2023-2024学年黑龙江省鸡西市密山市第四中学高二上学期8月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省鸡西市密山市第四中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题注意事项：1．书写要规范，不要乱涂乱改.2．答题卡要涂满，避免漏涂、涂串行等类似错误的发生.3．注意考试时间，合理安排答题顺序.4．有印刷不清晰看不清图的及时举手报告.试卷分值：120分考试时间：120分钟一、选择题（共8题，每题5分，满分40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由补集的定义可知，，故选：A．2.已知复数满足（是虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，可得因为，所以解得，所以.故选：A.3.已知R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，则成立．而当且时，满足，但不成立；“”是“”的充分不必要条件．故选：A．4.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺〖答案〗C〖解析〗设每日织布增长x尺，则，即，解得.故选：C.5.甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件为“取出甲袋”,事件为“取出红球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则,依题意可得,所以，若取出的是乙袋,则,依题意可得,，所以，综上所述,摸出的球是红球的概率为.故选：B.6.已知等差数列的前项和为，公差，且记，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A选项，，，，若，则，即，解得，与已知矛盾，故A不成立；B选项，，，，，所以B成立；

C选项，若成立，则，，，满足条件，故C可能成立．

D选项，，若，则，

，，，，与题设矛盾，故D不可能成立．故选：BC．7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.，，则B.，，，，则C.，，，则D.，，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选:D.8.设a，b为正数，若圆关于直线对称，则最小值为（）A.9 B.8 C.6 D.10〖答案〗A〖解析〗圆，即，所以圆心为，所以，即，因为、，则，当且仅当时，取等号．故选：A．二、多项选择题（答对1个得1.5分，全答对得3分，答错不得分，满分12分）9.已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗设平面的法向量可能为，则由题意可得，对于选项，，满足题意；对于选项，设，无解，所以不符合题意；对于选项，设，无解，所以不符合题意；对于选项，，满足题意．故选：AD．10.已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的结论中，正确的是（）A.的最小正周期为B.的单调递增区间为C.当时，的最大值为1D.在区间上有且仅有7个零点〖答案〗BC〖解析〗由题可知，，，，即，，，故，，，的最小正周期为，故A错误；，即，故B正确；，当时，，故C正确；令，，零点可取值为：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；故在区间上有且仅有8个零点，故D错误；故选：BC.11.已知等差数列前项和为，公差，且记，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A选项，，，，若，则，即，解得，与已知矛盾，故A不成立；B选项，，，，，所以B成立；

C选项，若成立，则，，，满足条件，故C可能成立．

D选项，，若，则，

，，，，与题设矛盾，故D不可能成立．故选：BC．12.如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得 B.的长度为定值C.四棱锥的体积的最大值为 D.直线与平面所成角的正切值的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗因为，假设，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以与不可能垂直，故A错误；取的中点，连接，，如图所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，故B正确；当平面平面时，四棱锥的体积最大，过作的垂线，垂足为，所以，，，，所以，因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱锥的高，所以，故C正确；当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值，此时，所以，故D正确．故选：BCD．三、填空题（共4题，每空3分，满分12分）13.已知：，，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，，，，，当且仅当，即，时取等号，的最小值是故〖答案〗为：14.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种〖答案〗420〖解析〗先从7个人中选2人调整到前排有种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有种方法.故〖答案〗为：42015.在三棱锥中，平面，则二面角的正切值为___________.〖答案〗2〖解析〗因为平面，平面、平面.所以，.在中：;在中：;在中：.在中：.所以二面角的余弦值.正弦值.所以二面角的正切值.故〖答案〗为：2.16.已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗因为，所以当时，，即，当时，有，

所以，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以，因为，所以，，

得，因此．由恒成立得恒成立，

因为，所以，即，所以．故〖答案〗为：．四、解答题（满分56分）17.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，平分线交于点，且．求的面积．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，所以，则，又，所以.（2）由题意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．18.如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.解：（1）以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.（2），设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到DFE平面距离.19.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持不支持合计中型企业602080小型企业180140320合计240160400（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；（2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设为所发奖励的总金额（单位：万元），求的分布列和均值．附：，．解：（1）零假设为：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关根据列联表中的数据，计算得到，．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于．（2）由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为．所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是，，，（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故的所有可能取值为180，220，260，300．，，，，故的分布列为180220260300的均值为．20.已知抛物线，点为直线上的动点（点的横坐标不为0），过点作的两条切线，切点分别为．（1）证明：直线过定点；（2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．解：（1）设，，，因为，则，所以，则切线的斜率为，故，整理得，同理可得，故直线的方程为，所以直线过定点.（2）由（1）知直线的方程为，，，由整理得，于是，，，则，故．设，分别为点，到直线的距离，则，，四边形的面积，设为线段的中点，则．由，得，解得，将代入式解得，故四边形的面积为．黑龙江省鸡西市密山市第四中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题注意事项：1．书写要规范，不要乱涂乱改.2．答题卡要涂满，避免漏涂、涂串行等类似错误的发生.3．注意考试时间，合理安排答题顺序.4．有印刷不清晰看不清图的及时举手报告.试卷分值：120分考试时间：120分钟一、选择题（共8题，每题5分，满分40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由补集的定义可知，，故选：A．2.已知复数满足（是虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，可得因为，所以解得，所以.故选：A.3.已知R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，则成立．而当且时，满足，但不成立；“”是“”的充分不必要条件．故选：A．4.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺〖答案〗C〖解析〗设每日织布增长x尺，则，即，解得.故选：C.5.甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件为“取出甲袋”,事件为“取出红球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则,依题意可得,所以，若取出的是乙袋,则,依题意可得,，所以，综上所述,摸出的球是红球的概率为.故选：B.6.已知等差数列的前项和为，公差，且记，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A选项，，，，若，则，即，解得，与已知矛盾，故A不成立；B选项，，，，，所以B成立；

C选项，若成立，则，，，满足条件，故C可能成立．

D选项，，若，则，

，，，，与题设矛盾，故D不可能成立．故选：BC．7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.，，则B.，，，，则C.，，，则D.，，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选:D.8.设a，b为正数，若圆关于直线对称，则最小值为（）A.9 B.8 C.6 D.10〖答案〗A〖解析〗圆，即，所以圆心为，所以，即，因为、，则，当且仅当时，取等号．故选：A．二、多项选择题（答对1个得1.5分，全答对得3分，答错不得分，满分12分）9.已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗设平面的法向量可能为，则由题意可得，对于选项，，满足题意；对于选项，设，无解，所以不符合题意；对于选项，设，无解，所以不符合题意；对于选项，，满足题意．故选：AD．10.已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的结论中，正确的是（）A.的最小正周期为B.的单调递增区间为C.当时，的最大值为1D.在区间上有且仅有7个零点〖答案〗BC〖解析〗由题可知，，，，即，，，故，，，的最小正周期为，故A错误；，即，故B正确；，当时，，故C正确；令，，零点可取值为：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；故在区间上有且仅有8个零点，故D错误；故选：BC.11.已知等差数列前项和为，公差，且记，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A选项，，，，若，则，即，解得，与已知矛盾，故A不成立；B选项，，，，，所以B成立；

C选项，若成立，则，，，满足条件，故C可能成立．

D选项，，若，则，

，，，，与题设矛盾，故D不可能成立．故选：BC．12.如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得 B.的长度为定值C.四棱锥的体积的最大值为 D.直线与平面所成角的正切值的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗因为，假设，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以与不可能垂直，故A错误；取的中点，连接，，如图所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，故B正确；当平面平面时，四棱锥的体积最大，过作的垂线，垂足为，所以，，，，所以，因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱锥的高，所以，故C正确；当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值，此时，所以，故D正确．故选：BCD．三、填空题（共4题，每空3分，满分12分）13.已知：，，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，，，，，当且仅当，即，时取等号，的最小值是故〖答案〗为：14.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种〖答案〗420〖解析〗先从7个人中选2人调整到前排有种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有种方法.故〖答案〗为：42015.在三棱锥中，平面，则二面角的正切值为___________.〖答案〗2〖解析〗因为平面，平面、平面.所以，.在中：;在中：;在中：.在中：.所以二面角的余弦值.正弦值.所以二面角的正切值.故〖答案〗为：2.16.已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗因为，所以当时，，即，当时，有，

所以，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以，因为，所以，，

得，因此．由恒成立得恒成立，

因为，所以，即，所以．故〖答案〗为：．四、解答题（满分56分）17.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，平分线交于点，且．求的面积．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，所以，则，又，所以.（2）由题意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．18.如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.解：（1）以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.（2），设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到