2023-2024学年山东省淄博市普通高中高一上学期学科素养检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省淄博市普通高中2023-2024学年高一上学期学科素养检测数学试题1.的平方根为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，的平方根为.故选：A.2.把整式分解因式，结果正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.如图，点A，B在直线l的同侧，，且点A，B到直线l的距离分别为1，2，若在直线l上有点P，使△为等腰三角形，则这样的点P有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个〖答案〗B〖解析〗①以为圆心，长为半径画圆与直线交于两点，如图所示，其中一点与三点共线，故舍去，则保留点，②再以为圆心，长为半径画圆与直线交于两点为，③作的垂直平分线交直线于点，则这样的点有4个，故选：B.4.已知二次函数，当时，若该函数的最大值为m，最小值为，则m等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以或时取得函数的最小值，由，可得或，当时，时，，当时显然不合题意，当时显然不合题意，当时，时，；所以m等于3.故选：C.5.在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点N是点M的“等和点”.若点的“等和点”也是点A的“等和点”，且点A在直线上，则点A的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设点的等和点为，，设,则点的等和点为，，则，解得，则.故选：C.6.如图，在以O为圆心，AB为直径的半圆上有一动点C，过点C作于点P，连接BC，过点P作于点D，且.小明对于动点C在半圆上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10AP/cm0.370.881.592.012.443.003.584.375.035.51CP/cm1.452.122.652.832.953.002.952.672.211.65PD/cm1.401.962.272.312.272.131.871.390.890.48则在AP，CP，PD的长度这三个量中，可以分别确定为自变量和这个自变量的函数的是（）A.AP的长度，CP的长度 B.CP的长度，AP的长度C.CP的长度，PD的长度 D.AP的长度，PD的长度〖答案〗AD〖解析〗由图表观察，可看出随着AP的变化，CP和PD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，CP和PD的长度都是这个自变量的函数．CP的长度，PD的长度没有函数关系，CP的长度，AP的长度没有函数关系.故选:AD.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，点B在x轴上，反比例函数的图像分别交边AC，AB于点E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠，使点A落到点D处，连接AD，BD.若是直角三角形，则k的值为（）A. B.6 C.8 D.〖答案〗AB〖解析〗当时，，则，当时，，则，因为，四边形为矩形，则矩形长为4，宽为3，则，，所以，若，根据折叠知垂直平分，设且交于点，所以，又因为，所以，所以，所以，解得，则，则，则，所以，解得.若，则点落在线段上，由情况1知，则，根据折叠知，则在直角三角形中有，即，解得，显然，综上或，故选：AB.8.新定义：如图，圆与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，交圆于P，Q两点（Q在P，H之间），我们把点Q称为圆关于直线a的“近点”，把的值称为圆关于直线a的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，1为半径作圆.若圆与直线l相离，点是圆关于直线l的“近点”，且圆关于直线l的“秘钥数”是6，则直线l的表达式为（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗过圆心作直线l的垂线，垂足为，直线与圆的交点分别为，其中点是圆关于直线l的“近点”，I.若直线l与x轴垂直，则，此时，不合题意；II.若直线l不与x轴垂直，设直线，则有：（1）若，则，，符合题意；（2）若，设直线l与x轴的交点为，因为，由，可得，结合（1）可知，分别过作x轴垂线，垂足分别为，可知，，可得，则，即，解得，可知直线l过，，则，解得，所以直线；综上所述：直线l的表达式为或.故选：BD.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分.不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）9.如果a，b是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式____________.〖答案〗〖解析〗因为，可知，所以，由题意可知：为方程的两根，则，所以.故〖答案〗为：.10.在平面直角坐标系xOy中，已知以原点为圆心，2为半径的，如图.现有直线l：交x轴于点C，在该坐标系中作，使，，线段AB关于直线l对称的对应线段恰好为的弦.当b取得最大值时，相应的BC的长为____________.〖答案〗〖解析〗因为直线l：交x轴于点，即，若b取得最大值时，等价于取到最大值，又因为关于直线l对称，则，由题意可知：点在上，则，当且仅当在线段内时，等号成立，所以的最大值7，则b的最大值，此时直线l：，由题意可知：，过作x轴的垂线，垂足为，可知为等边三角形，可得，则，所以.故〖答案〗为：.11.在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与x轴交于点A，与直线交于点B，C.现定义横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为P.若区域P内恰好有3个整点，则m的取值范围为____________.〖答案〗〖解析〗当，当，下图实线部分表示的函数的图象，虚线表示的其中两条直线，当时，直线〖解析〗式为，恰好经过点，此时有一个整点在区域内，当直线恰好经过点时，区域内恰有3个整点，把代入，得，所以，区域P内恰好有3个整点时，m的取值范围为：.故〖答案〗为：12.一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，已知四边形ABCD为筝形，其对角线AC，BD相交于点O.若，，，则筝形ABCD的面积为____________.〖答案〗〖解析〗,.故〖答案〗为:.三、解答题（本题共6小题，共计60分.请把解答过程写在答题卡上，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.请用配方法解关于x的方程：.其中a，b，c为常数，且.解：∵，∴，又∵，∴，∴，当时，，，，当时，，当时，原方程无解.14.【归纳探索】定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列叫做等差数列.等差数列中前n项的和记作.（1）已知1，2，3，…，2022，2023是等差数列，其前2023项的和记作.请求的值；（2）已知：，，，…，，是等差数列，，其前n项的和记作.求证：.（3）【类比迁移】定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（），那么这个数列叫做等比数列（注意：时为常数列）.等比数列中前n项的和记作.已知：，，，…，，是等比数列，（且，），其前n项的和记作.求证：.（4）【学以致用】试求的值.解：（1）.（2），∵，，…，，左右两边分别相加，得，∴.（3）∵，，，…，为等比数列.∴，，…，，左右两边分别相乘，得，∴，令①①×q，得②①－②，整理得，∴.（4）令①①×3，得②①－②，得,，.15.（1）已知P为平分线上的一点，作射线PA，PB，分别交OM，ON于点A，B.①如图①，当，时，求证：；②如图②，若OA，OB，OP满足，令（），，连接AB，请用含的式子分别表示的度数和的面积；（2）如图③，在平面直角坐标系xOy中，C是函数图象上的一点.过点C的直线AB分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足，若P为平分线上的一点，且满足，请求出点P的坐标.（1）①证明：∵OP平分，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；②∵OP平分，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，如图，过B作，垂足为C，在中，，∴；（2）如图当B在y轴负半轴时，过C作轴，交x轴于点D，则，由题可知，，所以，∴，，∵C在上，设C的坐标为，∴，，∴，∴，，如图当B在y轴正半轴时，过C作轴，交x轴于点D，则，∵，设C的坐标为，则，，∴，∴，∴，综上，P的坐标为或.16.已知四边形ABCD，将线段AB绕点A旋转任意角度，得到线段AE，连接BE，DE.（1）当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的内部时，如图①.若AE平分，，则度，四边形ABED的面积为；（2）当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的外部时，且.①在图②中依题意补全图形，并求的度数；②作的平分线AF交ED于点G，交EB的延长线于点F，连接DF，请用等式表示线段BE，FA，FD之间的数量关系，并说明理由；（3）当四边形ABCD为菱形，点E在菱形ABCD的外部时，如图③.菱形ABCD的面积为，，过点C作CM垂直EB的延长线于点M，延长MC交ED的延长线于点P，连接BP.试判断BP是否存在最大值，若存在，请求出BP的最大值；若不存在，请说明理由.解：（1），.

（2）补全图形如图所示:①∵，,∴,∵正方形ABCD,∴，,∴.∴,∴,②如图，过A作，连接FD，并延长交AK于点K.∵，AF平分,∴AF垂直平分ED,∴，∴，∴，在中，,∴,∴，∵，∴，∵，,∴,∴，又∵，，∴.（3）BP存在最大值.∵菱形ABCD,∴,∵,∴为等边三角形,∴,∵，，,∴，,∴,在中，,∵,∴如图，点P在以CD为弦，且其所对的圆心角为120°的圆上,∴要使BP取到最大值，则BP过圆心O，并易得，垂足为点F，连接DO，CO，BD，则,在中，，,∴，,在中,∴.17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴的正半轴交于点C.（1）请求出该抛物线对应的函数表达式；（2）如图①，点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，连接FD，将FD绕点D旋转180°得到PD，连接ED，EP.当时，求点P的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，点G在线段OB上，点Q在线段OC的延长上，且．连接GQ和BC交于点M，连接PM并延长交抛物线于N，连接QN，GP.当时，求NQ的长.解：（1）将，分别代入，，解得，∴函数表达式为；（2）∵，，D，E分别为OB，OC中点，∴，，又∵，∴，∴，即，∴，故；（3）∵，∴，如图，过点G作轴，交BC于点H，∴设，∵轴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又，∴，将点N代入，得，∴或（舍）①在中，，∴.18.在平面内，P，Q为线段AB外的两点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形，则称P（或Q）为线段AB的“矩形关联点”.特别地，当该四边形为正方形时，称P（或Q）为线段AB的“正方形关联点”.（1）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，若有点，，，，则其中：①不是线段AB的“矩形关联点”的是；②是线段AB的“正方形关联点”的是；（2）如图①，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为，，连接AB.若F是线段AB的“矩形关联点”，且点F在直线l：上，求点F的坐标；（3）如图②，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，连接AB.点M的坐标为，圆的半径为1，试判断圆上是否存在线段AB的“正方形关联点”，且使线段AB恰为正方形的对角线.若存在，请求出点M的横坐标a的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）在直角坐标系中作出各点，显然，且，则是线段AB的“矩形关联点”，也是线段AB的“正方形关联点”，由图易知，则不是线段AB的“矩形关联点”，更不是其“正方形关联点”，，所以在以为坐标原点，1为半径的圆上，则，则均是线段AB的“矩形关联点”，而，则不是线段AB的“正方形关联点”，又因为均为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，则是线段AB的“正方形关联点”，故〖答案〗为：①；②；.（2）∵点F在直线上，∴设.①如图，过A作，交直线l于点F，作轴于点C，则，∴，∴，∴，，∴；②如图，过B作，交直线l于点F，作轴于点D，则，∴，∴，∴，，∴；③由题意，得以AB为直径的圆与直线l相交，圆心为，半径为.∵，∴，解得，，，∴或，综上所述，F的坐标为或或或.（3）存在,设线段AB的垂直平分线为l＇，当l＇与圆在y轴左侧相切于一点，如图，过点C作y轴的垂线，交y轴于点D，则，∴，，∴，消m，得，∵，∴，∴，∴；当l＇与圆在y轴右侧相切于一点，同理可得，∴，，∴，消m，得，∵，∴，∴，∴，∴a的取值范围是或.山东省淄博市普通高中2023-2024学年高一上学期学科素养检测数学试题1.的平方根为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，的平方根为.故选：A.2.把整式分解因式，结果正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.如图，点A，B在直线l的同侧，，且点A，B到直线l的距离分别为1，2，若在直线l上有点P，使△为等腰三角形，则这样的点P有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个〖答案〗B〖解析〗①以为圆心，长为半径画圆与直线交于两点，如图所示，其中一点与三点共线，故舍去，则保留点，②再以为圆心，长为半径画圆与直线交于两点为，③作的垂直平分线交直线于点，则这样的点有4个，故选：B.4.已知二次函数，当时，若该函数的最大值为m，最小值为，则m等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以或时取得函数的最小值，由，可得或，当时，时，，当时显然不合题意，当时显然不合题意，当时，时，；所以m等于3.故选：C.5.在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点N是点M的“等和点”.若点的“等和点”也是点A的“等和点”，且点A在直线上，则点A的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设点的等和点为，，设,则点的等和点为，，则，解得，则.故选：C.6.如图，在以O为圆心，AB为直径的半圆上有一动点C，过点C作于点P，连接BC，过点P作于点D，且.小明对于动点C在半圆上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10AP/cm0.370.881.592.012.443.003.584.375.035.51CP/cm1.452.122.652.832.953.002.952.672.211.65PD/cm1.401.962.272.312.272.131.871.390.890.48则在AP，CP，PD的长度这三个量中，可以分别确定为自变量和这个自变量的函数的是（）A.AP的长度，CP的长度 B.CP的长度，AP的长度C.CP的长度，PD的长度 D.AP的长度，PD的长度〖答案〗AD〖解析〗由图表观察，可看出随着AP的变化，CP和PD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，CP和PD的长度都是这个自变量的函数．CP的长度，PD的长度没有函数关系，CP的长度，AP的长度没有函数关系.故选:AD.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，点B在x轴上，反比例函数的图像分别交边AC，AB于点E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠，使点A落到点D处，连接AD，BD.若是直角三角形，则k的值为（）A. B.6 C.8 D.〖答案〗AB〖解析〗当时，，则，当时，，则，因为，四边形为矩形，则矩形长为4，宽为3，则，，所以，若，根据折叠知垂直平分，设且交于点，所以，又因为，所以，所以，所以，解得，则，则，则，所以，解得.若，则点落在线段上，由情况1知，则，根据折叠知，则在直角三角形中有，即，解得，显然，综上或，故选：AB.8.新定义：如图，圆与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，交圆于P，Q两点（Q在P，H之间），我们把点Q称为圆关于直线a的“近点”，把的值称为圆关于直线a的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，1为半径作圆.若圆与直线l相离，点是圆关于直线l的“近点”，且圆关于直线l的“秘钥数”是6，则直线l的表达式为（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗过圆心作直线l的垂线，垂足为，直线与圆的交点分别为，其中点是圆关于直线l的“近点”，I.若直线l与x轴垂直，则，此时，不合题意；II.若直线l不与x轴垂直，设直线，则有：（1）若，则，，符合题意；（2）若，设直线l与x轴的交点为，因为，由，可得，结合（1）可知，分别过作x轴垂线，垂足分别为，可知，，可得，则，即，解得，可知直线l过，，则，解得，所以直线；综上所述：直线l的表达式为或.故选：BD.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分.不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）9.如果a，b是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式____________.〖答案〗〖解析〗因为，可知，所以，由题意可知：为方程的两根，则，所以.故〖答案〗为：.10.在平面直角坐标系xOy中，已知以原点为圆心，2为半径的，如图.现有直线l：交x轴于点C，在该坐标系中作，使，，线段AB关于直线l对称的对应线段恰好为的弦.当b取得最大值时，相应的BC的长为____________.〖答案〗〖解析〗因为直线l：交x轴于点，即，若b取得最大值时，等价于取到最大值，又因为关于直线l对称，则，由题意可知：点在上，则，当且仅当在线段内时，等号成立，所以的最大值7，则b的最大值，此时直线l：，由题意可知：，过作x轴的垂线，垂足为，可知为等边三角形，可得，则，所以.故〖答案〗为：.11.在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与x轴交于点A，与直线交于点B，C.现定义横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为P.若区域P内恰好有3个整点，则m的取值范围为____________.〖答案〗〖解析〗当，当，下图实线部分表示的函数的图象，虚线表示的其中两条直线，当时，直线〖解析〗式为，恰好经过点，此时有一个整点在区域内，当直线恰好经过点时，区域内恰有3个整点，把代入，得，所以，区域P内恰好有3个整点时，m的取值范围为：.故〖答案〗为：12.一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，已知四边形ABCD为筝形，其对角线AC，BD相交于点O.若，，，则筝形ABCD的面积为____________.〖答案〗〖解析〗,.故〖答案〗为:.三、解答题（本题共6小题，共计60分.请把解答过程写在答题卡上，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.请用配方法解关于x的方程：.其中a，b，c为常数，且.解：∵，∴，又∵，∴，∴，当时，，，，当时，，当时，原方程无解.14.【归纳探索】定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列叫做等差数列.等差数列中前n项的和记作.（1）已知1，2，3，…，2022，2023是等差数列，其前2023项的和记作.请求的值；（2）已知：，，，…，，是等差数列，，其前n项的和记作.求证：.（3）【类比迁移】定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（），那么这个数列叫做等比数列（注意：时为常数列）.等比数列中前n项的和记作.已知：，，，…，，是等比数列，（且，），其前n项的和记作.求证：.（4）【学以致用】试求的值.解：（1）.（2），∵，，…，，左右两边分别相加，得，∴.（3）∵，，，…，为等比数列.∴，，…，，左右两边分别相乘，得，∴，令①①×q，得②①－②，整理得，∴.（4）令①①×3，得②①－②，得,，.15.（1）已知P为平分线上的一点，作射线PA，PB，分别交OM，ON于点A，B.①如图①，当，时，求证：；②如图②，若OA，OB，OP满足，令（），，连接AB，请用含的式子分别表示的度数和的面积；（2）如图③，在平面直角坐标系xOy中，C是函数图象上的一点.过点C的直线AB分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足，若P为平分线上的一点，且满足，请求出点P的坐标.（1）①证明：∵OP平分，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；②∵OP平分，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，如图，过B作，垂足为C，在中，，∴；（2）如图当B在y轴负半轴时，过C作轴，交x轴于点D，则，由题可知，，所以，∴，，∵C在上，设C的坐标为，∴，，∴，∴，，如图当B在y轴正半轴时，过C作轴，交x轴于点D，则，∵，设C的坐标为，则，，∴，∴，∴，综上，P的坐标为或.16.已知四边形ABCD，将线段AB绕点A旋转任意角度，得到线段AE，连接BE，DE.（1）当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的内部时，如图①.若AE平分，，则度，四边形ABED的面积为；（2）当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的外部时，且.①在图②中依题意补全图形，并求的度数；②作的平分线AF交ED于点G，交EB的延长线于点F，连接DF，请用等式表示线段BE，FA，FD之间的数量关系，并说明理由；（3）当四边形ABCD为菱形，点E在菱形ABCD的外部时，如图③.菱形ABCD的面积为，，过点C作CM垂直EB的延长线于点M，延长MC交ED的延长线于点P，连接BP.试判断BP是否存在最大值，若存在，请求出BP的最大值；若不存在，请说明理由.解：（1），.

（2）补全图形如图所示:①∵，,∴,∵正方形ABCD,∴，,∴.∴,∴,②如图，过A作，连接FD，并延长交AK于点K.∵，AF平分,∴AF垂直平分ED,∴，∴，∴，在中，,∴,∴，∵，∴，∵，,∴,∴，又∵，，∴.（3）BP存在最大值.∵菱形ABCD,∴,∵,∴为等边三角形,∴,∵，，,∴，,∴,在中，,∵,∴如图，点P在以CD为弦，且其所对的圆心角为120°的圆上,∴要使BP取到最大值，则BP过圆心O，并易得，垂足为点F，连接DO，CO，BD，则,在中，，,∴，,在中,∴.17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴的正半轴交于点C.（1）请求出该抛物线对应的函数表达式；（2）如图①，点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，连接FD，将FD