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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省四平市2023-2024学年高二上学期期中数学试题注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚.4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容:选择性必修第一册第二章~第三章.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的一般方程为,其圆心坐标是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为圆的圆心为,则圆圆心坐标是.故选:C.2.已知直线经过,两点,则该直线的倾斜角为()A.30° B.45° C.135° D.150°〖答案〗C〖解析〗易知两点间的斜率,设直线倾斜角为,由斜率与倾斜角之间的关系可得,故该直线的倾斜角为135°.故选:C.3.已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点,则该椭圆的方程为()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令,可得;令,可得,则由已知可得,椭圆的两个顶点坐标为,,因为,所以椭圆的焦点在轴上,设椭圆的方程为,则,,所以椭圆的方程为.故选:C.4.已知抛物线C:的焦点为F,点P是抛物线C上的一点,,过点P作y轴的垂线,垂足为,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由抛物线C:,得焦点,设,所以,由,解得,所以,所以.故选:D.5.已知双曲线C:的左,右焦点分别为,,O为坐标原点,点P是双曲线C上的一点,,且的面积为4,则实数()A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗因为的面积为4,所以的面积为8.又,所以,所以为直角三角形,且.设,,所以,,所以,所以,又,所以.故选:C.6.已知圆C:上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数()A.4 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗圆C:的标准方程为,要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上,则直线经过圆心,即,解得,故选:B7.已知抛物线C:的焦点为,过点的直线与抛物线C交于A,B两点,且M是的中点,则直线AB的方程为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为抛物线焦点为,所以,设,,则,,所以,易知,所以,又,所以,所以直线的方程为,即,故选:B8.如图,A,分别是椭圆的左、右顶点,点在以为直径的圆上(点异于A,两点),线段与椭圆交于另一点,若直线的斜率是直线的斜率的4倍,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设,易知,则,,又,所以.故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知直线l过点,点,到直线l的距离相等,则直线l的方程可能是()A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗当直线l与直线AB平行时,因为,所以直线l的方程为,即.当直线l过线段AB的中点时,AB的中点为,所以直线l的方程为,即.综上所述,直线l的方程为或.故选:AC.10.已知双曲线,则下列说法正确的是()A.双曲线的实轴长为 B.双曲线的焦距为C.双曲线的离心率为 D.双曲线的渐近线方程为〖答案〗BC〖解析〗双曲线,则,双曲线的实轴长为,故A错误;双曲线的焦距为,故B正确;双曲线的离心率,故C正确;双曲线的渐近线方程为,故D错误.故选:BC.11.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,点是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是()A.的周长为 B.的面积的最大值为2C.若,则的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗选项A,由椭圆方程可知,,所以周长,故A正确;选项B,因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点,所以,所以的面积,当,即时,即点位于短轴端点时,的面积最大,最大为2,故B正确;选项C,由,点,且,因为,当时,取最小值,且最小值为,故C错误;选项D,的几何意义为与点两点连线的斜率,设为,由得,,解得,如图,当直线与椭圆C相切时,,所以的最小值为.故D正确.故选:ABD.12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2,过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线,切点为,且直线的斜率存在,为坐标原点.则()A. B.当线段的中点在抛物线上时,点的坐标为C. D.〖答案〗ACD〖解析〗如下图所示:对于A选项:由题意焦点的坐标以及准线方程分别为,所以焦点到准线的距离为,因此A选项符合题意;对于B选项:由题意设点的坐标为,又由A选项分析可知,抛物线方程为,所以线段的中点坐标为,将其代入抛物线方程得,解得,此时点的坐标为,因此B选项不符合题意;对于C选项:由题意设点的坐标为,切线的方程为,将其代入抛物线方程得,整理得,所以,因为,所以解得,所以切线的斜率为,又因为点的坐标为,,所以直线的斜率为,所以,所以,因此C选项符合题意;对于D选项:由C选项分析可知,又,所以有,解得,将其代入切线的方程,解得,所以切点的坐标为,又因为,,,所以,,,,所以,即,因此D选项符合题意.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗∵方程表示焦点在x轴上的椭圆,∴由,解得:或,∴实数的取值范围是.故〖答案〗为:.14.已知圆和圆,则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.〖答案〗〖解析〗由圆和圆,两圆的方程相减,可得,即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.故〖答案〗为:.15.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,点P是椭圆C上的一点,则的最大值为______.〖答案〗25〖解析〗因为点P是椭圆C上的一点,所以,又由均值不等式可得,当且仅当,即,时等号成立,故〖答案〗为:2516.已知双曲线的右焦点为F,离心率为,点A是双曲线C右支上的一点,O为坐标原点,延长AO交双曲线C于另一点B,且,延长AF交双曲线C于另一点Q,则___________.〖答案〗〖解析〗如图所示,∵,则,,由双曲线的对称性知:,,又∵,∴四边形为矩形,设,则由双曲线的定义知:,在中,,即:,整理得:,即:,∵,∴,∴,设,则由双曲线的定义知:,在中,,即:,解得:,即:,又∵,∴在中,,∴,故〖答案〗为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l经过点和点.(1)求直线l方程;(2)若直线m与l平行,且m与l间的距离为,求直线m的方程.解:(1)法一:由题意得直线l的斜率,故直线l的方程为,即;法二:由两点式方程可得,,化简得.(2)可设直线m的方程为,由题意得,解得或,故直线m的方程为或.18.已知点、,动点满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2)已知圆的圆心为,且圆与轴相切,若圆与曲线有公共点,求实数的取值范围.解:(1)由得,即,整理得,故动点的轨迹的方程为.(2)∵点的坐标为且圆与轴相切,∴圆的半径为,∴圆的方程为,∴圆与圆两圆心的距离为,∵圆与圆有公共点,∴,即,且,解得,所以实数的取值范围是.19.已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为.(1)求抛物线的方程;(2)过点作斜率为4直线,交抛物线于,两点,求.解:(1)该抛物线的焦点坐标为,准线方程为,因为关于抛物线的准线的对称点为,所以有.(2)直线的方程为,与抛物线方程联立,得,设,因此有,则有.20.已知双曲线的一条渐近线方程为,焦距为.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若O为坐标原点,过的直线l交双曲线C于A,B两点,且的面积为,求直线l的方程.解:(1)由题意得:,,,解得:,,,双曲线的标准方程为.(2)由题意可知,直线的斜率一定存在,设直线的方程为,,,,,联立方程组,消去整理得,则,原点到直线的距离为,所以,解得或,故或,故直线方程为或.21.已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于,两点,点是轴上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,是否存在定点,使得为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题知,,所以椭圆为,由点在椭圆上得解得,故椭圆方程为.(2)设,由,得所以,所以,所以,解得,所以存在定点,使得为定值.22.如图,已知点和点在双曲线上,双曲线的左顶点为,过点且不与轴重合的直线与双曲线交于,两点,直线,与圆分别交于,两点.(1)求双曲线的标准方程;(2)设直线,的斜率分别为,,求的值;(3)证明:直线过定点.解:(1)因为点和点在双曲线上,所以,解得,所以双曲线的标准方程为.(2)由题可知,直线的斜率不等于零,故可设直线的方程为,设,联立,整理得,若,即,直线的斜率为,与渐近线平行,此时直线与双曲线有且仅有一个交点,不满足题意,所以,所以,,因为,所以,所以.(3)①当轴时,且,所以,则,联立,整理得,即,解得或,当时,,所以,由于对称性,,此时直线过定点;②当不垂直于轴时,以下证明直线仍过定点设为,因为,所以联立,即,所以,解得或,当时,,所以,同理,将上述过程中替换为可得,所以,,因为,所以,所以,所以三点共线,即此时直线恒过定点,综上直线过定点.吉林省四平市2023-2024学年高二上学期期中数学试题注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚.4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容:选择性必修第一册第二章~第三章.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的一般方程为,其圆心坐标是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为圆的圆心为,则圆圆心坐标是.故选:C.2.已知直线经过,两点,则该直线的倾斜角为()A.30° B.45° C.135° D.150°〖答案〗C〖解析〗易知两点间的斜率,设直线倾斜角为,由斜率与倾斜角之间的关系可得,故该直线的倾斜角为135°.故选:C.3.已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点,则该椭圆的方程为()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令,可得;令,可得,则由已知可得,椭圆的两个顶点坐标为,,因为,所以椭圆的焦点在轴上,设椭圆的方程为,则,,所以椭圆的方程为.故选:C.4.已知抛物线C:的焦点为F,点P是抛物线C上的一点,,过点P作y轴的垂线,垂足为,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由抛物线C:,得焦点,设,所以,由,解得,所以,所以.故选:D.5.已知双曲线C:的左,右焦点分别为,,O为坐标原点,点P是双曲线C上的一点,,且的面积为4,则实数()A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗因为的面积为4,所以的面积为8.又,所以,所以为直角三角形,且.设,,所以,,所以,所以,又,所以.故选:C.6.已知圆C:上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数()A.4 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗圆C:的标准方程为,要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上,则直线经过圆心,即,解得,故选:B7.已知抛物线C:的焦点为,过点的直线与抛物线C交于A,B两点,且M是的中点,则直线AB的方程为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为抛物线焦点为,所以,设,,则,,所以,易知,所以,又,所以,所以直线的方程为,即,故选:B8.如图,A,分别是椭圆的左、右顶点,点在以为直径的圆上(点异于A,两点),线段与椭圆交于另一点,若直线的斜率是直线的斜率的4倍,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设,易知,则,,又,所以.故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知直线l过点,点,到直线l的距离相等,则直线l的方程可能是()A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗当直线l与直线AB平行时,因为,所以直线l的方程为,即.当直线l过线段AB的中点时,AB的中点为,所以直线l的方程为,即.综上所述,直线l的方程为或.故选:AC.10.已知双曲线,则下列说法正确的是()A.双曲线的实轴长为 B.双曲线的焦距为C.双曲线的离心率为 D.双曲线的渐近线方程为〖答案〗BC〖解析〗双曲线,则,双曲线的实轴长为,故A错误;双曲线的焦距为,故B正确;双曲线的离心率,故C正确;双曲线的渐近线方程为,故D错误.故选:BC.11.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,点是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是()A.的周长为 B.的面积的最大值为2C.若,则的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗选项A,由椭圆方程可知,,所以周长,故A正确;选项B,因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点,所以,所以的面积,当,即时,即点位于短轴端点时,的面积最大,最大为2,故B正确;选项C,由,点,且,因为,当时,取最小值,且最小值为,故C错误;选项D,的几何意义为与点两点连线的斜率,设为,由得,,解得,如图,当直线与椭圆C相切时,,所以的最小值为.故D正确.故选:ABD.12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2,过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线,切点为,且直线的斜率存在,为坐标原点.则()A. B.当线段的中点在抛物线上时,点的坐标为C. D.〖答案〗ACD〖解析〗如下图所示:对于A选项:由题意焦点的坐标以及准线方程分别为,所以焦点到准线的距离为,因此A选项符合题意;对于B选项:由题意设点的坐标为,又由A选项分析可知,抛物线方程为,所以线段的中点坐标为,将其代入抛物线方程得,解得,此时点的坐标为,因此B选项不符合题意;对于C选项:由题意设点的坐标为,切线的方程为,将其代入抛物线方程得,整理得,所以,因为,所以解得,所以切线的斜率为,又因为点的坐标为,,所以直线的斜率为,所以,所以,因此C选项符合题意;对于D选项:由C选项分析可知,又,所以有,解得,将其代入切线的方程,解得,所以切点的坐标为,又因为,,,所以,,,,所以,即,因此D选项符合题意.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗∵方程表示焦点在x轴上的椭圆,∴由,解得:或,∴实数的取值范围是.故〖答案〗为:.14.已知圆和圆,则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.〖答案〗〖解析〗由圆和圆,两圆的方程相减,可得,即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.故〖答案〗为:.15.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,点P是椭圆C上的一点,则的最大值为______.〖答案〗25〖解析〗因为点P是椭圆C上的一点,所以,又由均值不等式可得,当且仅当,即,时等号成立,故〖答案〗为:2516.已知双曲线的右焦点为F,离心率为,点A是双曲线C右支上的一点,O为坐标原点,延长AO交双曲线C于另一点B,且,延长AF交双曲线C于另一点Q,则___________.〖答案〗〖解析〗如图所示,∵,则,,由双曲线的对称性知:,,又∵,∴四边形为矩形,设,则由双曲线的定义知:,在中,,即:,整理得:,即:,∵,∴,∴,设,则由双曲线的定义知:,在中,,即:,解得:,即:,又∵,∴在中,,∴,故〖答案〗为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l经过点和点.(1)求直线l方程;(2)若直线m与l平行,且m与l间的距离为,求直线m的方程.解:(1)法一:由题意得直线l的斜率,故直线l的方程为,即;法二:由两点式方程可得,,化简得.(2)可设直线m的方程为,由题意得,解得或,故直线m的方程为或.18.已知点、,动点满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2)已知圆的圆心为,且圆与轴相切,若圆与曲线有公共点,求实数的取值范围.解:(1)由得,即,整理得,故动点的轨迹的方程为.(2)∵点的坐标为且圆与轴相切,∴圆的半径为,∴圆的方程为,∴圆与圆两圆心的距离为,∵圆与圆有公共点,∴,即,且,解得,所以实数的取值范围是.19.已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为.(1)求抛物线的方程;(2)过点作斜率为4直线,交抛物线于,两点
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