2023-2024学年湖南省长沙市麓山教育共同体高一上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市麓山教育共同体2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题一､单选题（每小题5分，共40分）1.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗且，则；且，则，所以.故选：A.2.若不等式的解集为，则实数（）A.2 B. C.3D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知和是方程的两个根，且，利用根与系数的关系可得.故选：B.3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗解法一：因为，且，所以，即，即，所以，所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立，必要性：因为，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立，所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立，必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C.4.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A. B. C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由已知可得，则，所以的最小值.故选：C．5.已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令由题可知：则，即.故选：C.6.若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式在时有解，等价于当时，，由二次函数的图象知，当时，，所以.故选：A.7.若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗原不等式可化为，设，则，当且仅当，且，即时，函数有最小值为2，因为恒成立，所以.故选：C.8.定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.且〖答案〗D〖解析〗，，，又，或，方程的解为；方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，或或，故只需要排除，若，①当，即时，时方程的解为，时方程的解为，或，成立，②若是方程的根，则，方程的解为和，，成立，③若1是方程的根，则，方程的解为和，，成立，0不可能是方程的根，综上所述，当且仅当或时，，故的取值范围是且.故选：D．二､多选题（每小题5分，共20分，部分选对得2分，有错选得0分，全部选对得5分）9.已知，那么下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗选项A，∵，∴，，∴，故A正确；选项B，取，，满足，但，故B错误；选项C，∵，∴，又∵，由成立，则，∴，则有，∴，故C正确；选项D，∵，∴，∴，故D正确.故选：ACD.10.下列说法中，以下是真命题的是（）A.存在实数，使 B.所有的素数都是奇数C.， D.，〖答案〗ACD〖解析〗对于A：因为方程有实数根，所以存在实数，使，所以A选项是真命题；对于B：因为素数2不是奇数，所以B选项是假命题；对于C：因为时有，当时有，所以，，所以C选项是真命题；对于D：因为当时有，所以，，所以D选项是真命题.故选：ACD.11.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（）A. B. C.D.〖答案〗CD〖解析〗若关于的不等式对恒成立，当时，不等式为，满足题意；时，则必有且，解得，故的范围为，故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，考查选项知满足条件.故选：12.若x，y满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．三､填空题（每小题5分，共20分）13.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．〖答案〗〖解析〗因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“”.故〖答案〗为：.14.若，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，故，则，又，故.故〖答案〗为：.15.已知正数，满足，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：.16.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗关于x的不等式可化为，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，当时，不等式化为，此时无解，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，综上，实数a的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解下列不等式．（1）；（2）.解：（1）不等式，即，解得，所以不等式解集为.（2）不等式，即，等价于，解得，所以不等式解集为.18.已知集合.（1）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由题意，，解得，，由“”是“”的充分不必要条件，得，则且等号不能同时取到，解得，故实数的取值范围为.（2）当时，得，即，符合题意；当时，得，即，由，得或，解得或，或；综上所述，实数的取值范围为.19.已知，.（1）若不等式恒成立，求的最大值；（2）若，求的最小值.解（1）因为，，则，而，当且仅当，即时取等号，依题意，不等式恒成立，于是，所以m的最大值为12.（2）若，，，则，当且仅当，即，时取等号，于是，而，解得，所以的最小值为4.20.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.解：（1）由题意可得，，且，则，则（2）由（1）可知，，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当米时，元.21.解关于的不等式:.解：（1）原不等式可化为.（1）当时，有.（2）当时，，∵，①当时，，∴；②当时，，，此时解集为；③当时，.∴.（3）当时，，∵，∴.∴或，综上所述，原不等式的解集为:当时，为或；当时，为；当时，为；当时，为；当时，为.22.已知一元二次函数的图像与轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为且当时,恒有(1)求出不等式的解(用表示)；(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求的取值范围；(3)若不等式对所有恒成立,求实数的取值范围.解：（1）依题意可知，即①，由，故①式可化为.所以，令，解得，.由于当时，恒有，所以，令，解得.所以不等式的解集为.（2）结合（1）可知，三个交点的坐标为，且，根据三角形的面积得，化简得，时等号成立，故的取值范围是.（3）由于，所以不等式可化为②.当时，②成立；当时，②可化为，而，所以；当时，②可化为，而，所以.综上所述，的取值范围是.湖南省长沙市麓山教育共同体2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题一､单选题（每小题5分，共40分）1.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗且，则；且，则，所以.故选：A.2.若不等式的解集为，则实数（）A.2 B. C.3D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知和是方程的两个根，且，利用根与系数的关系可得.故选：B.3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗解法一：因为，且，所以，即，即，所以，所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立，必要性：因为，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立，所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立，必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C.4.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A. B. C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由已知可得，则，所以的最小值.故选：C．5.已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令由题可知：则，即.故选：C.6.若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式在时有解，等价于当时，，由二次函数的图象知，当时，，所以.故选：A.7.若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗原不等式可化为，设，则，当且仅当，且，即时，函数有最小值为2，因为恒成立，所以.故选：C.8.定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.且〖答案〗D〖解析〗，，，又，或，方程的解为；方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，或或，故只需要排除，若，①当，即时，时方程的解为，时方程的解为，或，成立，②若是方程的根，则，方程的解为和，，成立，③若1是方程的根，则，方程的解为和，，成立，0不可能是方程的根，综上所述，当且仅当或时，，故的取值范围是且.故选：D．二､多选题（每小题5分，共20分，部分选对得2分，有错选得0分，全部选对得5分）9.已知，那么下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗选项A，∵，∴，，∴，故A正确；选项B，取，，满足，但，故B错误；选项C，∵，∴，又∵，由成立，则，∴，则有，∴，故C正确；选项D，∵，∴，∴，故D正确.故选：ACD.10.下列说法中，以下是真命题的是（）A.存在实数，使 B.所有的素数都是奇数C.， D.，〖答案〗ACD〖解析〗对于A：因为方程有实数根，所以存在实数，使，所以A选项是真命题；对于B：因为素数2不是奇数，所以B选项是假命题；对于C：因为时有，当时有，所以，，所以C选项是真命题；对于D：因为当时有，所以，，所以D选项是真命题.故选：ACD.11.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（）A. B. C.D.〖答案〗CD〖解析〗若关于的不等式对恒成立，当时，不等式为，满足题意；时，则必有且，解得，故的范围为，故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，考查选项知满足条件.故选：12.若x，y满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．三､填空题（每小题5分，共20分）13.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．〖答案〗〖解析〗因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“”.故〖答案〗为：.14.若，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，故，则，又，故.故〖答案〗为：.15.已知正数，满足，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：.16.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗关于x的不等式可化为，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，当时，不等式化为，此时无解，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，综上，实数a的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解下列不等式．（1）；（2）.解：（1）不等式，即，解得，所以不等式解集为.（2）不等式，即，等价于，解得，所以不等式解集为.18.已知集合.（1）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由题意，，解得，，由“”是“”的充分不必要条件，得，则且等号不能同时取到，解得，故实数的取值范围为.（2）当时，得，即，符合题意；当时，得，即，由，得或，解得或，或；综上所述，实数的取值范围为.19.已知，.（1）若不等式恒成立，求的最大值；（2）若，求的最小值.解（1）因为，，则，而，当且仅当，即时取等号，依题意，不等式恒成立，于是，所以m的最大值为12.（2）若，，，则，当且仅当，即，时取等号，于是，而，解得，所以的最小值为4.20.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩