2023-2024学年江苏省苏州市高二上学期11月期中考试摸底数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期11月期中摸底数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为一条直线经过两点和，所以该直线的斜率为：所以该直线的倾斜角为.故选：C.2.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.3.为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，而，所以，，，可转化为，即，即，解得，而，所以的最大值为11.故选：C.4.直线与圆的位置关系是（）A.相交但直线不过圆心 B.相切C.相离 D.相交且直线过圆心〖答案〗A〖解析〗由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，∴到直线的距离，∴圆与直线的位置关系为相交，又圆心不在直线上，故选：A．5.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选：D．6.直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线分别交轴和于两点，设点、，因为是线段的中点，由中点坐标公式得，解得，所以点、，则直线的方程为，化简得，故选：C.7.以下四个命题表述错误的是（）A.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点〖答案〗B〖解析〗选项A：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线距离都等于，故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆，方程可化为，因为圆与曲线有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为，半径，同时两圆的位置关系为外离，有，即，解得，故B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故选项C正确；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，所以直线过定点，D正确．故选：B．8.已知数列中，且，则为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：由可得：，由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；对于选项C：由可得，圆心，，由可得，圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，即，解得：，故选项C正确；对于选项D：设点坐标为，所以，即，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，整理可得：，与已知圆相减可得，消去可得：，即，由可得，所以直线经过定点，故选项D正确故选：BCD.10.对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（）A.若数列为等比数列，成等差，则也成等差B.若数列为等比数列，则C.若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13D.若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列〖答案〗AD〖解析〗对于A，若数列为等比数列，成等差，则，若公比，则，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正确；对于B，若数列为等比数列，若公比时，，若公比时，则，所以，故B不正确；对于C，若数列为等差数列，公差为，由，得，即，则，所以，得，又，则，故C不正确；对于D，若数列为等差数列，且，则公差，所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，所以，所以，因为，则，其中，则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：AD.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.离心率C.面积的最大值为D.以线段为直径的圆与直线相切〖答案〗AD〖解析〗由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.故选：AD.12.数列满足，，为数列的前项和，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由题意，数列满足，所以，可得，因为，可得，所以，所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确；当时，，，所以，当时，，，所以，所以，故B正确；对于C中，当时，，当时，，所以恒成立，即C正确；对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列中，，则此数列的前8项和为__________．〖答案〗〖解析〗，的前8项和为．故〖答案〗为：.14.点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________.〖答案〗〖解析〗如图所示：，故，设直线方程，，，故，根据相似计算得到，利用点到直线的距离公式得到：，解得或当时，直线和圆不相交，舍去，故.故〖答案〗为：.15.圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______．〖答案〗〖解析〗圆与圆联立可得：公共弦的方程为，变形为，故的圆心为，半径为，而满足，故弦AB的长为圆的直径，故弦AB的长为．故〖答案〗为：.16.如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为__________〖答案〗〖解析〗连接，如图所示设则，由椭圆的定义得所以在中，，所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设等差数列的前项和为，已知，．（1）求；（2）若为与的等比中项，求．解：（1）设等差数列公差为，，解得，，所以，，.（2）由题意：，，即，化简得：，解之得或（舍），故.18.已知直线（1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程；（2）求点到直线的距离d的最大值.解：（1）当时，直线：，：，则，解得交点又由直线l垂直于直线，而直线的斜率，两直线垂直得斜率乘积为，得到又因为直线l过与的交点，直线l的方程为，即（2）直线：过定点，又，点M到直线的距离d的最大值为19.已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项的和.解：（1）由已知，，设数列首项为，公差为，，解得：，，所以，因为，，数列是单调递增等比数列，设数列首项为，公比为，所以，解得：，，所以，所以.（2）由已知，所以，.20.已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率.解：（1）由题意知，故可设椭圆方程为，由在上可得，，解得或（舍去），故所求椭圆的方程为.（2）设直线，，把代入椭圆方程整理可得：，设，则，，从而得点，在上式中以代替，得，即直线的斜率为.21.已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆．（1）求圆的方程；（2）设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围．解：（1）设直线的方程为，因为圆半径为，，所以圆心到直线的距离，即，解得，当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为，即所求圆方程为或.（2）由圆的性质可知，只研究圆方程为时即可，设与圆相切，则有，即有，从而有，设与圆相切，则有，即有，从而有，联立直线，由得，所以，当时，.22.已知椭圆的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且，证明：直线过定点并求定点坐标解：（1）椭圆过点，可得，且离心率为．，解得，所求椭圆方程为：.（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，，则，当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，有，则将式代入化简可得：，即，直线，恒过定点.江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期11月期中摸底数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为一条直线经过两点和，所以该直线的斜率为：所以该直线的倾斜角为.故选：C.2.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.3.为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，而，所以，，，可转化为，即，即，解得，而，所以的最大值为11.故选：C.4.直线与圆的位置关系是（）A.相交但直线不过圆心 B.相切C.相离 D.相交且直线过圆心〖答案〗A〖解析〗由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，∴到直线的距离，∴圆与直线的位置关系为相交，又圆心不在直线上，故选：A．5.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选：D．6.直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线分别交轴和于两点，设点、，因为是线段的中点，由中点坐标公式得，解得，所以点、，则直线的方程为，化简得，故选：C.7.以下四个命题表述错误的是（）A.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点〖答案〗B〖解析〗选项A：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线距离都等于，故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆，方程可化为，因为圆与曲线有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为，半径，同时两圆的位置关系为外离，有，即，解得，故B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故选项C正确；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，所以直线过定点，D正确．故选：B．8.已知数列中，且，则为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：由可得：，由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；对于选项C：由可得，圆心，，由可得，圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，即，解得：，故选项C正确；对于选项D：设点坐标为，所以，即，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，整理可得：，与已知圆相减可得，消去可得：，即，由可得，所以直线经过定点，故选项D正确故选：BCD.10.对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（）A.若数列为等比数列，成等差，则也成等差B.若数列为等比数列，则C.若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13D.若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列〖答案〗AD〖解析〗对于A，若数列为等比数列，成等差，则，若公比，则，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正确；对于B，若数列为等比数列，若公比时，，若公比时，则，所以，故B不正确；对于C，若数列为等差数列，公差为，由，得，即，则，所以，得，又，则，故C不正确；对于D，若数列为等差数列，且，则公差，所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，所以，所以，因为，则，其中，则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：AD.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.离心率C.面积的最大值为D.以线段为直径的圆与直线相切〖答案〗AD〖解析〗由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.故选：AD.12.数列满足，，为数列的前项和，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由题意，数列满足，所以，可得，因为，可得，所以，所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确；当时，，，所以，当时，，，所以，所以，故B正确；对于C中，当时，，当时，，所以恒成立，即C正确；对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列中，，则此数列的前8项和为__________．〖答案〗〖解析〗，的前8项和为．故〖答案〗为：.14.点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________.〖答案〗〖解析〗如图所示：，故，设直线方程，，，故，根据相似计算得到，利用点到直线的距离公式得到：，解得或当时，直线和圆不相交，舍去，故.故〖答案〗为：.15.圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______．〖答案〗〖解析〗圆与圆联立可得：公共弦的方程为，变形为，故的圆心为，半径为，而满足，故弦AB的长为圆的直径，故弦AB的长为．故〖答案〗为：.16.如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为__________〖答案〗〖解析〗连接，如图所示设则，由椭圆的定义得所以在中，，所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设等差数列的前项和为，已知，．（1）求；（2）若为与的等比中项，求．解：（1）设等差数列公差为，，解得，，所以，，.（2）由题意：，，即，化简得：，解之得或（舍），故.18.已知直线（1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程；（2）求点到直线的距