2024年高中数学专题10-3重难点题型培优精讲事件的相互独立性教师版新人教A版必修第二册

专题10.3事务的相互独立性1．事务的相互独立性(1)定义

对随意两个事务A与B，假如P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事务A与事务B相互独立，简称为独立.(2)性质

若事务A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.

(3)应用

因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以假如已知两个事务是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以快速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去推断事务之间是否存在相互影响，若认为事务之间没有影响，则认为它们相互独立.

(4)推广

两个事务的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事务的相互独立性，即若事务，，，相互独立，则这n个事务同时发生的概率P()=P()P()P().2．互斥事务与相互独立事务的辨析(1)互斥事务与相互独立事务都描述的是两个事务间的关系，但互斥事务强调不行能同时发生，相互独立事务则强调一个事务的发生与否对另一个事务发生的概率没有影响.用表格表示如下：相互独立事务互斥事务推断方法一个事务的发生与否对另一个事务发生的概率没有影响.两个事务不行能同时发生，即AB=.概率公式若事务A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).若事务A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.(2)已知事务A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：事务表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互独立）A，B中至少有一个发生P(A∪B)P(A)+P(B)1P()P()或P(A)+P(B)P(AB)A，B都发生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不发生P()1[P(A)+P(B)]P()P()A，B恰有一个发生P(A∪B)P(A)+P(B)P(A)P()+P()P(B)A，B中至多有一个发生P(∪A∪B)11P(A)P(B)【题型1独立性的推断】【方法点拨】(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以精确地推断两个事务是否相互独立.(2)定性法：直观地推断一个事务发生与否对另一个事务的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事务.【例1】（2024·全国·高三专题练习）下列事务中A，B是相互独立事务的是（

）A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面”，BB．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，BC．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，BD．A=“人能活到20岁”，B【解题思路】利用相互独立事务的概念，对四个选项逐一分析解除，从而得出正确选项.【解答过程】解：对于A中，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事务；对于B：两个事务是不放回地摸球，明显A事务与B事务不相互独立；对于C，事务A，B应为互斥事务，不相互独立；对于D是条件概率，事务B受事务A的影响．故选：A．【变式1-1】（2024·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示其次次摸得黑球，则A1与AA．相互独立事务 B．不相互独立事务C．互斥事务 D．对立事务【解题思路】依据相互独立事务的含义即可推断.【解答过程】由题意可得A2即A2故每次是否摸到白球互不影响,故事务A1与A由于A1与A故选：A.【变式1-2】（2024秋·广东梅州·高二阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地匀整的骰子，登记股子朝上面的点数.用x表示红色股子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用x,y表示一次试验的结果.定义事务：A=“x+y为奇数”，事务B=“x=A．PA=3PB B．C．B与C独立 D．A与B独立【解题思路】A选项，利用古典概型求概率公式得到PA,PB，从而得到PA=3PB；由PA【解答过程】由题意得：当x,y一奇一偶时，若x为奇数，y为偶数，有3×3=9种状况，同理若x为偶数，y为奇数，有3×则PAPB=6因为当x,y一奇一偶时，x+y为奇数，故x≠故PA∩B“x>4”包含x=5或6，而y可能取值为6种，故共有2×而事务B∩C包含两种状况，即5,5,由PBC=PB⋅因为PAB=0≠PA故选：D.【变式1-3】（2024秋·浙江绍兴·高三期末）数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的的六位数，A表示事务“1和2相邻”，B表示事务“偶数不相邻”，C表示事务“任何连续两个位置奇偶性都不相同”，D表示事务“奇数按从小到大的依次排列”．则（

）A．事务A与事务B相互独立 B．事务A与事务C相互独立C．事务A与事务D相互独立 D．事务B与事务C相互独立【解题思路】依据排列组合分别计算概率，进而依据相互独立事务满足的概率公式即可求解.【解答过程】P(A对于A，P(对于B，P(对于C，P(对于D，PBC故选：C.【题型2相互独立事务的概率】【方法点拨】利用相互独立事务的概率乘法公式，进行求解即可.【例2】（2024秋·山东济宁·高二期末）假设PA=0.3,PB=0.4，且A与BA．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88【解题思路】依据独立事务的并事务的概率公式计算.【解答过程】由A与B相互独立，则PA故选：B．【变式2-1】（2024·高一课时练习）已知事务A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(ABA．4个 B．2个C．3个 D．1个【解题思路】依据独立事务的概率公式，进行求解即可.【解答过程】依据事务A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确，故选A.【变式2-2】（2024春·安徽安庆·高一期末）设事务A，B相互独立，PA=0.6，PB=0.3，则A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9【解题思路】依据独立事务的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【解答过程】依据题意，AB与AB互斥，A，B相互独立，B，故P=0.6×故选：C.【变式2-3】（2024春·山西太原·高一期末）设A，B，C是一个随机试验中的三个事务，且PA>0，PB①若A与B互斥，则PAB②若A与B独立，则PA③若A，B，C两两独立，则PABC④若PABC=PAPBP则其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】依据互斥事务、对立事务以及相互独立事务的性质逐个判定即可【解答过程】对A，若A与B互斥，则依据互斥事务不能同时发生可得PAB=0，又PA对B，若A与B独立，则PA对C，若A，B，C两两独立，且PABC=PAPBP对D，若PABC=PAPBPC，则事务AB与故选：B.【题型3事务相互独立的应用】【方法点拨】实际问题中，计算相互独立事务同时发生的概率，先用字母表示出事务，再分析题中涉及的事务.对于计算问题：将题中所求事务转化为若干个独立事务的交事务，利用独立事务的性质和推广求解.【例3】（2024·高一单元测试）甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是15，14，13A．160 B．320 C．13【解题思路】设此三人至少有一个人把此问题解决为事务A，计算出三人都没有把此问题解决的概率，再由间接法可得答案.【解答过程】设此三人至少有一个人把此问题解决为事务A，三人都没有把此问题解决的概率是1-则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是PA故选：D.【变式3-1】（2024·高二单元测试）一个袋子中有4个红球，n个绿球，接受不放回的方式从中依次随机地取出2个球，若取出其次个球是红球的概率为0.4，那么n的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【解题思路】结合已知条件，分类探讨第一个球的颜色，依据独立事务的乘法公式即可求解.【解答过程】若取出的第一个球为红色，则其次个球也是红色的概率P1若取出的第一个球为绿色，则其次个球是红色的概率P2所以取出其次个球是红色的概率P=解得，n=6故选：C.【变式3-2】（2024春·黑龙江绥化·高二期中）某学校餐厅就餐刷卡器是由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则刷卡器能正常工作.假如各个元件能否正常工作相互独立，元件1、元件2正常工作的概率都是35，元件3正常工作的概率是2527，那么该刷卡器能正常工作的概率为（A．23 B．79 C．8【解题思路】利用对立事务的概率求出元器件1和2至少一个正常工作的概率，再由相互独立事务同时发生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.【解答过程】该刷卡器能正常工作须要元器件1和2至少有一个正常工作，同时元器件3正常工作，所以刷卡器能正常工作的概率P=(1故选：B.【变式3-3】（2024·高一单元测试）高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否胜利进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，15，该同学进入两个社团的概率为320，且三个社团都进不了的概率为25，则mA．712 B．112 C．8【解题思路】利用相互独立事务的概率乘法公式，列出关于m，n的方程组，求解即可．【解答过程】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为320则mn⋅(1又三个社团都进不了的概率为310所以(1-m由①②可得，m+故选：A．【题型4互斥事务、事务的相互独立性的综合应用】【方法点拨】阅读题目，分析事务之间的关系，一般将问题划分为若干个彼此互斥的事务，然后运用互斥事务的概率加法公式和相互独立事务的概率乘法公式求解.【例4】（2024秋·陕西榆林·高二阶段练习）甲乙两运动员进行乒乓球竞赛，接受7局4胜制．在一局竞赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局竞赛中，甲发球时甲得分的概率为35，乙发球时甲得分的概率为13，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（A．425 B．225 C．8【解题思路】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种状况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.【解答过程】由题意，此局分两种状况：（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：35（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：25所以，所求事务概率为225故选：C.【变式4-1】（2024·高一单元测试）甲、乙两人竞赛，每局甲获胜的概率为13，各局的输赢之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的竞赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局竞赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（

A．13 B．59 C．2【解题思路】分两种状况（甲其次局获胜或甲其次局负，第三局获胜）探讨得解.【解答过程】解：依据题意知只需考虑剩下两局的状况，（1）甲要获胜，则甲其次局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为13（2）甲要获胜，则甲其次局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为23故甲获得最终胜利的概率为13故选：B.【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）2024年神舟十二号、十三号载人飞船放射任务都取得圆满胜利，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后须要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，假如10分钟内完成任务则试验胜利结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验胜利的概率分别为45，34，23A．910 B．1920 C．29【解题思路】把试验任务胜利的事务拆成三个互斥事务的和，再求出每个事务的概率，然后用互斥事务的概率加法公式计算作答.【解答过程】试验任务胜利的事务M是甲胜利的事务M1，甲不胜利乙胜利的事务M2，甲乙都不胜利丙成立的事务事务M1，M2，M3互斥，P(M所以试验任务胜利的概率P(故选：D.【变式4-3】（2024·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各竞赛一盘，各盘竞赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙竞赛获胜的概率分别为p1,p2,p3A．p与该棋手和甲、乙、丙的竞赛次序无关 B．该棋手在其次盘与甲竞赛，p最大C．该棋手在其次盘与乙竞赛，p最大 D．该棋手在其次盘与丙竞赛，p最大【解题思路】该棋手连胜两盘，则其