2023-2024学年上海市第四中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题一、填空题：（1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1.用描述法表示所有正奇数集______．〖答案〗〖解析〗正奇数可表示为，故对应集合为.故〖答案〗为：.2设集合，，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意，根据交集的定义，故〖答案〗为：.3.满足的集合M共有______个．〖答案〗4〖解析〗根据可得可以为，故共有4个符合条件的集合，故〖答案〗为：4.4.已知集合，若，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.5.已知关于x的不等式的解集为，则______．〖答案〗-5〖解析〗因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，所以.故〖答案〗为：-5.6.设全集，，，则实数______．〖答案〗〖解析〗由题设知：，所以或，显然时中元素不满足互异性，而满足题设，所以.故〖答案〗为：.7.不等式的解集为，则a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题意.故〖答案〗为：.8.“”是关于x的方程的解集为的______条件．〖答案〗必要不充分〖解析〗，则，当则无解，当则解集为，充分性不成立；关于x的方程解集为，则，必要性成立；所以“”是关于x的方程的解集为的必要不充分条件.故〖答案〗为：必要不充分.9.已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题设，又，若，则；若，则，则，或；综上，.故〖答案〗为：.10.已知集合，，则___________．〖答案〗〖解析〗，当且仅当时取等号，因此，由得：，解得：，因此，所以.故〖答案〗为：.11.已知为方程的两个实数根，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由题意，，又，∴．，，，∴．故〖答案〗为：．12.若且，则的最大值是____________．〖答案〗7〖解析〗，则，解得：，即，因为且，所以，故，故的最大值为7，故〖答案〗为：7.二、选择题：（每小题4分，共16分）13.“关于x的方程有实数根”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件〖答案〗B〖解析〗若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立；若，则，即方程有实数根，必要性成立；所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件.故选：B.14.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗A选项：当时，，故A错；B选项：，因为的符号不确定，所以的符号也不能确定，故B错；C选项：，因为，所以，，，即，则，故C正确；D选项：，因为，所以，，即，，故D错.故选：C.15.若集合有且仅有两个子集，则实数a的值为（）A.2，18 B.2 C.18 D.0，2，18〖答案〗D〖解析〗由题意，集合A中只有一个元素，即方程仅有一个解，当时，，可得或；当时，方程为仅有一解，满足题设；综上，实数a的值为0，2，18.故选：D.16.设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．三、解答题：（总分42分6+8+8+10+10）17.证明：．解：由，故，得证.18.设m、k均为实数，求关于x的方程的解集．解：由题设，讨论如下：若，即时，则：当，此时方程的解集为；当，此时方程无解，故解集为；若，即时，则，此时方程解集为.19.若集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）由，则，而，所以，.（2）由，而，若，显然不成立，即，所以，m的取值范围为.20.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，且，求p的值．解：（1）因为，所以,即1是方程的根，所以，解得，所以由方程解得或，所以,又由解得或，所以,所以.（2）由题可知是方程的两个根，因为，所以，解得或，由韦达定理得，因为，即解得或，又因为或，所以.21.已知关于x的不等式．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题设知：是方程的两个根，所以，即，经检验满足题设，所以.（2）令，则在上恒成立，而开口向上且对称轴，故，即，所以，此时对称轴，当时，，此时；当时，只需，此时；综上，.四、附加题：（本大题共5+5+5+5=20分）22.设，是方程两个实数根，则______．〖答案〗〖解析〗由题设且，所以.故〖答案〗为：.23.已知等式对恒成立，则_________〖答案〗〖解析〗因为对恒成立，所以对恒成立，所以，解得，所以，故〖答案〗为：.24.设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有______个．〖答案〗7〖解析〗由题意，若是由M中的3个元素组成的集合，当且1为孤立元，则；当且2为孤立元，则；当且3为孤立元，则；当且4为孤立元，则；当且5为孤立元，则；当且6为孤立元，则；当且7为孤立元，则；当且8为孤立元，则；当且9为孤立元，则；要使不含有“孤立元”：若，则，进而有，即满足；若且，则，进而有，即满足；若且，则，进而有，即满足；依次类推，都满足，综上，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有7个.故〖答案〗为：7.25.设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为______．〖答案〗〖解析〗由题设，的非空子集有，含一个元素的子集“容量”之和为，含两个元素的子集“容量”之和为，含三个元素的子集“容量”之和为，含四个元素的子集“容量”之和为，含五个元素的子集“容量”之和为，所以S的所有非空子集的“容量”之和为.故〖答案〗为：.上海市第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题一、填空题：（1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1.用描述法表示所有正奇数集______．〖答案〗〖解析〗正奇数可表示为，故对应集合为.故〖答案〗为：.2设集合，，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意，根据交集的定义，故〖答案〗为：.3.满足的集合M共有______个．〖答案〗4〖解析〗根据可得可以为，故共有4个符合条件的集合，故〖答案〗为：4.4.已知集合，若，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.5.已知关于x的不等式的解集为，则______．〖答案〗-5〖解析〗因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，所以.故〖答案〗为：-5.6.设全集，，，则实数______．〖答案〗〖解析〗由题设知：，所以或，显然时中元素不满足互异性，而满足题设，所以.故〖答案〗为：.7.不等式的解集为，则a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题意.故〖答案〗为：.8.“”是关于x的方程的解集为的______条件．〖答案〗必要不充分〖解析〗，则，当则无解，当则解集为，充分性不成立；关于x的方程解集为，则，必要性成立；所以“”是关于x的方程的解集为的必要不充分条件.故〖答案〗为：必要不充分.9.已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题设，又，若，则；若，则，则，或；综上，.故〖答案〗为：.10.已知集合，，则___________．〖答案〗〖解析〗，当且仅当时取等号，因此，由得：，解得：，因此，所以.故〖答案〗为：.11.已知为方程的两个实数根，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由题意，，又，∴．，，，∴．故〖答案〗为：．12.若且，则的最大值是____________．〖答案〗7〖解析〗，则，解得：，即，因为且，所以，故，故的最大值为7，故〖答案〗为：7.二、选择题：（每小题4分，共16分）13.“关于x的方程有实数根”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件〖答案〗B〖解析〗若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立；若，则，即方程有实数根，必要性成立；所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件.故选：B.14.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗A选项：当时，，故A错；B选项：，因为的符号不确定，所以的符号也不能确定，故B错；C选项：，因为，所以，，，即，则，故C正确；D选项：，因为，所以，，即，，故D错.故选：C.15.若集合有且仅有两个子集，则实数a的值为（）A.2，18 B.2 C.18 D.0，2，18〖答案〗D〖解析〗由题意，集合A中只有一个元素，即方程仅有一个解，当时，，可得或；当时，方程为仅有一解，满足题设；综上，实数a的值为0，2，18.故选：D.16.设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．三、解答题：（总分42分6+8+8+10+10）17.证明：．解：由，故，得证.18.设m、k均为实数，求关于x的方程的解集．解：由题设，讨论如下：若，即时，则：当，此时方程的解集为；当，此时方程无解，故解集为；若，即时，则，此时方程解集为.19.若集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）由，则，而，所以，.（2）由，而，若，显然不成立，即，所以，m的取值范围为.20.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，且，求p的值．解：（1）因为，所以,即1是方程的根，所以，解得，所以由方程解得或，所以,又由解得或，所以,所以.（2）由题可知是方程的两个根，因为，所以，解得或，由韦达定理得，因为，即解得或，又因为或，所以.21.已知关于x的不等式．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题设知：是方程的两个根，所以，即，经检验满足题设，所以.（2）令，则在上恒成立，而开口向上且对称轴，故，即，所以，此时对称轴，当时，，此时；当时，只需，此时；综上，.四、附加题：（本大题共5+5+5+5=20分）22.设，是方程两个实数根，则______．〖答案〗〖解析〗由题设且，所以.故〖答案〗为：.23.已知等式对恒成立，则_________〖答案〗〖解析〗因为对恒成立，所以对恒成立，所以，解得，所以，故〖答案〗为：.24.设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有______个．〖答案〗7〖解析〗由题意，若是由M中的3个元素组成的集合，当且1为孤立元，则；当且2为孤立元，则；当且3为孤立元，则；当且4为孤立元，则；当且5为孤立元，则；当且6为孤立元，则；当且7为孤立元，则；当且8为孤立元，则；当且9为孤立元，则；要使不含有“孤立元”：若，则，进