2023届河南省开封市通许县等3地高三信息押题卷数学试题理（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市通许县等3地2023届高三信息押题卷数学试题（理）一、选择题1.已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗将整理化简可得，所以复数在复平面内对应的点坐标为，由点位于第四象限可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.2.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A.30 B.28 C.26 D.24〖答案〗B〖解析〗，，因为，当时，为偶数，共有个元素.当时，为奇数，此时，共有个元素.当时，为奇数，此时，有重复数字，去掉，共有个元素.综上中元素的个数为个.故选：B3.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（）A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵〖答案〗C〖解析〗由题意，中年教师应分得树苗的数量为棵.所以中年教师应分得梧桐的数量为棵.故选：C.4.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设，，，则，A对；如下图，连接，将阳马一分为二，又，所以，，则，故，所以B错，C、D对.故选：B5.黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A.180 B.210 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先把排列，然后选两个空档插入3，总方法为．故选：C．6.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.在上的值域为〖答案〗D〖解析〗由题意，平移后函数为：，故A不正确;B中，，可知，∴先增后减，即在上单调递增不正确，故B不正确；C中，∵，∴函数不关于对称，故C不正确；D中，，则，∴，∴，故D正确.故选：D.7.已知函数，则的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，而恒成立，对于，则，即在定义域上递增，所以时，恒成立，综上，上，排除A、B、D.故选：C.8.在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为（）A.－1 B.－C. D.－〖答案〗D〖解析〗作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知，解得．因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选D．9.已知中，，，，，，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，结合向量加法法则知：到的距离为2，又，则，所以，故为等腰直角三角形，由，则，所以共线，又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，所以线段上运动，且，，，由图：若，则，又，此时，故上述情况，易知，由图知：与重合时，，综上，的取值范围为.故选：D10.已知抛物线的焦点关于直线的对称点为，为坐标原点,点在上且满足（均不与重合），则面积的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗在中，焦点为，焦点关于直线即的对称点为，，解得，∴抛物线的方程为,显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,且,设,联立整理可得,,即,且,,又因为,即,∴,∴即直线的方程为，∴直线恒过点，∴，当且仅当时,等号成立.故选：C.11.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，则，原不等式化为，即，，设，原不等式即为，易知是上的增函数，所以，，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以，，综上，．故选：A．12.已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记角所对的边分别为.因为，所以由正弦定理可得..，令，则，令，则，故当时，，当时，，故，故，则实数的取值范围为.故选：A.二、填空题13.已知函数是偶函数，则实数______.〖答案〗2〖解析〗函数的定义域为，又为偶函数，则，解得，经检验，,,符合题意．故〖答案〗为：2．14.已知，则______.〖答案〗〖解析〗，所以，则.故〖答案〗为：15.设双曲线的离心率为，实轴长为2，设直线与双曲线在轴左、右两侧的交点分别是，若以线段为直径的圆恰过坐标原点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由双曲线离心率为，实轴长为2可得，所以；即可得双曲线方程为；依题意如下图所示：由在轴左、右两侧，所以的斜率均存在，可设的斜率为，易知，所以可得的斜率为；直线的方程为，联立直线和双曲线方程，消去整理可得，易知；所以，因此；同理可得；易知，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立；所以的最小值为.故〖答案〗为：16.在四面体中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为______.〖答案〗或〖解析〗依题意，将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面所在的平面内，因为异面直线，所成的角为，，所以可得或，所以应为图中或，如下图所示：由对称性可知，当点在轴负方向时，解法与或位置相同；可设的中点为，四面体外接球的球心为，球的半径为，由题意可知，球心在过点且垂直于平面的垂线上，且满足，建立如上图所示的空间直角坐标系，因为，，，设，又，由，所以，或，解得或,所以或，即可知四面体外接球的表面积为或.故〖答案〗为：或三、解答题（一）必考题：共60分.17.手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.（1）若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；（2）若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.解：（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，故小李成功完成三道工序的概率为；（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，有如下几种情况：两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；故.18.已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.（1）若，，求；（2）若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.解：（1）由题设，且，而，显然也满足上式，故，由，又，所以是首项、公差均为2的等差数列.综上，.（2）由，，则，所以，而，故，即是公比为3的等比数列.所以，则，，而，所以，所以对都成立，所以，故，则正整数的最小值为3.19.已知正四棱台的体积为，其中.（1）求侧棱与底面所成的角；（2）在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）依题意，在正四棱台中，，所以上底面积，下底面积，设正四棱台的高为，则.连接，则，所以，设侧棱与底面所成的角为，则，由于线面角的取值范围是，所以.（2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，，设线段上存在一点，满足，，，则，，若，则，即，解得，舍去，所以在线段上不存在一点，使得.20.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，长轴的长度为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作两条直线，，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，的中点为，的中点为；若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点．若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．解：（1）由题意知，，所以，所以，由可得，所以椭圆的方程为．（2）由题意知的，斜率必存在，设的斜率为，的斜率为，，设的方程为，联立消元可得，恒成立，由韦达定理；，所以，同理可得，，∴：，即∴过定点，且定点坐标为21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围．解：（1）定义域为，由，得，当时，，所以在上为减函数，当时，令，则，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，综上，当时，在上为减函数，时，在上递减，在上递增，（2）由（1）可知，当时，在上为减函数，则至多有一个零点，所以，由（1）得在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，即，当时，，所以只有一个零点，不合题意，当时，则，所以没有零点，不合题意，当时，，即，因为，所以在上有一个零点，取正整数，满足，则，因为，所以在上有一个零点，所以当时，有两个零点，所以a的取值范围为（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点，曲线经过变换后得到曲线.（1）求曲线的普通方程和线段的长度；（2）设点是曲线上的一个动点，求的面积的最大值.解：（1）由题设，为，消去参数t得：为，由圆心为，半径为2，则圆心到距离，所以.综上，的普通方程为，线段的长度为.（2）由经过变换后得到曲线，则，所以的一般方程为，设，所以到距离，所以，的面积的最大值为.选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）求不等式的解；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立，所以；当时，等价于，解得，此时不等式无解；当时，等价于，解得，所以．综上所述，不等式的解为．（2）由，得，当时，恒成立，所以；当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以．综上所述，的取值范围是.河南省开封市通许县等3地2023届高三信息押题卷数学试题（理）一、选择题1.已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗将整理化简可得，所以复数在复平面内对应的点坐标为，由点位于第四象限可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.2.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A.30 B.28 C.26 D.24〖答案〗B〖解析〗，，因为，当时，为偶数，共有个元素.当时，为奇数，此时，共有个元素.当时，为奇数，此时，有重复数字，去掉，共有个元素.综上中元素的个数为个.故选：B3.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（）A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵〖答案〗C〖解析〗由题意，中年教师应分得树苗的数量为棵.所以中年教师应分得梧桐的数量为棵.故选：C.4.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设，，，则，A对；如下图，连接，将阳马一分为二，又，所以，，则，故，所以B错，C、D对.故选：B5.黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A.180 B.210 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先把排列，然后选两个空档插入3，总方法为．故选：C．6.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.在上的值域为〖答案〗D〖解析〗由题意，平移后函数为：，故A不正确;B中，，可知，∴先增后减，即在上单调递增不正确，故B不正确；C中，∵，∴函数不关于对称，故C不正确；D中，，则，∴，∴，故D正确.故选：D.7.已知函数，则的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，而恒成立，对于，则，即在定义域上递增，所以时，恒成立，综上，上，排除A、B、D.故选：C.8.在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为（）A.－1 B.－C. D.－〖答案〗D〖解析〗作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知，解得．因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选D．9.已知中，，，，，，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，结合向量加法法则知：到的距离为2，又，则，所以，故为等腰直角三角形，由，则，所以共线，又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，所以线段上运动，且，，，由图：若，则，又，此时，故上述情况，易知，由图知：与重合时，，综上，的取值范围为.故选：D10.已知抛物线的焦点关于直线的对称点为，为坐标原点,点在上且满足（均不与重合），则面积的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗在中，焦点为，焦点关于直线即的对称点为，，解得，∴抛物线的方程为,显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,且,设,联立整理可得,,即,且,,又因为,即,∴,∴即直线的方程为，∴直线恒过点，∴，当且仅当时,等号成立.故选：C.11.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，则，原不等式化为，即，，设，原不等式即为，易知是上的增函数，所以，，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以，，综上，．故选：A．12.已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记角所对的边分别为.因为，所以由正弦定理可得..，令，则，令，则，故当时，，当时，，故，故，则实数的取值范围为.故选：A.二、填空题13.已知函数是偶函数，则实数______.〖答案〗2〖解析〗函数的定义域为，又为偶函数，则，解得，经检验，,,符合题意．故〖答案〗为：2．14.已知，则______.〖答案〗〖解析〗，所以，则.故〖答案〗为：15.设双曲线的离心率为，实轴长为2，设直线与双曲线在轴左、右两侧的交点分别是，若以线段为直径的圆恰过坐标原点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由双曲线离心率为，实轴长为2可得，所以；即可得双曲线方程为；依题意如下图所示：由在轴左、右两侧，所以的斜率均存在，可设的斜率为，易知，所以可得的斜率为；直线的方程为，联立直线和双曲线方程，消去整理可得，易知；所以，因此；同理可得；易知，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立；所以的最小值为.故〖答案〗为：16.在四面体中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为______.〖答案〗或〖解析〗依题意，将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面所在的平面内，因为异面直线，所成的角为，，所以可得或，所以应为图中或，如下图所示：由对称性可知，当点在轴负方向时，解法与或位置相同；可设的中点为，四面体外接球的球心为，球的半径为，由题意可知，球心在过点且垂直于平面的垂线上，且满足，建立如上图所示的空间直角坐标系，因为，，，设，又，由，所以，或，解得或,所以或，即可知四面体外接球的表面积为或.故〖答案〗为：或三、解答题（一）必考题：共60分.17.手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.（1）若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；（2）若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.解：（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，故小李成功完成三道工序的概率为；（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，有如下几种情况：两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；故.18.已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.（1）若，，求；（2）若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.解：（1）由题设，且，而，显然也满足上式，故，由，又，所以是首项、公差均为2的等差数列.综上，.（2）由，，则，所以，而，故，即是公比为3的等比数列.所以，则，，而，所以，所以对都成立，所以，故，则正整数的最小值为3.19.已知正四棱台的体积为，其中.（1）求侧棱与底面所成的角；（2）在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）依题意，在正四棱台中，，所以上底面积，下底面积，设正四棱台的高为，则.连接，则，所以，设侧棱与底面所成的角为，则，由于线面角的取值范围是，所以.（2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，，设线段上存在一点，满足，，，则，，若，则，