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高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题一、填空题:(1-6每题3分,7-12每题4分,共42分)1.用描述法表示所有正奇数集______.〖答案〗〖解析〗正奇数可表示为,故对应集合为.故〖答案〗为:.2设集合,,则___________.〖答案〗〖解析〗由题意,根据交集的定义,故〖答案〗为:.3.满足的集合M共有______个.〖答案〗4〖解析〗根据可得可以为,故共有4个符合条件的集合,故〖答案〗为:4.4.已知集合,若,则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由于,所以,所以的取值范围是.故〖答案〗为:.5.已知关于x的不等式的解集为,则______.〖答案〗-5〖解析〗因关于x的不等式的解集为,则是方程的二根,则有,解得,所以.故〖答案〗为:-5.6.设全集,,,则实数______.〖答案〗〖解析〗由题设知:,所以或,显然时中元素不满足互异性,而满足题设,所以.故〖答案〗为:.7.不等式的解集为,则a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由题意.故〖答案〗为:.8.“”是关于x的方程的解集为的______条件.〖答案〗必要不充分〖解析〗,则,当则无解,当则解集为,充分性不成立;关于x的方程解集为,则,必要性成立;所以“”是关于x的方程的解集为的必要不充分条件.故〖答案〗为:必要不充分.9.已知集合,,若,则实数a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由题设,又,若,则;若,则,则,或;综上,.故〖答案〗为:.10.已知集合,,则___________.〖答案〗〖解析〗,当且仅当时取等号,因此,由得:,解得:,因此,所以.故〖答案〗为:.11.已知为方程的两个实数根,则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由题意,,又,∴.,,,∴.故〖答案〗为:.12.若且,则的最大值是____________.〖答案〗7〖解析〗,则,解得:,即,因为且,所以,故,故的最大值为7,故〖答案〗为:7.二、选择题:(每小题4分,共16分)13.“关于x的方程有实数根”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件〖答案〗B〖解析〗若方程有实数根,则,即,但不一定有,充分性不成立;若,则,即方程有实数根,必要性成立;所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件.故选:B.14.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,,则下列命题正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗C〖解析〗A选项:当时,,故A错;B选项:,因为的符号不确定,所以的符号也不能确定,故B错;C选项:,因为,所以,,,即,则,故C正确;D选项:,因为,所以,,即,,故D错.故选:C.15.若集合有且仅有两个子集,则实数a的值为()A.2,18 B.2 C.18 D.0,2,18〖答案〗D〖解析〗由题意,集合A中只有一个元素,即方程仅有一个解,当时,,可得或;当时,方程为仅有一解,满足题设;综上,实数a的值为0,2,18.故选:D.16.设数集,且M、N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意,M的长度为,N的长度为,当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,故M∩N的长度的最小值是,故选C.三、解答题:(总分42分6+8+8+10+10)17.证明:.解:由,故,得证.18.设m、k均为实数,求关于x的方程的解集.解:由题设,讨论如下:若,即时,则:当,此时方程的解集为;当,此时方程无解,故解集为;若,即时,则,此时方程解集为.19.若集合,.(1)当时,求,;(2)若,求实数m的取值范围.解:(1)由,则,而,所以,.(2)由,而,若,显然不成立,即,所以,m的取值范围为.20.已知集合,集合.(1)若,求;(2)若,且,求p的值.解:(1)因为,所以,即1是方程的根,所以,解得,所以由方程解得或,所以,又由解得或,所以,所以.(2)由题可知是方程的两个根,因为,所以,解得或,由韦达定理得,因为,即解得或,又因为或,所以.21.已知关于x的不等式.(1)若不等式的解集为,求实数的值;(2)若不等式在时恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)由题设知:是方程的两个根,所以,即,经检验满足题设,所以.(2)令,则在上恒成立,而开口向上且对称轴,故,即,所以,此时对称轴,当时,,此时;当时,只需,此时;综上,.四、附加题:(本大题共5+5+5+5=20分)22.设,是方程两个实数根,则______.〖答案〗〖解析〗由题设且,所以.故〖答案〗为:.23.已知等式对恒成立,则_________〖答案〗〖解析〗因为对恒成立,所以对恒成立,所以,解得,所以,故〖答案〗为:.24.设集合A是整数集的一个非空子集,对于任意的,如果且,则称k为集合A的一个“孤立元”,给定集合,由M中的3个元素组成的所有集合中,不含有“孤立元”的集合共有______个.〖答案〗7〖解析〗由题意,若是由M中的3个元素组成的集合,当且1为孤立元,则;当且2为孤立元,则;当且3为孤立元,则;当且4为孤立元,则;当且5为孤立元,则;当且6为孤立元,则;当且7为孤立元,则;当且8为孤立元,则;当且9为孤立元,则;要使不含有“孤立元”:若,则,进而有,即满足;若且,则,进而有,即满足;若且,则,进而有,即满足;依次类推,都满足,综上,由M中的3个元素组成的所有集合中,不含有“孤立元”的集合共有7个.故〖答案〗为:7.25.设A是集合的非空子集,称A中的元素之和为A的“容量”,则S的所有非空子集的“容量”之和为______.〖答案〗〖解析〗由题设,的非空子集有,含一个元素的子集“容量”之和为,含两个元素的子集“容量”之和为,含三个元素的子集“容量”之和为,含四个元素的子集“容量”之和为,含五个元素的子集“容量”之和为,所以S的所有非空子集的“容量”之和为.故〖答案〗为:.上海市第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题一、填空题:(1-6每题3分,7-12每题4分,共42分)1.用描述法表示所有正奇数集______.〖答案〗〖解析〗正奇数可表示为,故对应集合为.故〖答案〗为:.2设集合,,则___________.〖答案〗〖解析〗由题意,根据交集的定义,故〖答案〗为:.3.满足的集合M共有______个.〖答案〗4〖解析〗根据可得可以为,故共有4个符合条件的集合,故〖答案〗为:4.4.已知集合,若,则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由于,所以,所以的取值范围是.故〖答案〗为:.5.已知关于x的不等式的解集为,则______.〖答案〗-5〖解析〗因关于x的不等式的解集为,则是方程的二根,则有,解得,所以.故〖答案〗为:-5.6.设全集,,,则实数______.〖答案〗〖解析〗由题设知:,所以或,显然时中元素不满足互异性,而满足题设,所以.故〖答案〗为:.7.不等式的解集为,则a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由题意.故〖答案〗为:.8.“”是关于x的方程的解集为的______条件.〖答案〗必要不充分〖解析〗,则,当则无解,当则解集为,充分性不成立;关于x的方程解集为,则,必要性成立;所以“”是关于x的方程的解集为的必要不充分条件.故〖答案〗为:必要不充分.9.已知集合,,若,则实数a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由题设,又,若,则;若,则,则,或;综上,.故〖答案〗为:.10.已知集合,,则___________.〖答案〗〖解析〗,当且仅当时取等号,因此,由得:,解得:,因此,所以.故〖答案〗为:.11.已知为方程的两个实数根,则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由题意,,又,∴.,,,∴.故〖答案〗为:.12.若且,则的最大值是____________.〖答案〗7〖解析〗,则,解得:,即,因为且,所以,故,故的最大值为7,故〖答案〗为:7.二、选择题:(每小题4分,共16分)13.“关于x的方程有实数根”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件〖答案〗B〖解析〗若方程有实数根,则,即,但不一定有,充分性不成立;若,则,即方程有实数根,必要性成立;所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件.故选:B.14.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,,则下列命题正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗C〖解析〗A选项:当时,,故A错;B选项:,因为的符号不确定,所以的符号也不能确定,故B错;C选项:,因为,所以,,,即,则,故C正确;D选项:,因为,所以,,即,,故D错.故选:C.15.若集合有且仅有两个子集,则实数a的值为()A.2,18 B.2 C.18 D.0,2,18〖答案〗D〖解析〗由题意,集合A中只有一个元素,即方程仅有一个解,当时,,可得或;当时,方程为仅有一解,满足题设;综上,实数a的值为0,2,18.故选:D.16.设数集,且M、N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意,M的长度为,N的长度为,当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,故M∩N的长度的最小值是,故选C.三、解答题:(总分42分6+8+8+10+10)17.证明:.解:由,故,得证.18.设m、k均为实数,求关于x的方程的解集.解:由题设,讨论如下:若,即时,则:当,此时方程的解集为;当,此时方程无解,故解集为;若,即时,则,此时方程解集为.19.若集合,.(1)当时,求,;(2)若,求实数m的取值范围.解:(1)由,则,而,所以,.(2)由,而,若,显然不成立,即,所以,m的取值范围为.20.已知集合,集合.(1)若,求;(2)若,且,求p的值.解:(1)因为,所以,即1是方程的根,所以,解得,所以由方程解得或,所以,又由解得或,所以,所以.(2)由题可知是方程的两个根,因为,所以,解得或,由韦达定理得,因为,即解得或,又因为或,所以.21.已知关于x的不等式.(1)若不等式的解集为,求实数的值;(2)若不等式在时恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)由题设知:是方程的两个根,所以,即,经检验满足题设,所以.(2)令,则在上恒成立,而开口向上且对称轴,故,即,所以,此时对称轴,当时,,此时;当时,只需,此时;综上,.四、附加题:(本大题共5+5+5+5=20分)22.设,是方程两个实数根,则______.〖答案〗〖解析〗由题设且,所以.故〖答案〗为:.23.已知等式对恒成立,则_________〖答案〗〖解析〗因为对恒成立,所以对恒成立,所以,解得,所以,故〖答案〗为:.24.设集合A是整数集的一个非空子集,对于任意的,如果且,则称k为集合A的一个“孤立元”,给定集合,由M中的3个元素组成的所有集合中,不含有“孤立元”的集合共有______个.〖答案〗7〖解析〗由题意,若是由M中的3个元素组成的集合,当且1为孤立元,则;当且2为孤立元,则;当且3为孤立元,则;当且4为孤立元,则;当且5为孤立元,则;当且6为孤立元,则;当且7为孤立元,则;当且8为孤立元,则;当且9为孤立元,则;要使不含有“孤立元”:若,则,进
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