2023-2024学年浙江省杭州市四校高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市四校2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）：3.所有〖答案〗必须写在答题卷上，写在试卷上无效：一､单项选择题1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意集合，，又因为，且全集，所以，解得，但当时，集合违背了元素之间的互异性，而当时，集合，，满足题意,综上所述：.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗“”的否定是“”.故选：D.3.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab>ac B.c(b－a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a－c)>0〖答案〗A〖解析〗由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立，即正确；因为，故，故错误；若时，显然不满足，故错误；因为，故，故错误.故选：.4.若正数x，y满足，则的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗方法一由条件得，由，知，从而，当且仅当，即，时取等号．故的最小值为5．方法二对原条件式转化得，则，当且仅当，，即，时取等号．故的最小值为5．故选：D.5.命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗命题，使为真命题，即，使成立，即能成立设，则，当且仅当，即时，取等号，即，，故的取值范围是．故选：C．6.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则，则，又因为表示不大于的最大整数，所以不等式的解集为：，因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，选项中只有⫋.故选：B.7.设集合，其中为实数．令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（）A.0 B.2 C.4 D.0或4〖答案〗A〖解析〗根据集合中元素的互异性，且.由题意，.情况一：若时,当时，，，，的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为；当时，，，，的所有元素和为，不符题意；情况二：若时，此时，，，但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为；情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素，则，由题意，即，此时，矛盾.综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为.故选：A.8.正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A.二､多项选择题9.若不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A. B.C.且 D.不等式的解集是〖答案〗AB〖解析〗于不等式的解集是，所以，B选项正确，且，即，则，所以，A选项正确，，C选项错误，不等式，即，即，无解，D选项错误.故选：AB.10.下列命题中为真命题的是（）A.B.“”的充要条件是C.不等式的解集为D.若，且满足，则的最小值为〖答案〗BD〖解析〗A选项：“”用于元素与集合之间，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：解得或，当时，，所以的解集为，C错误；D选项：，因为，所以，所以，当且，即时，等号成立，D正确.故选：BD.11.已知函数有且只有一个零点，则（）A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则〖答案〗ABD〖解析〗因（）有且只有一个零点，故可得，即，对A：等价于，显然，故A正确；对B：，故B正确；对C：因为不等式的解集为，故可得，故C错误；对D：因为不等式的解集为，且，则方程的两根为，，故可得，故可得，故D正确.故选：ABD.12.设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（）A.若m=1，则 B.若，则≤n≤1C若，则 D.若n=1，则〖答案〗BC〖解析〗∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得：.对于A:m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B:,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；对于C:若，有，解得：，故C正确；对于D:若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC.三､填空题13.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第__________楼，会有一个最佳满意度.〖答案〗3〖解析〗由题意可知，当住层楼时，不满意程度为，因，且，所以，当且仅当即时等号成立，故当住楼时，不满意程度最低，故〖答案〗为：314.对于集合，用表示有限集合中元素的个数，已知，集合满足，则符合条件的集合的个数是__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，由可知，满足条件的集合C必含有A中所有元素，所以，集合C可以看成集合与的子集的并集，因为集合子集个数为，所以集合的个数为.故〖答案〗为：.15.已知集合，B={x|(x−b)2<a}，若“a=1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是________．〖答案〗(−2，2)〖解析〗由＝{x|(x−1)·(x＋1)<0}＝{x|−1<x<1}，当a=1时，B＝{x|(x−b)2<1}={x|b−1<x<b＋1}，此时，，所以，解得−2<b<2.故〖答案〗为：(−2，2).16.已知，，且，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗因为，，且，所以，，当时，取最小值，所以取最大值，故的最大值是.故〖答案〗为：.三､解答题17.设全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由“”是“”的充分不必要条件，得，又，因此或，解得，所以实数的取值范围为.（2）由已知，当时，，解得，符合题意，因此；当时，而，则，无解，所以实数的取值范围.18.已知命题，命题．（1）当命题为假命题时，求实数的取值范围；（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．解：（1）当命题为假命题时，命题为真命题，，当时，，∴，即∴实数的取值范围为．（2）∵命题和中有且仅有一个是假命题，∴命题和一真一假，当命题为真命题时，，解得或，①当命题为真，命题为假时，，解得，②当命题为真，命题为假时，，解得，综上，实数的取值范围为．19.记不等式的解集为A，不等式的解集为（1）设，求A；（2）若，求解：（1）由，可得，当时，解得，当时，无解，当时，解得，综上，当时，解集，当时，解集，当时，解集.（2）若，则，且，即，所以原式化简为：，即，当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上当时，集合，当时，集合，当时，集合20.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：（1）海报纸的斜边最短是多少？（2）若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径最大值是多少？解：（1）设该直角三角形的两直角边分别为：，则其斜边为，由题意可知，由，当且仅当时取得等号，即，所以，即斜边的最小值为米；（2）由三角形内切圆的性质可知其面积与周长满足：，由题意及（1）可知，且，当且仅当时取得等号，即直角三角形内切圆半径最大值是.21.设函数.（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；（2）解关于的不等式；（3）当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值.解：（1）由题设，又有且只有一个元素，所以有且仅有一个根，当时，，即，则，满足题设；当时，，即，则，满足题设；所以的取值集合为.（2）由题设，整理得，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；（3）由，恒有，故，且，故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，因，即在上有解，且，又区间关于对称，且区间长度，综上，只需保证，则，且，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.22.已知二次函数（为实数）（1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；（2）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；（3）对，时，恒成立，求的最小值．解：（1）时，，即，，恒成立，即恒成立，恒成立，，对恒成立，．令，则，则，当且仅当，即，此时时取，所以实数的取值范围时．（2）时，，即，，恒成立，即对恒成立，对恒成立．，，所以实数的取值范围是．（3）对，时，恒成立，，则．，当且仅当且，即时取等号，所以最小值是．浙江省杭州市四校2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）：3.所有〖答案〗必须写在答题卷上，写在试卷上无效：一､单项选择题1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意集合，，又因为，且全集，所以，解得，但当时，集合违背了元素之间的互异性，而当时，集合，，满足题意,综上所述：.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗“”的否定是“”.故选：D.3.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab>ac B.c(b－a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a－c)>0〖答案〗A〖解析〗由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立，即正确；因为，故，故错误；若时，显然不满足，故错误；因为，故，故错误.故选：.4.若正数x，y满足，则的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗方法一由条件得，由，知，从而，当且仅当，即，时取等号．故的最小值为5．方法二对原条件式转化得，则，当且仅当，，即，时取等号．故的最小值为5．故选：D.5.命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗命题，使为真命题，即，使成立，即能成立设，则，当且仅当，即时，取等号，即，，故的取值范围是．故选：C．6.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则，则，又因为表示不大于的最大整数，所以不等式的解集为：，因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，选项中只有⫋.故选：B.7.设集合，其中为实数．令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（）A.0 B.2 C.4 D.0或4〖答案〗A〖解析〗根据集合中元素的互异性，且.由题意，.情况一：若时,当时，，，，的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为；当时，，，，的所有元素和为，不符题意；情况二：若时，此时，，，但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为；情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素，则，由题意，即，此时，矛盾.综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为.故选：A.8.正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A.二､多项选择题9.若不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A. B.C.且 D.不等式的解集是〖答案〗AB〖解析〗于不等式的解集是，所以，B选项正确，且，即，则，所以，A选项正确，，C选项错误，不等式，即，即，无解，D选项错误.故选：AB.10.下列命题中为真命题的是（）A.B.“”的充要条件是C.不等式的解集为D.若，且满足，则的最小值为〖答案〗BD〖解析〗A选项：“”用于元素与集合之间，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：解得或，当时，，所以的解集为，C错误；D选项：，因为，所以，所以，当且，即时，等号成立，D正确.故选：BD.11.已知函数有且只有一个零点，则（）A.B.C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则〖答案〗ABD〖解析〗因（）有且只有一个零点，故可得，即，对A：等价于，显然，故A正确；对B：，故B正确；对C：因为不等式的解集为，故可得，故C错误；对D：因为不等式的解集为，且，则方程的两根为，，故可得，故可得，故D正确.故选：ABD.12.设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（）A.若m=1，则 B.若，则≤n≤1C若，则 D.若n=1，则〖答案〗BC〖解析〗∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得：.对于A:m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B:,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；对于C:若，有，解得：，故C正确；对于D:若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC.三､填空题13.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第__________楼，会有一个最佳满意度.〖答案〗3〖解析〗由题意可知，当住层楼时，不满意程度为，因，且，所以，当且仅当即时等号成立，故当住楼时，不满意程度最低，故〖答案〗为：314.对于集合，用表示有限集合中元素的个数，已知，集合满足，则符合条件的集合的个数是__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，由可知，满足条件的集合C必含有A中所有元素，所以，集合C可以看成集合与的子集的并集，因为集合子集个数为，所以集合的个数为.故〖答案〗为：.15.已知集合，B={x|(x−b)2<a}，若“a=1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是________．〖答案〗(−2，2)〖解析〗由＝{x|(x−1)·(x＋1)<0}＝{x|−1<x<1}，当a=1时，B＝{x|(x−b)2<1}={x|b−1<x<b＋1}，此时，，所以，解得−2<b<2.故〖答案〗为：(−2，2).16.已知，，且，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗因为，，且，所以，，当时，取最小值，所以取最大值，故的最大值是.故〖答案〗为：.三､解答题17.设全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由“”是“”的充分不必要条件，得，又，因此或，解得，所以实数的取值范围为.（2）由已知，当时，，解得，符合题意，因此；当时，而，则，无解，所以实数的取值范围.18.已知命题，命题．（1）当命题为假命题时，求实数的取值范围；（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．解：（1）当命题为假命题时，命题为真命题，，当时，，∴，即∴实数的取值范围为．（2）∵命题和中有且仅有一个是假命题，∴命题和一真一假，当命题为真命题时，，解得或，①当命题为真，命题为假时，，解得，②当命题为真，命题为假时，，解得，综上，实数的取值范围为．19.记不等式的解集为A，不等式的解集为（1）设，求A；（2）若，求解：（1）由，可得，当时，解得，当时，无解，当时，解得，综上，当时，解集，当时，解集，当时，解集.（2