C． D．2．若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（

）A． B．C． D．与位置关系不确定3．如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（

）A． B．C．与相交但不垂直 D．或5．直线的方向向量分别为，，平面的法向量为，则下列正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共面，乙：与异面，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件7．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（

）A．⊥ B．C．与相交但不垂直 D．或8．平面的法向量为，平面的法向量为，，则（

）A．-2 B．-1 C．1 D．29．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A． B．C．或 D．与的位置关系不能判断10．已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（

）A．直线与平面平行 B．直线在平面内C．直线与平面垂直 D．直线与平面不相交二、多选题11．如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于．下列选项中正确的有（

）A．的最小值为2B．时，C．三棱锥被平面分割成的两部分体积相等D．当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为12．在正方体中，分别为棱的中点，则（

）A． B．四点共面C．平面 D．平面13．平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：（1）平面上，过点，且以为方向向量的平面直线的方程为；在空间中，过点，且以为方向向量的空间直线的方程为.（2）平面上，过点，且以为法向量的直线的方程为；空间中，过点，且以为法向量的平面的方程为.现已知平面，平面，，，则（

）A． B． C． D．14．已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题15．已知空间向量n＝（2，2，－3）为平面α的一个法向量，点A（1，0，0），B（0，1，0），为平面β的一个法向量，则AB与平面α的位置关系为，平面α与平面β的位置关系为．16．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝.17．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个）18．如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则.四、解答题19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点，且，点在直线上运动，在线段上是否存在一定点，使得其满足：（i）直线；（ii）对所有满足条件（i）的平面，点都落在某一条长为的线段上，且．若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．20．正四面体ABCD中，P是AB上靠近点A的三分点，Q是AD上靠近点D的三分点，R是CD的中点，确定平面PQR与BC的交点.21．如图，正四面体ABCD中，P是AB上一点，，，，R为CD中点，截面PRQ与CB交于点S．确定S的位置．22．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面.答案：1．C【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案.【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，可得，所以，则.故选：C.2．A【分析】根据方向向量与法向量共线即可判断.【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，由于，所以直线与平面的法向量共线，所以．故选：A．3．C【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得.【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为，对于A，，直线的方向向量，

，显然，直线与不垂直，A不是；对于B，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，直线与不垂直，B不是；对于C，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，，C是；对于D，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，直线与不垂直，D不是.故选：C4．D【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断即得.【详解】由直线的方向向量是，平面的法向量是，得，即，所以或.故选：D5．D【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即可求解.【详解】对于A，若，则，即，故错误；对于B，若，则，即，故B错误；对于C，若，则，即，故C错误；对于D，若，则，即，故D正确.故选：D.6．C【分析】从充分性和必要性的角度，结合异面直线的定义，即可判断和选择.【详解】对空间中的任意两条直线，若，，不共面，显然不可能平行或相交，两直线异面，充分性成立；若是异面直线，根据异面直线的定义，定有，，不共面，必要性成立；故甲是乙的充要条件.故选：C.7．D【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系.【详解】因为，所以，所以或.故选：D.8．C【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解.【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且，所以，解得.故选：C9．A【分析】根据向量共线即可判定.【详解】由于，故直线的方向向量与平面法向量平行，故，故选：A10．C【分析】根据向量共线即可得是平面的一个法向量求解.【详解】由，，可得，所以，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直，故选：C11．ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合闵可夫斯基不等式处理A，利用平面的方程处理B，利用截面计算体积为定值处理C，球的方程处理D即可.【详解】由题意得，故，又面，故以为原点建立空间直角坐标系，故，，，，，设，则，故，由闵可夫斯基不等式得，当且仅当时取等，故A正确，若，则，而，，设面的法向量，故，，则，，令，解得，，故，设面任意一点坐标为，可得面的方程为，当时，，故，显然成立，故B正确，三棱锥上部分被平面截为三部分，设原体积为1，设，，，，故，则三棱锥被平面分割成的两部分体积相等，故C正确，若为中点，则，，，，设面的法向量，则，，则，，令，解得，，故，故，则面的方程为，当时，解得，，设过，，，的球方程为，将点代入方程，可得，，，解得，，，，故球的方程为，经检验，也在该球上，故，，，，五点共球，且球的半径为，故D错误，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后求出关键点的坐标，得到所要求的球的方程，最后得到结果即可．12．AC【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，对于A，，，即有，因此，A正确；对于B，，向量不共线，直线不平行，而直线平面，平面，又平面平面，因此直线是异面直线，B错误；对于C，，设平面的法向量，则，取，得，显然，而平面，因此平面，C正确；对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，D错误.故选：AC13．AC【分析】求出平面、的法向量，以及直线、所过定点坐标及其方向向量，利用空间中线面、面面位置关系与空间向量的关系可得出结论.【详解】由题可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方程可化为，直线恒过，方向向量为，直线的方程可化为，直线恒过，方向向量，对于A选项，因为，则，且，故，则，A正确；对于B选项，，则，所以，，B错；对于C选项，因为，则，C对；对于D选项，由，可知与不平行，则与不垂直，D错.故选：AC.14．BC【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面的法向量的概念，结合线面位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误；对于B中，由，可得，则，所以B正确；对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确；对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确.故选：BC.15．AB∥α或AB⊂αα⊥β【解析】略16．1【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论．【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1，，则，，.设，则因为，，，即是AD的中点，故，故选：B.17．平行或线在面上【分析】根据方向向量与法向量的数量积判断出线面关系.【详解】因为，所以，所以，所以直线与平面平行或直线在平面上，故答案为：平行或线在面上.18．【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可.【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则得一个法向量为.因为平面，则，设，则，所以，解得，所以，即.故答案为：19．存在，在靠近的三等分点处.【分析】以为一组基底，用向量证明即可.【详解】存在，在靠近的三等分点处.设，则，因为，所以，又因为，所以存在，使得，故，设，所以，整理得，又点在直线上的充要条件是，则，消去，得，所以，故，①当时，；②当时，，所以，，解得.此时，①中代入(*)不等式成立，故，所以存在，在靠近的三等分点处.【点睛】方法点睛：当平面运动时，对于定点，确定动点的存在范围，使之满足所有的题设条件，我们以为一组基向量，利用向量的方法给出本题的一种证法.20．是线段BC上靠近点C的五等分点【分析】令，，，进一步求出设截面PQR与BC交于S，则，，共面，解出，得到点的位置即可.【详解】令，，，则，，设截面PQR与BC交于S，则，，共面，应有，记，有，所以，，，解得，，，于是，故S是线段BC上靠近点C的五等分点.21．点S是BC边上的五等分点，且靠近点【分析】首先分析题意进行解析，因截面，则，共面解得，，．最后点S是BC边上的五等分点，即.【详解】由题意知，，因截面，则，共面，进而应有，记，有，由此得，，，解得，，．于是，点S是BC边上的五等分点，即．22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】